(廣西專用)2019中考數(shù)學(xué)二輪新優(yōu)化復(fù)習(xí) 第二部分 專題綜合強(qiáng)化 專題6 圓的相關(guān)證明與計算針對訓(xùn)練.doc
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第二部分 專題六 類型1 與全等三角形相關(guān)證明與計算 1.(xx梧州)如圖,過⊙O上的兩點(diǎn)A,B分別作切線,并交BO、AO的延長線于點(diǎn)C,D,連接CD,交⊙O于點(diǎn)E,F(xiàn),過圓心O作OM⊥CD,垂足為M點(diǎn). 求證:(1)△ACO≌△BDO; (2)CE=DF. 證明:(1)∵AC,BD為⊙O的切線, ∴∠CAO=∠DBO=90, 在△ACO和△BDO中, ∴△ACO≌△BDO(ASA). (2)∵△ACO≌△BDO,∴CO=DO. ∵OM⊥CD,∴MC=DM,EM=MF,∴CE=DF. 2.(xx北京)如圖,AB是⊙O的直徑,過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC,PD,切點(diǎn)分別為C,D,連接OP,CD. (1)求證:OP⊥CD; (2)連接AD,BC,若∠DAB=50,∠CBA=70, OA=2,求OP的長. (1)證明:如答圖,連接OC,OD.∴OC=OD. ∵PD,PC是⊙O的切線, ∴∠ODP=∠OCP=90. 在Rt△ODP和Rt△OCP中, ∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL), ∴∠DOP=∠COP, ∵OD=OC,∴OP⊥CD. (2)解:∵OA=OD=OC=OB=2, ∴∠ADO=∠DAO=50,∠BCO=∠CBO=70, ∴∠AOD=80,∠BOC=40, ∴∠COD=60.∵OD=OC, ∴△COD是等邊三角形, 由(1)知,∠DOP=∠COP=30, 在Rt△ODP中,OP==. 3.(xx賀州)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,過點(diǎn)D的切線分別交AB,AC的延長線于E,F(xiàn),連接BD. (1)求證:AF⊥EF; (2)若AC=6,CF=2,求⊙O的半徑. (1)證明:如答圖1,連接OD. ∵EF是⊙O的切線,且點(diǎn)D在⊙O上, ∴OD⊥EF.∵OA=OD,∴∠DAB=∠ADO. ∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC, ∴∠ADO=∠DAC,∴AF∥OD,∴AF⊥EF. (2)解:如答圖2,過D作DG⊥AE于點(diǎn)G,連接CD.∵∠BAD=∠DAF,AF⊥EF, ∴BD=CD,DG=DF, 在Rt△ADF和Rt△ADG中, ∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL), 同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG, ∴BG=CF=2,AG=AF=AC+CF=6+2=8, ∴AB=AG+BG=8+2=10, ∴⊙O的半徑為AB=5. 4.(xx蘇州)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD垂直于過點(diǎn)C的切線,垂足為D,CE垂直AB,垂足為E.延長DA交⊙O于點(diǎn)F,連接FC,F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G,連接OC. (1)求證:CD=CE; (2)若AE=GE,求證:△CEO是等腰直角三角形. 證明:(1)連接AC.∵CD是⊙O的切線, ∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴∠DCO=∠D=90, ∴AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO.∵OC=OA, ∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO. ∵CE⊥AB,∴∠CEA=90, 在△CDA和△CEA中,∵ ∴△CDA≌△CEA(AAS),∴CD=CE. (2)連接BC.∵△CDA≌△CEA, ∴∠DCA=∠ECA.∵CE⊥AG,AE=EG, ∴CA=CG,∴∠ECA=∠ECG. ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90, ∵CE⊥AB,∴∠ACE=∠B.