2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫（一）.doc

2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫（一）如果一個(gè)圖形可以用筆在紙上連續(xù)不斷而且不重復(fù)地一筆畫成，那么這個(gè)圖形就叫一筆畫。顯然，在下面的圖形中，(1)(2)不能一筆畫成，故不是一筆畫，(3)(4)可以一筆畫成，是一筆畫。同學(xué)們可能會(huì)問(wèn)：為什么有的圖形能一筆畫成，有的圖形卻不能一筆畫成呢？一筆畫圖形有哪些特點(diǎn)？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題有一個(gè)著名的數(shù)學(xué)故事哥尼斯堡七橋問(wèn)題。哥尼斯堡是立陶宛共和國(guó)的一座城市，布勒格爾河從城中穿過(guò)，河中有兩個(gè)島，18世紀(jì)時(shí)河上共有七座橋連接A，B兩個(gè)島以及河的兩岸C，D(如下圖)。所謂七橋問(wèn)題就是：一個(gè)散步者要一次走遍這七座橋，每座橋只走一次，怎樣走才能成功？當(dāng)時(shí)的許多人都熱衷于解決七橋問(wèn)題，但是都沒(méi)成功。后來(lái)，這個(gè)問(wèn)題引起了大數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783)的興趣，許多人的不成功促使歐拉從反面來(lái)思考問(wèn)題：是否根本就不存在這樣一條路線呢？經(jīng)過(guò)認(rèn)真研究，歐拉終于在1736年圓滿地解決了七橋問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)了一筆畫原理。歐拉是怎樣解決七橋問(wèn)題的呢？因?yàn)閸u的大小，橋的長(zhǎng)短都與問(wèn)題無(wú)關(guān)，所以歐拉把A，B兩島以及陸地C，D用點(diǎn)表示，橋用線表示，那么七橋問(wèn)題就變?yōu)橛覉D是否可以一筆畫的問(wèn)題了。我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。如下圖中，A，B，C，E，F(xiàn)，G，I是偶點(diǎn)，D，H，J，O是奇點(diǎn)。歐拉的一筆畫原理是：(1)一筆畫必須是連通的(圖形的各部分之間連接在一起)；(2)沒(méi)有奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時(shí)可以以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)；(3)只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；(4)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形不是一筆畫。利用一筆畫原理，七橋問(wèn)題很容易解決。因?yàn)閳D中A，B，C，D都是奇點(diǎn)，有四個(gè)奇點(diǎn)的圖形不是一筆畫，所以一個(gè)散步者不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋。順便補(bǔ)充兩點(diǎn)：(1)一個(gè)圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。因?yàn)閳D形中的每條線都有兩個(gè)端點(diǎn)，所以圖形中所有端點(diǎn)的總數(shù)必然是偶數(shù)。如果一個(gè)圖形中奇點(diǎn)的數(shù)目是奇數(shù)，那么這個(gè)圖形中與奇點(diǎn)相連接的端點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)(奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù))，與偶點(diǎn)相連的線的端點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)(任意個(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù))，于是得到所有端點(diǎn)的總數(shù)是奇數(shù)，這與前面的結(jié)論矛盾。所以一個(gè)圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。(2)有K個(gè)奇點(diǎn)的圖形要K2筆才能畫成。例如：下頁(yè)左上圖中的房子共有B，E，F(xiàn)，G，I，J六個(gè)奇點(diǎn)，所以不是一筆畫。如果我們將其中的兩個(gè)奇點(diǎn)間的連線去掉一條，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)都變成了偶點(diǎn)，如果能去掉兩條這樣的連線，使圖中的六個(gè)奇點(diǎn)變成兩個(gè)，那么新圖形就是一筆畫了。將線段GF和BJ去掉，剩下I和E兩個(gè)奇點(diǎn)(見右下圖)，這個(gè)圖形是一筆畫，再添上線段GF和BJ，共需三筆，即( 6 2)筆畫成。一個(gè)K(K1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)。如左下圖中的B，C兩個(gè)奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn)。所以只要在K筆畫的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加(K-1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何判斷一筆畫和多筆畫，以及怎樣添加連線將多筆畫變成一筆畫。附送：2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫（二）利用一筆畫原理，我們可以解決許多有趣的實(shí)際問(wèn)題。例1 下圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過(guò)每一扇門？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。如果能，應(yīng)從哪開始走？分析與解：我們將每個(gè)展室看成一個(gè)點(diǎn)，室外看成點(diǎn)E，將每扇門看成一條線段，兩個(gè)展室間有門相通表示兩個(gè)點(diǎn)間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復(fù)地穿過(guò)每扇門的問(wèn)題，變?yōu)橛覉D是否一筆畫問(wèn)題。下圖中只有A，D兩個(gè)奇點(diǎn)，是一筆畫，所以答案是肯定的，應(yīng)該從A或D展室開始走。例1的關(guān)鍵是如何把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題變?yōu)榕袛嗍欠褚还P畫問(wèn)題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題時(shí)做的那樣。例2 一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如下圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？分析與解：圖中共有8個(gè)奇點(diǎn)，必須在8個(gè)奇點(diǎn)間添加4條線，才能消除所有奇點(diǎn)，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個(gè)奇點(diǎn)間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復(fù)走的路，顯然，這樣重復(fù)走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。例3下圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100米。小明沿線段從A點(diǎn)到B點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？分析與解：這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實(shí)際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有8個(gè)奇點(diǎn)，在8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4條線段，才能使這8個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A，B都是偶點(diǎn)，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點(diǎn)。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下圖?；蚶?與例3的圖中各有8個(gè)奇點(diǎn)，都是通過(guò)減少奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，將多筆畫變成一筆畫的問(wèn)題，但它們采用的方法卻完全不同。因?yàn)槔?中只要求走遍所有的線段，沒(méi)有要求不能重復(fù)，所以通過(guò)添加線段的方法(實(shí)際是重復(fù)走添加線段的這段路)，將奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)，使多筆畫變成一筆畫。而在例3中，要求不能走重復(fù)的路，所以不能添加線段，只能通過(guò)減少線段的方法，將奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)，使多筆畫變成一筆畫。區(qū)別就在于能否重復(fù)走！能“重復(fù)”就“添線”，不能“重復(fù)”就“減線”。例4在六面體的頂點(diǎn)B和E處各有一只螞蟻(見下圖)，它們比賽看誰(shuí)能爬過(guò)所有的棱線，最終到達(dá)終點(diǎn)D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？分析與解：許多同學(xué)看不出這是一筆畫問(wèn)題，但利用一筆畫的知識(shí)，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過(guò)所有的棱，沒(méi)要求不能重復(fù)?？墒莾芍晃浵伵浪傧嗤?，如果一只不重復(fù)地爬遍所有的棱，而另一只必須重復(fù)爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達(dá)D點(diǎn)，因而獲勝。問(wèn)題變?yōu)閺腂到D與從E到D哪個(gè)是一筆畫問(wèn)題。圖中只有E，D兩個(gè)奇點(diǎn)，所以從E到D可以一筆畫出，而從B到D卻不能，因此E點(diǎn)的螞蟻獲勝。