高中數(shù)學(xué) 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課件 蘇教版選修11

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1、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函數(shù)那么函數(shù)y=f(x) 在在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)為這個(gè)區(qū)間內(nèi) 的的增函數(shù)增函數(shù);如果在這個(gè)區(qū)間如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)內(nèi)f/（x）0 得得f(x)的單調(diào)的單調(diào)遞增區(qū)間遞增區(qū)間; 解不等式解不等式 f/（x）0 右側(cè)右側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極大值是極大值; (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極小值是極小值.解方程解方程f/(x)=0.當(dāng)當(dāng)f/(x)=0時(shí)時(shí): x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0

2、- - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當(dāng)故當(dāng)x=-a時(shí)時(shí),f(x)有極大值有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)當(dāng)x=a時(shí)時(shí),f(x)有極有極小值小值f(a)=2a.例例2:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.)0()(2 axaxxf解解:函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf 練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1

3、,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)有極大值時(shí)有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)有極小值時(shí)有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.例例3:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x=0,x=4處取得極值處取得極值,且極小值為且極小值為-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函數(shù)函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜 率為率為k

4、,試討論試討論k-1成立的充要條件成立的充要條件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0時(shí)時(shí), 故當(dāng)故當(dāng)x=0時(shí)時(shí),f(x)達(dá)到極小值達(dá)到極小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等價(jià)于當(dāng)?shù)葍r(jià)于當(dāng) 時(shí)時(shí),-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10對(duì)一切對(duì)一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,當(dāng)當(dāng)a1時(shí)時(shí),g(x)0對(duì)一切對(duì)一切 恒成立恒成立. 1 ,

5、0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要條件成立的充要條件. 例例4:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1處有極值處有極值,且極大值為且極大值為 4,極小值為極小值為0.試確定試確定a,b,c的值的值. 解解:).35(35)(2224baxxbxaxxf 由題意由題意, 應(yīng)有根應(yīng)有根 ,故故5a=3b,于是于是:10)( xxf).1(5)(22 xaxxf(1)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極大值極大值 極小值極小值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又

6、5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.練習(xí)練習(xí)1:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根有一個(gè)根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.

7、33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時(shí)時(shí), ,此時(shí)此時(shí)f(x)在在x=1處無處無極值極值,不合題意不合題意.0) 1( 3)(2 xxf當(dāng)當(dāng)a=4,b=-11時(shí)時(shí),).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1時(shí)時(shí), ,此時(shí)此時(shí)x=1是極是極值點(diǎn)值點(diǎn).0)(0)( xfxf從而所求的解為從而所求的解為a=4,b=-11.第二課時(shí)第二課時(shí)一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí): :1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x0及其附近有定義及其附近有定義,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x) 的一個(gè)極大值的一個(gè)極大

8、值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各點(diǎn)的函附近所有各點(diǎn)的函 數(shù)值都小數(shù)值都小,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值.極極 大值與極小值統(tǒng)稱極值大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處連續(xù)時(shí)處連續(xù)時(shí),判別判別f(x0)是極大是極大(小小)值的方值的方 法是法是: (1):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極大值是極大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極小值是極小值., 0)(, 0)( xfxf3.理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)

9、注意以下幾點(diǎn)理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi) 部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn)部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn).(2)若若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定在某區(qū)間內(nèi)一定 不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不即極大值不 一定比極小值大一定比極小值大,極小值不一定比極大值小極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的

10、分布是它的極值點(diǎn)的分布是 有規(guī)律的有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值 點(diǎn)點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn). 一般地一般地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn) 是交替出現(xiàn)的是交替出現(xiàn)的.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是而不是 充分條件充分條件.(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零

11、的點(diǎn)取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在理解可導(dǎo)函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利掌握利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.例例1:已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)滿足條件滿足條件:當(dāng)當(dāng)x2時(shí)時(shí), ;當(dāng)當(dāng) x2,由條件由條件可知可知 ,即即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 xxfxg當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),x20,0)( xf故故 有不相等的兩實(shí)根有不相等的兩實(shí)根、, ,設(shè)設(shè).0)( xf又設(shè)又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a, 由于由于-a0,g(x)的圖象開口的圖象開口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左負(fù)的右正左負(fù),在在的左正右負(fù)的左正右負(fù).注意到注意到 與與g(x)的符號(hào)相同的符號(hào)相同,可知可知為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn),為極大值點(diǎn)為極大值點(diǎn).)(xf (2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:.1122 baba兩式相加兩式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:. 0, 02, 0, 02)2(22 babbaba 從而方程從而方程 可化為可化為x2=1,它的兩根為它的兩根為+1和和-1,即即=-1,=1.0)( xf由由. 2121)(2 aabaf 故所求的值為故所求的值為a=2,b=0.