∵∠B=∠F, ∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG. ∵∠D=90,∴∠DCF+∠F=90, ∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5, ∴∠AOC=2∠F=45, ∴△CEO是等腰直角三角形. 類型2 與相似三角形相關(guān)證明與計算 1.(xx玉林適應(yīng)考試)如圖,AD是⊙O的直徑,AB為⊙O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長線交于點(diǎn)P,點(diǎn)C在OP上,且BC=PC. (1)求證:直線BC是⊙O的切線; (2)若OA=3,AB=2,求BP的長. (1)證明:如答圖,連接OB. ∵OA=OB,∴∠A=∠OBA. 又∵BC= PC, ∴∠P=∠CBP.∵OP⊥AD, ∴∠A+∠P=90, ∴∠OBA+∠CBP=90, ∴∠OBC=180-(∠OBA +∠CBP)=90. ∵點(diǎn)B在⊙O上,直線BC是⊙O的切線. (2)解:如答圖,連接DB. ∵AD是⊙O的直徑, ∴∠ABD =90, ∴Rt△ABD∽Rt△AOP, ∴=,即=,解得AP=9, ∴BP=AP-BA=9-2=7. 2.(xx賀州)如圖,AB是⊙O的弦,過AB的中點(diǎn)E作EC⊥OA,垂足為C,過點(diǎn)B作直線BD交CE的延長線于點(diǎn)D,使得DB=DE. (1)求證:BD是⊙O的切線; (2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面積. (1)證明:∵OA=OB,DB=DE, ∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠DBE.∵EC⊥OA,∠DEB=∠AEC, ∴∠A+∠DEB=90, ∴∠OBA+∠DBE=90,∴∠OBD=90. ∵OB是⊙O的半徑,∴BD是⊙O的切線. (2)解:過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F,連接OE,如答圖. ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AB=12, ∴AE=EB=6,OE⊥AB. 又∵DE=DB,DF⊥BE, ∴DE=DB=5, ∴EF=BF=3,∴DF==4. ∵∠AEC=∠DEF,∴∠A=∠EDF. ∵OE⊥AB,DF⊥AB,∴∠AEO=∠DFE=90, ∴△AEO∽△DFE,∴=, 即=,得EO=, ∴S△AOB=ABOE=12=27. 3.(xx隨州)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),CN為⊙O的切線,OM⊥AB于點(diǎn)O,分別交AC,CN于D,M兩點(diǎn). (1)求證:MD=MC; (2)若⊙O的半徑為5,AC=4,求MC的長. (1)證明:如答圖,連接OC. ∵CN為⊙O的切線, ∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90. ∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA, ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC. (2)解:由題意可知AB=52=10,AC=4. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90, ∴BC==2. ∵∠AOD=∠ACB,∠OAD=∠CAB, ∴△AOD∽△ACB, ∴=,即=,可得OD=.設(shè)MC=MD=x, 在Rt△OCM中,由勾股定理得(x+)2=x2+52, 解得x=,即MC=. 4.(xx來賓)如圖,在△ABC中,∠C=90,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,DE⊥AD,交AB于點(diǎn)E,AE為⊙O的直徑. (1)判斷BC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)求證:△ABD∽△DBE; (3)若cosB=,AE=4,求CD. (1)解:結(jié)論:BC與⊙O相切. 證明:如答圖,連接OD. ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA. ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠DAB,∴∠CAD=∠ADO, ∴AC∥OD. ∵AC⊥BC,∴OD⊥BC,∴BC是⊙O的切線. (2)證明:∵BC是⊙O的切線,∴∠ODB=90, ∴∠BDE+∠ODE=90.