高中數(shù)學(xué) 1.1.2 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 題型示范 類型一選 抽 取與分配問(wèn)題 典例1 1 兩人進(jìn)行乒乓球比賽 采取五局三勝制 即先贏三局者獲勝 決出勝負(fù)為止 則所有可能出現(xiàn)的情形 各人輸贏局次的不同視為不同情形 共有 A 10種B 15種C 20種D 30種 2 2013 四川高考 從1 3 5 7 9這五個(gè)數(shù)中 每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a b 共可得到lga lgb的不同值的個(gè)數(shù)是 A 9B 10C 18D 20 3 甲 乙 丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3 5 2名 現(xiàn)準(zhǔn)備推選2名來(lái)自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì) 共有 種不同的推選方法 解題探究 1 題 1 的五局三勝中 兩人可以進(jìn)行幾局比賽 2 題 2 中每次從1 3 5 7 9中任取兩個(gè)不同的數(shù) 則共有多少種不同的取法 3 題 3 中推選的2名三好學(xué)生的班級(jí)有幾種情況 探究提示 1 五局三勝中 兩人可以進(jìn)行3局 4局 5局比賽 2 分兩步選取共有5 4 20種不同的選取方法 3 有3種情況 分別是甲 乙班各1名 甲 丙班各1名 乙 丙班各1名 自主解答 1 選C 由題意知 比賽局?jǐn)?shù)最少為3局 至多為5局 當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為3局時(shí) 情形為甲或乙連贏3局 共2種 當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為4局時(shí) 若甲贏 則前3局中甲贏2局 最后一局甲贏 共有3 種 情形 同理 若乙贏 則也有3種情形 所以共有6種情形 當(dāng)比賽局?jǐn)?shù)為5局時(shí) 前4局 甲 乙雙方各贏2局 最后一局勝出的人贏 若甲前4局贏2局 共有贏取第1 2局 1 3局 1 4局 2 3局 2 4局 3 4局六種情形 所以比賽局?jǐn)?shù)為5局時(shí)共有2 6 12 種 綜上可知 共有2 6 12 20 種 故選C 2 選C 由于lga lgb lg 從1 3 5 7 9中取出兩個(gè)不同的數(shù)分別賦值給a和b共有5 4 20種 而得到相同值的是1 3與3 9以及3 1與9 3兩組 所以可得到lga lgb的不同值的個(gè)數(shù)是18 故選C 3 分為三類 第一類 甲班選一名 乙班選一名 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有3 5 15種選法 第二類 甲班選一名 丙班選一名 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有3 2 6種選法 第三類 乙班選一名 丙班選一名 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有5 2 10種選法 綜合以上三類 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理 共有15 6 10 31種不同選法 答案 31 方法技巧 選 抽 取與分配問(wèn)題的常見類型及其解法 1 當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí) 一般選用枚舉法 樹形圖法 框圖法或者圖表法 2 當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí) 一般有兩種方法 直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理 一般地 若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行 若按對(duì)象特征抽取的 則按分類進(jìn)行 間接法 去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù) 然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可 變式訓(xùn)練 2013 成都高二檢測(cè) 設(shè)集合I 1 2 3 4 5 選擇I的兩個(gè)非空子集A和B 要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù) 則不同的選擇方法共有 A 50種B 49種C 48種D 47種 解題指南 以A中最大的數(shù)為標(biāo)準(zhǔn) 進(jìn)行分類討論 A中最大的數(shù)可能為1 2 3 4 共四種情況 解析 選B 按分類加法計(jì)數(shù)原理做如下討論 當(dāng)A中最大的數(shù)為1時(shí) B可以是 2 3 4 5 的非空子集 即有24 1 15 種 方法 當(dāng)A中最大的數(shù)為2時(shí) A可以是 2 或 1 2 B可以是 3 4 5 的非空子集 即有2 23 1 14 種 方法 當(dāng)A中最大的數(shù)為3時(shí) A可以是 3 1 3 2 3 1 2 3 B可以是 4 5 的非空子集 即有4 22 1 12 種 方法 當(dāng)A中最大的數(shù)為4時(shí) A可以是 4 1 4 2 4 3 4 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4 B可以是 5 即有8 1 8 種 方法 故共有15 14 12 8 49 種 方法 補(bǔ)償訓(xùn)練 圖書館有8本不同的有關(guān)勵(lì)志教育的書 任選3本分給3個(gè)同學(xué) 每人1本 有 種不同的分法 解析 分三步進(jìn)行 第一步 先分給第一個(gè)同學(xué) 從8本書中選一本 共有8種方法 第二步 再分給第二個(gè)同學(xué) 從剩下的7本中任選1本 共有7種方法 第三步 分給第三個(gè)同學(xué) 從剩下的6本中任選1本 共有6種方法 所以不同分法有8 7 6 336種 答案 336 