高中數(shù)學(xué) 2.1.2 演繹推理課件 新人教A版選修2-2.ppt

成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教A版 選修2 2 推理與證明 第二章 2 1合情推理與演繹推理 第二章 2 1 2演繹推理 理解演繹推理的概念 掌握演繹推理的形式 并能用它們進行一些簡單的推理 了解合情推理與演繹推理的聯(lián)系與區(qū)別 重點 演繹推理的含義及演繹推理規(guī)則 難點 演繹推理的應(yīng)用 日常生活中我們經(jīng)常接觸這樣的推理形式 所有金屬都導(dǎo)電 因為鐵是金屬 所以鐵導(dǎo)電 它是合情推理嗎 這種推理形式正確嗎 演繹推理 思維導(dǎo)航 1 演繹推理從 出發(fā) 推出 情況下的結(jié)論 我們把這種推理稱為演繹推理 簡言之 演繹推理是由 的推理 新知導(dǎo)學(xué) 一般性的原理 某個特殊 一般到特殊 2 演繹推理與合情推理的主要區(qū)別與聯(lián)系 1 合情推理與演繹推理的主要區(qū)別 歸納和類比都是常用的合情推理 從推理形式上看 歸納是由 到 到 的推理 類比是由 到 的推理 而演繹推理是由 到 的推理 從推理所得的結(jié)論來看 合情推理的結(jié)論不一定正確 有待于進一步的證明 演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下 得到的結(jié)論一定正確 部分 整體 個別 一般 特殊 特殊 一般 特殊 2 人們在認(rèn)識世界的過程中 需要通過觀察 實驗等獲取經(jīng)驗 也需要辨別它們的真?zhèn)?或?qū)⒎e累的知識加工 整理 使之條理化 系統(tǒng)化 合情推理和演繹推理分別在這兩個環(huán)節(jié)中扮演著重要角色 3 就數(shù)學(xué)而言 演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論 建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程 但數(shù)學(xué)結(jié)論 證明思路等的發(fā)現(xiàn) 主要靠合情推理 因此 我們不僅要學(xué)會證明 更要學(xué)會猜想 3 三段論 1 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 大前提 已知的 小前提 所研究的 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對特殊情況做出的 其一般推理形式為大前提 M是P 小前提 S是M 結(jié)論 一般原理 特殊情況 判斷 S是P 2 利用集合知識說明 三段論 若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P S是M的一個子集 那么 3 為了方便 在運用三段論推理時 常常采用省略大前提或小前提的表述方式 對于復(fù)雜的論證 總是采用一連串的三段論 把前一個三段論的 作為下一個三段論的前提 S中所有元素也都具有性質(zhì)P 結(jié)論 4 其他演繹推理形式 1 假言推理 若p q p真 則q真 2 關(guān)系推理 若aRb bRc 則aRc R表示一種傳遞性關(guān)系 如a b b c a c a b b c a c等 注 假言推理 關(guān)系推理在新課標(biāo)中未給定義 但這種推理形式是經(jīng)常見到的 為表述記憶方便 我們也一塊給出 以供學(xué)生擴展知識面 3 完全歸納推理是把所有可能的情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則 牛刀小試 答案 A 解析 大前提錯誤 因為對數(shù)函數(shù)y logax 0 a 1 是減函數(shù) 故選A 2 所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù) 某奇數(shù)是9的倍數(shù) 故某奇數(shù)是3的倍數(shù) 上述推理是 A 完全正確B 推理形式不正確C 錯誤 因為大小前提不一致D 錯誤 因為大前提錯誤 答案 A 3 2014 2015 廈門六中高二期中 有一段 三段論 推理是這樣的 對于可導(dǎo)函數(shù)f x 若f x0 0 則x x0是函數(shù)f x 的極值點 因為f x x3在x 0處的導(dǎo)數(shù)值f 0 0 所以x 0是f x x3的極值點 以上推理中 A 大前提錯誤B 小前提錯誤C 推理形式錯誤D 結(jié)論正確 答案 A 解析 f x0 0是f x 在x x0取得極值的必要條件 而不是充分條件 大前提是錯誤的 4 補充下列推理 使其成為完整的三段論 1 因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0 又因為a與b互為相反數(shù)且 所以b 8 2 因為 又因為e 2 