∵AE是⊙O的直徑, ∴∠ADE=90,∴∠DAE+∠AED=90. ∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED, ∴∠DAB=∠BDE.∵∠ABD=∠DBE, ∴△ABD∽△DBE. (3)解:在Rt△ODB中,∵cosB==, ∴設(shè)BD=2k,OB=3k.∵OD2+BD2=OB2, ∴4+8k2=9k2,∴k=2,∴BO=6,BD=4. ∵DO∥AC, ∴=,∴=, ∴CD=. 類型3 與銳角三角函數(shù)相關(guān)證明與計算 1.(xx畢節(jié))如圖,在△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的垂線交AB于點(diǎn)F,交CB的延長線于點(diǎn)G,且∠ABG=2∠C. (1)求證:EG是⊙O的切線; (2)若tanC=,AC=8,求⊙O的半徑. (1)證明:如答圖,連接OE,BE.∵∠ABG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,∴∠C=∠A,∴BC=AB. ∵BC是⊙O的直徑, ∴∠CEB=90,∴CE=AE. ∵CO=OB,∴OE∥AB. ∵GE⊥AB, ∴EG⊥OE.又∵OE是⊙O半徑,∴EG是⊙O的切線. (2)解:∵AC=8,∴CE=AE=4.∵tanC==,∴BE=2,∴BC==2, ∴CO=,即⊙O的半徑為. 2.(xx貴港二模)如圖,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90 ,以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接BD, DE. (1)求證: DE是⊙O的切線; (2)若AB=3AD,求sinC. (1)證明:連接OD.∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90,∴∠BDC=90.∵E為BC的中點(diǎn), ∴DE=BE=CE,∴∠EDB=∠EBD.∵OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD.∵∠ABC=90, ∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90,∴OD⊥DE,∵OD是⊙O的半徑, ∴DE是⊙O的切線. (2)解:∵AB為⊙O的直徑, ∴∠ADB=90, ∴∠ABD+∠BAD=90.∵∠ABC=90, ∴∠C+∠BAC=90,∴∠C=∠ABD.∵AB=3AD,∴sin∠ABD==,∴sinC=. 3.(xx柳州三模)如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K. (1)求證: KE=GE; (2)若KC2=KDCE ,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說明理由; (3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=2 ,求FG的長. 第3題答圖 (1) 解:如答圖1,連接OG. ∵EG是⊙O的為切線,∴∠KGE+∠OGA=90. ∵CD⊥AB, ∴∠AKH+∠OAG=90. 又∵OA=OG, ∴∠OGA=∠OAG, ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE, ∴KE=GE. (2)解:AC∥EF.理由:連接GD,如答圖2所示. ∵KG2=KDGE,即=, ∴=, 又∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK , ∴∠E=∠AGD.又∵∠C=∠AGD, ∴∠E=∠C, ∴AC∥EF. (3) 解:連接OG,OC,如答圖3所示. ∵sinE=sin∠ACH=,設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t.∵KE=GE,AC∥EF, ∴CK=AC=5t, ∴HK=CK-CH=t.在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,即(3t)2+t2=(2)2, 解得t=.設(shè)⊙O的半徑為r,在Rt△OCH中, OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得OH2+CH2=OC2,即(r-3t)2+(4t)2=r2,解得r= . ∵EF為⊙O的切線, ∴△OGF為直角三角形,在Rt△OGF中,OG=r,tan∠OFG=tan∠CAH==, ∴FG===. 