類型二組數(shù)問(wèn)題 典例2 1 2013 青島高二檢測(cè) 如果一個(gè)三位正整數(shù)形如 a1a2a3 滿足a1 a2且a3 a2 則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù) 如120 363 374等 那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為 A 240B 204C 729D 920 2 用0 1 2 3 4五個(gè)數(shù)字 可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼 可以排成多少個(gè)三位數(shù) 可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 解題探究 1 題 1 中的凸數(shù)有什么特點(diǎn) 如何進(jìn)行 分類 或 分步 計(jì)數(shù) 2 題 2 中的三位數(shù)有什么特點(diǎn) 如何進(jìn)行計(jì)數(shù) 探究提示 1 題 1 中的凸數(shù)具有中間的一個(gè)數(shù)比兩端兩個(gè)數(shù)大的特點(diǎn) 可按中間數(shù)為2 3 4 9分8類計(jì)數(shù) 2 題 2 中的三位數(shù)首位可以為0 且每個(gè)位上數(shù)字可以重復(fù) 需分步來(lái)計(jì)數(shù) 中的三位數(shù)首位不能為0 但可以有重復(fù)數(shù)字 按首位優(yōu)先安排進(jìn)行分步計(jì)數(shù) 中數(shù)為偶數(shù) 末位數(shù)字可取0 2 4 可分末位為0與不為0兩類來(lái)計(jì)數(shù) 自主解答 1 選A 可按十位數(shù)字進(jìn)行分類 a2最小為2 最大為9 共分8類 a2 2時(shí) a1 1 a3 0 1 共有2個(gè) a2 3時(shí) a1可取1 2 a3可取0 1 2 共有2 3 6 個(gè) a2 4時(shí) a1可取1 2 3 a3可取0 1 2 3 共有3 4 12 個(gè) a2 9時(shí) 共有8 9 72個(gè)數(shù) 故所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為N 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 240 個(gè) 2 三位數(shù)字的電話號(hào)碼 首位可以是0 數(shù)字也可以重復(fù) 每個(gè)位置都有5種排法 共有5 5 5 53 125 種 三位數(shù)的首位不能為0 但可以有重復(fù)數(shù)字 首先考慮首位的排法 除0外共有4種方法 第二 三位可以排0 因此 共有4 5 5 100 種 被2整除的數(shù)即偶數(shù) 末位數(shù)字可取0 2 4 因此 可以分兩類 一類是末位數(shù)字是0 則有4 3 12 種 排法 一類是末位數(shù)字不是0 則末位有2種排法 即2或4 再排首位 因0不能在首位 所以有3種排法 十位有3種排法 因此有2 3 3 18 種 排法 因而有12 18 30 種 排法 即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 延伸探究 由題 2 中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù) 解析 完成 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù) 這件事 可以分四步 第一步定個(gè)位 只能從1 3中任取一個(gè) 有2種方法 第二步定首位 把1 2 3 4中除去用過(guò)的一個(gè)還有3個(gè)可任取一個(gè) 有3種方法 第三步 第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法 再排十位有2種方法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2 3 3 2 36 個(gè) 方法技巧 組數(shù)問(wèn)題的常見類型及解決原則 1 常見的組數(shù)問(wèn)題 組成的數(shù)為 奇數(shù) 偶數(shù) 被某數(shù)整除的數(shù) 在某一定范圍內(nèi)的數(shù)的問(wèn)題 各位數(shù)字和為某一定值問(wèn)題 各位數(shù)字之間滿足某種關(guān)系問(wèn)題等 2 解決原則 明確特殊位置或特殊數(shù)字 是我們采用 分類 還是 分步 的關(guān)鍵 一般按特殊位置 末位或首位 由誰(shuí)占領(lǐng)分類 分類中再按特殊位置 或特殊元素 優(yōu)先的策略分步完成 如果正面分類較多 可采用間接法求解 要注意數(shù)字 0 不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位 變式訓(xùn)練 2013 山東高考 用0 1 9十個(gè)數(shù)字 可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為 A 243B 252C 261D 279 解題指南 本題可利用間接法來(lái)求解 解析 選B 三位數(shù)個(gè)數(shù)為9 10 10 900 沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9 9 8 648 所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900 648 252 補(bǔ)償訓(xùn)練 從0 2中選一個(gè)數(shù)字 從1 3 5中選兩個(gè)數(shù)字 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 A 24B 18C 12D 6 解析 選B 由于題目要求是奇數(shù) 那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況 奇偶奇 偶奇奇 如果是第一種奇偶奇的情況 可以從個(gè)位開始分析 3種情況 之后十位 2種情況 最后百位 2種情況 共12種 如果是第二種情況偶奇奇 個(gè)位 3種情況 十位 2種情況 百位 不能是0 