71828 是無限不循環(huán)小數(shù) 所以e是無理數(shù) 答案 1 a 8 2 無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) 5 給出下列結(jié)論 演繹推理的特征為 前提為真時 結(jié)論一定為真 演繹推理的特征為 前提為真時 結(jié)論可能為真 由合情推理得到的結(jié)論一定為真 演繹推理和合情推理都可以用于證明 合情推理不能用于證明 演繹推理可用于證明 其中正確結(jié)論的序號為 答案 用三段論的形式寫出下列演繹推理 1 菱形的對角線相互垂直 正方形是菱形 所以正方形的對角線相互垂直 2 若兩角是對頂角 則此兩角相等 所以若兩角不相等 則此兩角不是對頂角 分析 即寫出推理的大前提 小前提 結(jié)論 大前提可能在題目中給出 也可能是已經(jīng)學(xué)過的知識 演繹推理的基本形式 三段論 解析 1 每個菱形的對角線都相互垂直大前提正方形是菱形小前提正方形的對角線相互垂直結(jié)論 2 若兩個角是對頂角則兩角相等大前提 1和 2不相等小前提 1和 2不是對頂角結(jié)論 方法規(guī)律總結(jié) 分析演繹推理的構(gòu)成時 要正確區(qū)分大前提 小前提 結(jié)論 省略大前提的要補出來 在三段論中 大前提 提供了一般的原理 小前提 指出了一個特殊場合的情況 結(jié)論 在大前提和小前提的基礎(chǔ)上 說明一般原則和特殊情況間的聯(lián)系 平時大家早已能自發(fā)地使用三段論來進行推理 學(xué)習(xí)三段論后我們要主動地理解和掌握這一推理方法 把下列演繹推理寫成三段論的形式 1 在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 水的沸點是100 所以在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 時 水會沸騰 2 因為 2100 1 是奇數(shù) 所以 2100 1 不能被2整除 3 如果 A與 B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角 那么 A B 180 4 因為函數(shù)y 2x 1是一次函數(shù) 所以y 2x 1是單調(diào)函數(shù) 5 711能被3整除 分析 在使用三段論推理的過程中 有時為了簡便 略去大前提或小前提 分析推理過程時 要把略去的部分補出來 明確其大前提 小前提是什么 解析 1 大前提 在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下 水的沸點是100 小前提 在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 結(jié)論 水會沸騰 2 大前提 一切奇數(shù)都不能被2整除 小前提 2100 1是奇數(shù) 結(jié)論 2100 1不能被2整除 3 大前提 兩條直線平行 同旁內(nèi)角互補 小前提 A與 B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角 結(jié)論 A B 180 4 大前提 一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) 小前提 函數(shù)y 2x 1是一次函數(shù) 結(jié)論 y 2x 1是單調(diào)函數(shù) 5 大前提 各位數(shù)字的和能被3整除的整數(shù) 能被3整除 小前提 711的各位數(shù)字的和能被3整除 結(jié)論 711能被3整除 演繹推理的判斷 指出下面推理中的錯誤 1 自然數(shù)是整數(shù) 大前提 6是整數(shù) 小前提 所以 6是自然數(shù) 結(jié)論 2 中國的大學(xué)分布在中國各地 大前提 北京大學(xué)是中國的大學(xué) 小前提 所以 北京大學(xué)分布在中國各地 結(jié)論 3 三角函數(shù)是周期函數(shù) 大前提 y sinx 0 x 是三角函數(shù) 小前提 y sinx 0 x 是周期函數(shù) 結(jié)論 分析 判斷三段論推理是否正確 必須嚴(yán)格按其推理規(guī)則進行考察 其推理規(guī)則為 所有M都是P S是M S是P 既要看大前提 小前提是否有誤 也要看推理形式是否合乎規(guī)范 解析 1 推理形式錯誤 自然數(shù)是整數(shù)為大前提 小前提應(yīng)是判斷某數(shù)為自然數(shù) 而不是某數(shù)為整數(shù) 2 推理形式錯誤 大前提中M是 中國的大學(xué) 它的含義是中國的每一所大學(xué) 而小前提中的 中國的大學(xué) 僅表示中國的一所大學(xué) 二者是兩個不同的概念 犯了偷換概念錯誤 3 推理形式錯誤 大前提中的 三角函數(shù) 和小前提中的 三角函數(shù) 概念不同 方法規(guī)律總結(jié) 