4.(xx北海)在△ABC中,AB=AC.以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D, ⊙O的切線BP與AC的延長線交于點(diǎn)P,連接DE,BE. (1)求證:=; (2)求證:∠AED=∠BCP; (3)已知:sin∠BAD=,AB=10,求BP的長. (1)證明:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90,即AD⊥BC.又∵AB=AC, ∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∴=. (2)證明: ∵AB是⊙O的直徑,AD⊥BC, ∴BD=DC.∵=,∴BD=DE, ∴DC=DE,∴∠DEC=∠DCE. ∵∠AED+∠DEC=180,∠DCE+∠BCP=180, ∴∠AED=∠BCP. (3)解:∵sin∠BAD==,AB=10, ∴AC=AB=10,BD=2,∴DC=DE=2. 設(shè)EC=x,則AE=10-x, ∵在Rt△ABE中,BE2=AB2-AE2, 在Rt△BEC中,BE2=BC2-EC2,∴AB2-AE2=BC2-EC2, 即102-(10-x)2=(2+2)2-x2, 解得x=4,∴ EC=4,AE=6,∴BE===8. ∵∠ABE+∠EBP=90,∠EBP+∠P=90, ∴∠ABE=∠P. 又∵∠AEB=∠ABP=90,∴△ABE∽△APB, ∴=,即=,∴BP=. 類型4 與特殊三角形相關(guān)證明與計算 1.(xx欽州)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分線,BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E,點(diǎn)O在AB上,以O(shè)B為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F. (1)求證:AD是⊙O的切線; (2)若AC=4,∠C=30,求的長. (1)證明:如答圖,連接OE. ∵OB=OE, ∴∠OBE=∠OEB. ∵BE平分∠ABC, ∴∠OBE=∠EBD, ∴∠OEB=∠EBD,∴OE∥BD. ∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC, ∴∠OEA=∠BDA=90.∵點(diǎn)F有⊙O上,∴AD是⊙O的切線. (2)解:∵AB=AC=4,∠C=∠B=30, ∴BD=2.設(shè)⊙O的半徑為r,則BO=OE=r,AO=AB-OB=4-r.∵OE∥BD,∴=, 即=,解得r=8-12, ∴l(xiāng)==(-2)π. 2.(xx巴中)如圖,在△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE∥AB,與過點(diǎn)A的切線相交于點(diǎn)E,連接AD. (1)求證:AD=AE; (2)若AB=6,AC=4,求AE的長. (1)證明:∵AE與⊙O相切, AB是⊙O的直徑,∴∠BAE=90, ∠ADB=90.∵CE∥AB,∴∠E=90, ∴∠E=∠ADB.∵在△ABC中,AB=BC, ∴∠BAC=∠BCA. ∵CE∥AB, ∴∠BAC=∠ACE, ∴∠BCA=∠ACE.又∵AC=AC, ∴△ADC≌△AEC(AAS),∴AD=AE. (2)解:設(shè)AE=AD=x,CE=CD=y(tǒng), 則BD=6-y. ∵△AEC和△ADB為直角三角形, ∴AE2+CE2=AC2,AD2+BD2=AB2,將AB=6, AC=4,AE=AD=x,CE=CD=y(tǒng),BD=6-y代入,解得x=,y=,即AE的長為. 3.(xx南寧)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,BD是角平分線,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E. (1)求證:AC是⊙O的切線; (2)若OB=10,CD=8,求BE的長. (1)證明:如答圖,連接OD. ∵BD為∠ABC的平分線, ∴∠1=∠2.∵OB=OD, ∴∠1=∠3,∴∠2=∠3, ∴OD∥BC.∵∠C=90, ∴∠ODA=90. ∵點(diǎn)D在⊙O上, ∴AC為⊙O的切線; (2)解:過O作OG⊥BC,連接OE,如答圖. ∴四邊形ODCG為矩形, ∴GC=OD=OB=10, OG=CD=8,在Rt△OBG中,利用勾股定理得 BG=6.∵OG⊥BE,OB=OE,∴BE=2BG=12. 類型5 與特殊四邊形相關(guān)證明與計算 1.