高中數學 第一章 導數及其應用 5.3 定積分的概念課件 新人教B版選修2-2.ppt

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1 5 3定積分的概念 定積分的概念 內容 應用 求定積分 利用定積分求不規(guī)則圖形的面積 定積分的幾何意義 本課主要學習定積分的概念 幾何意義及定積分的性質 通過求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程 了解定積分的背景 從求曲邊梯形的面積和變速運動行駛的路程出發(fā) 讓學生自己感受這兩類問題都是共同的特點 特定形式和的極限 從而引導學生學習定積分的概念 再結合圖像理解定積分的幾何意義和掌握定積分的運算性質就容易理解和掌握了 設置了3個例題 通過解決具體問題鞏固定積分的概念 例題設置難易適度 每個例題后有針對性的練習 便于學生鞏固和掌握 另外題型涉及到用定積分的概念 運算性質和幾何意義去求解問題 培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力 微積分在幾何上有兩個基本問題 1 如何確定曲線上一點處切線的斜率 2 如何求曲線下方 曲線梯形 的面積 直線 幾條線段連成的折線 曲線 知識回顧 用 以直代曲 解決問題的思想和具體操作過程 分割 以曲代直 作和 逼近 求由連續(xù)曲線y f x 對應的曲邊梯形面積的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i個小曲邊梯形的面積用高為f xi 寬為Dx的小矩形面積f xi Dx近似地去代替 4 逼近 所求曲邊梯形的面積S為 3 作和 取n個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在區(qū)間 a b 上等間隔地插入n 1個點 將它等分成n個小區(qū)間 每個小區(qū)間寬度 x 如果當n 時 Sn就無限接近于某個常數 這個常數為函數f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出 通過 四個步驟 分割 以直代曲 求和 逼近 1 曲邊梯形面積問題 2 變力作功問題 3 變速運動的距離問題 我們把這些問題從具體的問題中抽象出來 作為一個數學概念提出來就是今天要講的定積分 由此我們可以給定積分的定義 它們都歸結為 分割 近似求和 取逼近值 問題情境 定積分的定義 一般地 設函數f x 在區(qū)間 a b 上有定義 將區(qū)間 a b 等分成n個小區(qū)間 每個小區(qū)的長度為 在每個小區(qū)間上取一點 依次為x1 x2 xi xn 作和如果無限趨近于0時 Sn無限趨近于常數S 那么稱常數S為函數f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 定積分的相關名稱 叫做積分號 f x dx 叫做被積表達式 f x 叫做被積函數 x 叫做積分變量 a 叫做積分下限 b 叫做積分上限 a b 叫做積分區(qū)間 積分下限 積分上限 按定積分的定義 有 1 由連續(xù)曲線y f x f x 0 直線x a x b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 2 設物體運動的速度v v t 則此物體在時間區(qū)間 a b 內運動的距離s為 3 設物體在變力F F r 的方向上有位移 則F在位移區(qū)間 a b 內所做的功W為 注 定積分數值只與被積函數及積分區(qū)間 a b 有關 與積分變量記號無關 1 由曲線y x2 1與直線x 1 x 3及x軸所圍成的曲邊梯形的面積 用定積分表示為 中 積分上限是 積分下限是 積分區(qū)間是 2 2 2 2 3 定積分 8 函數在區(qū)間 a b 上的定積分能否為負的 定積分 定積分 定積分的幾何意義 當f x 0 定積分的幾何意義就是 曲線y f x 直線x a x b y 0所圍成的曲邊梯形的面積 當函數f x 0 x a b 時定積分幾何意義 就是位于x軸下方的曲邊梯形面積的相反數 用定積分表示下列陰影部分面積 S S S 當函數f x 在x a b 有正有負時 定積分幾何意義 就是圖中幾個曲邊圖形面積的代數和 x軸上方面積取正號 x軸下方面積取負號 定積分的幾何意義 在區(qū)間 a b 上曲線與x軸所圍成圖形面積的代數和 即x軸上方的面積減去x軸下方的面積 例1 計算下列定積分 求定積分 只要理解被積函數和定積分的意義 并作出圖形 即可解決 定積分的基本性質 性質1 性質2 定積分關于積分區(qū)間具有可加性 性質3 例2 用定積分表示圖中四個陰影部分面積 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x f x x2 f x x2 1 2 f x 1 a b 1 2 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 解 0 0 0 0 a y x y x y x y x 1 2 a b 1 2 f x x2 f x x2 f x 1 f x x 1 2 1 例3 解 x y f x sinx 1 1 定積分的實質 特殊和式的逼近值 2 定積分的思想和方法 求近似以直 不變 代曲 變 取逼近 3 定積分的幾何意義及簡單應用 1 利用定積分的幾何意義 判斷下列定積分值的正 負號 利用定積分的幾何意義 說明下列各式 成立 1 2 1 2 試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積 0 y x y x2 1 2 0 x y g x a b y 2 面積值為圓的面積的