一種情況 共6種 因此總共有12 6 18種情況 故選B 類型三染色與種植問(wèn)題 典例3 1 用5種不同的顏色給圖中所給出的四個(gè)區(qū)域涂色 每個(gè)區(qū)域涂一種顏色 若要求相鄰 有公共邊 的區(qū)域不同色 那么共有 種不同的涂色方法 2 在一塊并排10壟的田地中 選擇2壟分別種植A B兩種作物 每種作物種植一壟 為有利于作物生長(zhǎng) 要求A B兩種作物的間隔不小于6壟 則不同的選壟方法共 種 解題探究 1 題 1 中涂色的順序一般是什么 2 在題 2 中A B兩種作物的間隔不小于6壟 有幾種情形 探究提示 1 一般可按1 2 3 4的順序進(jìn)行 2 有3種情形 即間隔6 7 8壟三種 自主解答 1 完成該件事可分步進(jìn)行 涂區(qū)域1 有5種顏色可選 涂區(qū)域2 有4種顏色可選 涂區(qū)域3 可先分類 若區(qū)域3的顏色與2相同 則區(qū)域4有4種顏色可選 若區(qū)域3的顏色與2不同 則區(qū)域3有3種顏色可選 此時(shí)區(qū)域4有3種顏色可選 所以共有5 4 1 4 3 3 260 種 涂色方法 答案 260 2 將并排的10壟田地從左到右編號(hào)為1到10號(hào) 由于A B兩種作物的間隔不小于6壟 依據(jù)題意知也不大于8壟 運(yùn)用分類討論的思想 根據(jù)兩種作物的左右及間隔進(jìn)行討論 當(dāng)A種在B左邊時(shí) 括號(hào)內(nèi)為田壟的序號(hào) 間隔6壟時(shí) 1 8 2 9 3 10 間隔7壟時(shí) 1 9 2 10 間隔8壟時(shí) 1 10 上述共有6種選壟方法 當(dāng)B種在A左邊時(shí) 同理也有6種選壟方法 綜上所述 總的選壟方法數(shù)為6 6 12 種 答案 12 方法技巧 解決涂色 種植 問(wèn)題的一般思路 1 按涂色 種植 的順序分步進(jìn)行 用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù) 2 按顏色 種植品種 恰當(dāng)選取情況分類 用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù) 3 幾何體的涂色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的涂色問(wèn)題處理 4 如果正面情況較多 可用間接法計(jì)算 變式訓(xùn)練 將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色 并使同一條棱上的兩端異色 若只有5種顏色可用 則不同的染色方法共有 種 解析 此題等價(jià)于如圖所示的平面著色問(wèn)題 第一步 對(duì)O點(diǎn)著色 有5種著色方法 第二步 對(duì)A點(diǎn)著色 有4種著色方法 第三步 對(duì)B點(diǎn)著色 有2種情況 第一種情況 B D同色 有3種方法 C點(diǎn)有3種方法 共有3 3 9種方法 第二種情況 B D不同色 有3 2 6種方法 C點(diǎn)有2種方法 共有6 2 12種方法 則第三步共有9 12 21種方法 綜上所述 不同的染色方法共有5 4 21 420種 答案 420 補(bǔ)償訓(xùn)練 2013 西安高二檢測(cè) 湖北省 鄂 分別與湖南 湘 安徽 皖 陜西 陜 三省交界 示意圖如圖 且湘 皖 陜互不交界 在地圖上分別給各省地域涂色 要求相鄰省涂不同色 現(xiàn)有五種不同顏色可供選用 則不同的涂色方法有 種 解析 由題意知本題是一個(gè)分步乘法計(jì)數(shù)問(wèn)題 首先涂陜西 有5種結(jié)果 再涂湖北省 有4種結(jié)果 然后涂安徽 有4種結(jié)果 再涂湖南有4種 即5 4 4 4 320 答案 320 規(guī)范解答 綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決涂色問(wèn)題 典例 12分 用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報(bào) 板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示 要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆 則該板報(bào)有多少種書寫方案 審題 抓信息 找思路 解題 明步驟 得高分 點(diǎn)題 警誤區(qū) 促提升失分點(diǎn)1 若不能準(zhǔn)確把握已知信息 對(duì) 處數(shù)學(xué)天地的涂色 易出現(xiàn)選取3種顏色的情況而致誤 失分點(diǎn)2 若對(duì)兩種計(jì)數(shù)原理不理解 在 處不能用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出所有的不同方案 則考試時(shí)至少會(huì)扣掉2分 悟題 提措施 導(dǎo)方向1 加強(qiáng) 分類 分步 的意識(shí)在求解比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí) 要注意分析問(wèn)題是需要進(jìn)行 分類 還是 分步 如本例就是要對(duì)各個(gè)板塊進(jìn)行分步涂色 2 掌握解決涂色問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)和技巧特別要關(guān)注圖形的特征 有多少塊 用多少種顏色 如圖形不是很規(guī)則 往往需要從某一塊出發(fā)進(jìn)行分步涂色 如本例 如圖形具有一定的對(duì)稱性 則往往先對(duì)涂色方案進(jìn)行分類 對(duì)每一類再進(jìn)行分步 類題試解 如圖 要給地圖A B C D四個(gè)區(qū)域分別涂上紅 黃 藍(lán)3種顏色中的某一種 允許同一種顏色使用多次 但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色 則不同的涂色方案有多少種 解析 根據(jù)題意 由于要用3種顏色來(lái)給四塊涂色 則可以先給A涂色有3種 再給B涂色有2種 由于A D相同時(shí) C D的涂法都有1種 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有3 2 1 1 6種