高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 第42講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件

立體幾何第第 七七 章章第第4242講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理2能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.2016全國卷，182016全國卷，192016江蘇卷，162016浙江卷，18與直線、平面垂直有關(guān)的命題判斷，線線、線面、面面垂直的證明，直線與平面所成的角的計算，求解二面角大小，由線面垂直或面面垂直探求動點的位置.分值：56分板板 塊塊 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導航 1直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直任意一條 (2)判定定理與性質(zhì)定理兩條相交直線 a，b abO la lb 平行 a b 2平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說這兩個平面互相垂直 (2)判定定理和性質(zhì)定理直二面角 垂線 l l 交線 l a la 1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，則l.() (2)過一點作已知直線的垂面有且只有一個() (3)若兩條直線垂直，則這兩條直線相交() (4)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一平面() (5)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則.() 解析 (1)錯誤直線l與內(nèi)兩條相交直線都垂直才有l(wèi). (2)正確過一點可以作兩條相交直線都垂直于已知直線，而這兩條相交直線可確定一個平面，此平面與直線垂直 (3)錯誤兩條直線垂直，這兩條直線可能相交，也可能異面 (4)錯誤兩個平面垂直，有一條交線，一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面，而不是任意一條直線 (5)錯誤內(nèi)的一條直線如果與內(nèi)的兩條相交直線都垂直才能線面垂直，從而面面垂直 2設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且bm，則“”是“ab”的() A充分不必要條件B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必要條件 解析 由面面垂直的性質(zhì)定理可知，當時，b. 又因為a，則ab; 如果am，ab，不能得到， 故“”是“ab”的充分不必要條件故選AA 3已知m和n是兩條不同的直線， 和是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是() A且mB且m Cmn且nDmn，n且 解析 ，且mm或m或m與相交，故A項不成立； ，且mm或m或m與相交，故B項不成立； mn，且nm.故C項成立； mn，n，且，知m不成立，故D項不成立，故選CC 4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有_對 解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD， 平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC， 平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7對7 5在三棱錐PABC中，點P在平面ABC內(nèi)的射影為點O. (1)若PAPBPC，則點O是ABC的_心； (2)若PAPB，PBPC, PCPA，則點O是ABC的_心 解析 (1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC， 故O是ABC的外心； (2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，則PABC 又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，則AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心外垂 (1)證明直線和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì) (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想 (3)線面垂直的性質(zhì)常用來證明線線垂直一直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，F(xiàn)為棱BC的中點 (1)求證：直線AE直線DA1； (2)在線段AA1上求一點G，使得直線AE平面DFG. 解析 (1)證明：由正方體的性質(zhì)可知， DA1AD1，DA1AB， 又ABAD1A，DA1平面ABC1D1， 又AE平面ABC1D1，DA1AE. (2)所求G點即為A1點，證明如下： 由(1)可知AEDA1，取CD的中點H， 連接AH，EH，由DFAH，DFEH，AHEHH，可證DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE. 又DFA1DD，AE平面DFA1，即AE平面DFG.二平面與平面垂直的判定與性質(zhì) (1)判定面面垂直的方法： 面面垂直的定義； 面面垂直的判定定理(a，a) (2)在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化 在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 【例2】 已知三棱柱A1B1C1ABC的側(cè)棱與底面成60角，底面是等邊三角形，側(cè)面B1C1CB是菱形且與底面垂直，求證：AC1BC 證明 過C1作C1HBC于H，連接AH， 又側(cè)面B1C1CB底面ABC， 側(cè)面B1C1CB 底面ABCBC， C1H底面ABC 側(cè)棱CC1與底面ABC所成角， 即為C1CH60，三垂直關(guān)系中的探索性問題 解決垂直關(guān)系中的探索性問題的方法 同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點的位置，多為線段的中點或某個等分點，然后給出符合要求的證明 【例3】 如圖，在三棱臺ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC (1)設(shè)平面ACE平面DEFa，求證：DFa； (2)若EFCF2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG平面CDE？若存在，請確定G點的位置；若不存在，請說明理由 1(2018山東青島模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則能得出ab的是() Aa，b，Ba，b， Ca，b，Da，b， 解析 對于C項，由，a可得a，又b，得ab，故選CC 2(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則() AmlBmn CnlDmn 解析 l，l，n，nl.C 3如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中點 證明：(1) CDAE； (2)PD平面ABE. 證明 (1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACDACCD，PAACA，CD平面PAC， 而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA E是PC的中點，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD而PD平面PCD，AEPD PA底面ABCD，PAAB又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD 又ABAEA，PD平面ABE. 4如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點，Q為SB的中點 (1)求證：CD平面SAD； (2)求證：PQ平面SCD； (3)若SASD，M為BC的中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN平面ABCD？并證明你的結(jié)論 解析 (1)證明：因為四邊形ABCD為正方形，所以CDAD 又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD， 所以CD平面SAD (3)存在點N為SC的中點，使得平面DMN平面ABCD 連接PC，DM交于點O，連接PM，SP，NM，ND，NO， 因為PDCM，且PDCM， 所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以POCO. 又因為N為SC的中點，所以NOSP. 易知SPAD， 平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD， 所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD 因為NO平面DMN，所以平面DMN平面ABCD 錯因分析：已知條件中給出了線面垂直，求證的是線線平行，若忽略線面垂直的性質(zhì)定理，則覺得論證無從下手，從而造成解題困難 【例1】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別在BD，B1C上，且MNBD, MNB1C，求證：MNAC1.易錯點聯(lián)想不到已學定理 【跟蹤訓練1】 如圖，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E, F分別是點A在PB, PC上的射影，給出下列結(jié)論： AFPB；EFPB；AFBC；AEBC正確結(jié)論的個數(shù)為() A1B2 C3D4C 解析 AB是圓O的直徑，ACBC，又PA面ABC，故PABC，且PAACA，BC面PAC，BCAF. 又AFPC，且PCBCC，AF面PBC，故AFPB 又AEPB，且AFAEA，PB面AEF，從而EFPB，故正確若AEBC，則可證AE面PBC，則AEAF，這是不可能的，選C