(xx畢節(jié))如圖,已知⊙O的直徑CD=6,A,B為圓周上兩點(diǎn),且四邊形OABC是平行四邊形,過A點(diǎn)作直線EF∥BD,分別交CD,CB的延長線于點(diǎn)E,F(xiàn),AO與BD交于G點(diǎn). (1)求證:EF是⊙O的切線; (2)求AE的長. (1)證明:∵CD為⊙O的直徑,∴∠DBC=90, ∴BD⊥BC.∵四邊形OABC是平行四邊形, ∴AO∥BC,∴BD⊥OA.∵EF∥BD, ∴OA⊥EF.∵點(diǎn)A在⊙O上,∴EF是⊙O的切線. (2)解:連接OB,如答圖. ∵四邊形OABC是平行四邊形,∴OA=BC,而OB=OC=OA, ∴OB=OC=BC, ∴△OBC為等邊三角形,∴∠C=60. ∴∠AOE=∠C=60. 在Rt△OAE中, ∵tan∠AOE=, ∴AE=3tan60=3. 2.(xx貴港二模)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O在對角線AC上,以O(shè)A的長為半徑的⊙O與AD,AC分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),且∠ACB=∠DCE. 第2題圖 (1)求證:直線CE與⊙O相切; (2)若tan∠BAC=,BC=2,求⊙O的半徑. (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴BC∥AD, ∴∠BCA=∠DAC.又∵∠ACB=∠DCE, ∴∠DAC=∠DCE.連接OE, 則∠DAC=∠AEO=∠DCE. ∵∠DCE+∠DEC=90, ∴∠AEO+∠DEC=90, ∴∠OEC=90,即OE⊥CE. 又∵OE是⊙O的半徑, ∴直線CE與⊙O相切. (2)解:∵tan∠BAC=,BC=2,∴AB= , ∴AC=.∵∠DCE=∠ACB, ∴tan∠DCE=tan∠ACB=, ∴DE=DCtan∠DCE=1. 在Rt△CDE中,CE==. 設(shè)⊙O的半徑為r,則在Rt△COE中, CO2=OE2+CE2,即(-r)2=r2+3, 解得r=. 3.(xx貴港)如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)P在對角線AC上,且PA=PD,⊙O是△PAD的外接圓. (1)求證:AB是⊙O的切線; (2)若AC=8,tan∠BAC=,求⊙O的半徑. (1)證明:連接OP,OA,OP交AD于點(diǎn)E,如答圖. 第3題答圖 ∵PA=PD, ∴=,∴OP⊥AD,AE=DE, ∴∠1+∠OPA=90. ∵OP=OA,∴∠OAP=∠OPA, ∴∠1+∠OAP=90. ∵四邊形ABCD為菱形, ∴∠1=∠2,∴∠2+∠OAP=90, ∴OA⊥AB,∴AB是⊙O的切線. (2)解:連接BD,交AC于點(diǎn)F,如答圖. ∵四邊形ABCD為菱形, ∴DB與AC互相垂直平分. ∵AC=8,tan∠BAC=, ∴AF=4,tan∠DAC==, ∴DF=2,∴AD==2, ∴AE=.在Rt△PAE中,tan∠1==, ∴PE=.設(shè)⊙O的半徑為R, 則OE=R-,OA=R,在Rt△OAE中, ∵OA2=OE2+AE2, ∴R2=(R-)2+()2, ∴R=,即⊙O的半徑為. 4.如圖,正方形ABCD頂點(diǎn)A,D在⊙O上,邊BC經(jīng)過⊙O上一定點(diǎn)P,且PF平分∠AFC,邊 AB,CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF. (1)求證:BC是⊙O的切線; (2)若FC=2,求PC的長. (1)證明:如答圖,連接OP. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠B=∠C=∠D=90,AB=BC. ∵PF平分∠AFC, ∴∠AFP=∠PFC.∵OP=OF, ∴∠AFP=∠OPF,∴∠PFC=∠OPF, ∴OP∥CD, ∴∠BPO=∠C=90,∴OP⊥BC. 又∵OP是⊙O的半徑, ∴BC是⊙O的切線. (2)解:如答圖,連接AP.∵∠D=90, ∴AF是⊙O的直徑, ∴∠AEF=∠APF=90, ∴∠BEF=∠B=∠C=90. ∵OP∥CD,∴OP∥CD∥BA, ∴==,∴BP=BC=BA. ∵∠APB+∠FPC=90,∠PFC+∠FPC=90, ∴∠APB=∠PFC.∵∠B=∠C=90, ∴△APB∽△PFC, ∴==,∴==,∴PC=2FC=4.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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