1 判斷演繹推理是否正確的方法 1 看推理形式是否為由一般到特殊的推理 只有由一般到特殊的推理才是演繹推理 這是最易出錯的地方 2 看大前提是否正確 大前提往往是定義 定理 性質(zhì)等 注意其中有無前提條件 3 看小前提是否正確 注意小前提必須在大前提范圍之內(nèi) 4 看推理過程是否正確 即看由大前提 小前提得到的結(jié)論是否正確 2 在應(yīng)用三段論推理中 最常見的錯誤是偷換概念的錯誤 即大前提與小前提中同一名稱的概念含義不同 其次是推理形式錯誤 大前提 所有M都是P 則小前應(yīng)是 S是M 而非 S是P 3 設(shè)a b a 0 b 0 等式兩邊乘以a 得a2 ab 兩邊減去b2 得a2 b2 ab b2 兩邊分解因式 得 a b a b b a b 兩邊除以 a b 得a b b 以b代a 得2b b 兩邊除以b 得2 1 解析 上述推理過程都是錯誤的 1 犯了偷換論題 以偏概全的錯誤 在證明過程中 把論題中的四邊形改為矩形 2 使用的論據(jù)是 無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù) 這個論據(jù)是假的 因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù) 因此原題的真實性仍無法斷定 3 所得結(jié)果顯然是錯誤的 錯誤的原因在于以 a b 除等式兩邊 因為a b 而a b 0 用0除等式兩邊 這是錯誤的 綜合應(yīng)用 已知定義域為 0 1 的函數(shù)f x 同時滿足以下三個條件 對任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若 當(dāng)x1 0 x2 0且x1 x2 1時 有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱f x 為 友誼函數(shù) 1 若已知f x 為 友誼函數(shù) 求f 0 的值 2 函數(shù)g x 2x 1在區(qū)間 0 1 上是否為 友誼函數(shù) 并給出理由 3 已知f x 為 友誼函數(shù) 且0 x1 x2 1 求證 f x1 f x2 分析 定義域為 0 1 在研究函數(shù)過程中不能超出這個范圍 第 1 問已知f x 為友誼函數(shù) 求f 0 可用賦值法求解 第 2 問給出f x 解析式和定義區(qū)間 判斷f x 是否為友誼函數(shù) 需緊扣定義驗證f x 是否滿足三個條件 第 3 問要證f x1 f x2 需依據(jù)條件 進行變換 注意條件 在變形中的應(yīng)用 解析 1 取x1 x2 0 得f 0 f 0 f 0 f 0 0 又由f 0 0 得f 0 0 2 顯然g x 2x 1在 0 1 上滿足 g x 0 g 1 1 若x1 0 x2 0 且x1 x2 1 則有g(shù) x1 x2 g x1 g x2 2x1 x2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 1 2x2 1 0 故g x 2x 1滿足條件 所以g x 2x 1為 友誼函數(shù) 3 因為0 x1 x2 1 則0 x2 x1 1 所以f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 方法規(guī)律總結(jié) 1 應(yīng)用演繹推理證明時 必須確切知道每一步推理的依據(jù) 大前提 驗證條件是否滿足 小前提 然后得出結(jié)論 2 在幾何 代數(shù)證題過程中 如果每一次都按三段論寫出解答過程會很繁瑣 也不必要 因此實際證題中 那些公認(rèn)的簡單事實 已知的公理 定理等大前提條件可以省略 那些前面證得的結(jié)論也可省略 但必須要保證證題過程的嚴(yán)密規(guī)范 用三段論分析下列推理過程 已知空間四邊形ABCD中 點E F分別在AB AD上的中點 求證 EF 平面BCD 證明 E F分別為邊AB AD的中點 EF BD 又 EF 平面BCD BD 平面BCD EF 平面BCD 解析 在上述推理過程中 兩次使用了三段論 第一次由EF是 ABD的中位線推出EF BD 省略了大前提 三角形的中位線平行于第三邊 第二次由EF BD推出EF 平面BCD 省略了大前提 如果平面外一條直線和這個平面平行 那么這條直線與這個平面平行 不要張冠李戴 如圖所示 在 ABC中 AC BC CD是AB邊上的高 求證 ACD BCD 錯解 在 ABC中 因為AC BC CD AB 所以AD BD 所以 ACD BCD 辨析 錯誤的原因在于雖然運用的大前提正確 即在同一個三角形中 大邊對大角 但AD與BD并不是在同一個三角形內(nèi)的兩條邊 即小前提不成立 所以推理過程錯誤 正解 因為CD AB 所以 ADC BDC 90 所以 A ACD B BCD 90 在 ABC中 AC BC B A ACD BCD 警示 利用三段論推理時 一 大前提必須是真命題 2 小前提是大前提的特殊情形