山東省濱州市2019中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題.doc
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第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 姓名:________ 班級(jí):________ 用時(shí):______分鐘 1.(xx衡陽(yáng)中考)如圖,已知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A,B,拋物線過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,交拋物線于點(diǎn)D. (1)若拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4,設(shè)其頂點(diǎn)為M,其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N. ①求點(diǎn)M,N的坐標(biāo); ②是否存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由; (2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí),是否存在這樣的拋物線,使得以B,P,D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由. 2.(xx棗莊中考)如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B,C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB,AC. (1)請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的解析式; (2)判斷△ABC的形狀,并說明理由; (3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo); (4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合),過點(diǎn)N作NM∥AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo). 圖1 圖2 3.(xx隨州中考)如圖1,拋物線C1:y=ax2-2ax+c(a<0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OC=3OA,拋物線C1的頂點(diǎn)為G. (1)求出拋物線C1的解析式,并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo); (2)如圖2,將拋物線C1向下平移k(k>0)個(gè)單位,得到拋物線C2,設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′,B′,頂點(diǎn)為G′,當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時(shí),求k的值; (3)在(2)的條件下,如圖3,設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1,C2于P,Q兩點(diǎn),試探究在直線y=-1上是否存在點(diǎn)N,使得以P,Q,N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等,若存在,直接寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說明理由. 4.(xx江西中考)小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí),經(jīng)歷了如下過程: 求解體驗(yàn): (1)已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),則b=________,頂點(diǎn)坐標(biāo)為________,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是________. 抽象感悟: 我們定義:對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),以y軸上的點(diǎn)M(0,m)為中心,作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線y′,則我們又稱拋物線y′為拋物線y的“衍生拋物線”,點(diǎn)M為“衍生中心. (2)已知拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線為y′,若這兩條拋物線有交點(diǎn),求m的取值范圍. 問題解決: (3)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0). ①若拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2(b≠0),兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求a,b的值及衍生中心的坐標(biāo); ②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點(diǎn)為A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為y2,其頂點(diǎn)為A2;…;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點(diǎn)為An;…(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(zhǎng)(用含n的式子表示). 參考答案 1.解:(1)①如圖, ∵y=-2x2+2x+4=-2(x-)2+, ∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,). 當(dāng)x=時(shí),y=-2+4=3, 則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,3). ②不存在.理由如下: MN=-3=. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-2m+4),則D(m,-2m2+2m+4), ∴PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m. ∵PD∥MN, 當(dāng)PD=MN時(shí),四邊形MNPD為平行四邊形, 即-2m2+4m=,解得m1=(舍去),m2=, 此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1). ∵PN==,∴PN≠M(fèi)N, ∴平行四邊形MNPD不為菱形, ∴不存在點(diǎn)P,使四邊形MNPD為菱形. (2)存在. 如圖, OB=4,OA=2,則AB==2. 當(dāng)x=1時(shí),y=-2x+4=2,則P(1,2), ∴PB==. 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+4, 把A(2,0)代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2, ∴拋物線的解析式為y=ax2-2(a+1)x+4. 當(dāng)x=1時(shí),y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,則D(1,2-a), ∴PD=2-a-2=-a. ∵DC∥OB,∴∠DPB=∠OBA, ∴當(dāng)=時(shí),△PDB∽△BOA,即=, 解得a=-2, 此時(shí)拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4; 當(dāng)=時(shí),△PDB∽△BAO,即=, 解得a=-, 此時(shí)拋物線的解析式為y=-x2+3x+4. 綜上所述,滿足條件的拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+4. 2.解:(1)y=-x2+x+4. 提示:∵二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B,C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0), ∴解得 ∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4. (2)△ABC是直角三角形.理由如下: 令y=0,則-x2+x+4=0, 解得x1=8,x2=-2, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0). 在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80. 又∵BC=OB+OC=2+8=10, ∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2, ∴△ABC是直角三角形. (3)∵A(0,4),C(8,0),∴AC==4. ①以A為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(-8,0); ②以C為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(8-4,0)或(8+4,0); ③作AC的垂直平分線,交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(3,0). 綜上所述,若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(-8,0),(8-4,0),(8+4,0),(3,0). (4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2. 如圖,過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D, ∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO, ∴=. ∵M(jìn)N∥AC,∴=,∴=. ∵OA=4,BC=10,BN=n+2,∴MD=(n+2). ∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=BNOA-BNMD =(n+2)4-(n+2)2 =-(n-3)2+5, 當(dāng)n=3時(shí),S△AMN最大, ∴當(dāng)△AMN面積最大時(shí),N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0). 3.解:(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),∴OA=1. ∵OC=3OA,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3). 將A,C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2-2ax+c得 解得 ∴拋物線C1的解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,4). (2)設(shè)拋物線C2的解析式為y=-x2+2x+3-k, 即y=-(x-1)2+4-k. 如圖,過點(diǎn)G′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D,設(shè)B′D=m. ∵△A′B′G′為等邊三角形, ∴G′D=B′D=m, 則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m+1,0),點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1,m). 將點(diǎn)B′,G′的坐標(biāo)代入y=-(x-1)2+4-k得 解得(舍)或 ∴k=1. (3)存在. M1(,0),N1(,-1);M2(,0),N2(1,-1);M3(4,0),N3(10,-1);M4(4,0),N4(-2,-1). 4.解:(1)-4 (-2,1) y=x2-4x+5 (2)∵拋物線y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,① ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,6). 拋物線上取點(diǎn)(0,5), ∴點(diǎn)(-1,6)和(0,5)關(guān)于點(diǎn)(0,m)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2m-6)和(0,2m-5), 設(shè)衍生拋物線為y′=a(x-1)2+2m-6, ∴2m-5=a+2m-6, ∴a=1, ∴衍生拋物線y′=(x-1)2+2m-6=x2-2x+2m-5.② 聯(lián)立①②得x2-2x+2m-5=-x2-2x+5, 整理得2x2=10-2m. ∵這兩條拋物線有交點(diǎn), ∴10-2m≥0,∴m≤5. (3)①拋物線y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b, ∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-b). ∵拋物線y的衍生拋物線為y′=bx2-2bx+a2=b(x-1)2+a2-b, ∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,a2-b). ∵兩個(gè)拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn), ∴ ∴a=0(舍)或a=3,∴b=-3, ∴拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),拋物線y的衍生拋物線y′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,12), ∴衍生中心的坐標(biāo)為(0,6). ②拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-b). ∵點(diǎn)(-1,-a-b)關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,a+b+2k+2n2), ∴拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)An為(1,a+b+2k+2n2). 同理An+1(1,a+b+2k+2(n+1)2), ∴AnAn+1=a+b+2k+2(n+1)2-(a+b+2k+2n2)=4n+2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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