數(shù)學(xué)第七章 不等式 7.4 基本不等式及其應(yīng)用

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1、7.4基本不等式及其應(yīng)用第七章不等式基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)(1)基本不等式成立的條件： .(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).2.幾個(gè)重要的不等式幾個(gè)重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).知識(shí)梳理a0，b0ab2ab2以上不等式等號(hào)成立的條件均為ab.3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為 ，幾何平均數(shù)為 ，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4.利用基本不等式求最值問題利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，xy有最 值 .

2、(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，xy有最 值 .(簡記：和定積最大)xy小xy大不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立 ；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值,則不等式f(x)A成立 ；若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立f(x)A的解集為D；不等式f(x)B恰在區(qū)間D上成立f(x)B的解集為D.【知識(shí)拓展】f(x)maxA(xD)f(x)minA(xD)1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)題組一思考題組一思考辨析辨析基礎(chǔ)自

3、測124563(6)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).( )1245632.P99例1(2)設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為 A.80 B.77 C.81 D.82題組二教材改編題組二教材改編12456解析3當(dāng)且僅當(dāng)xy9時(shí)，(xy)max81.答案12456答案3.P100A組T2若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是_ m2.325解析解析解析設(shè)矩形的一邊為x m，當(dāng)且僅當(dāng)x10 x，即x5時(shí)，ymax25.題組三易錯(cuò)自題組三易錯(cuò)自糾糾4.“x0”是“x 2成立”的 A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 解析12

4、456答案312456答案3函數(shù)的最小值為0.故選A.解析解析124563故4x3y的最小值為5.故選D.6.若正數(shù)x，y滿足3xy5xy，則4x3y的最小值是 A.2 B.3C.4 D.5答案題型分類深度剖析命題點(diǎn)命題點(diǎn)1通過配湊法利用基本不等式通過配湊法利用基本不等式典例典例 (1)已知0 x0，b0，lg alg blg(ab)，則ab的最小值為 A.8 B.6C.4 D.2解析答案解析解析由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，則有1，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最小值為4，故選C.(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“

5、三相等”.(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求最值.思維升華思維升華解析答案解析答案(2)(2017武漢模擬)已知正數(shù)x，y滿足x2yxy0，則x2y的最小值為_.8當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)等號(hào)成立.解答題型二基本不等式的實(shí)際應(yīng)用師生共研師生共研解解因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.051 000 x萬元，依題意得當(dāng)0 x0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則 的最小值是 A.9

6、 B.8 C.4 D.2答案解析解析圓x2y22y50化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)26，所以圓心為C(0,1).因?yàn)橹本€axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a0b1c10，即bc1.解析當(dāng)且僅當(dāng)n4時(shí)取等號(hào).答案解析m12，m的最大值為12.答案解析解析解析對任意xN*，f(x)3恒成立，答案(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.思維升華思維升華解析解析由題意可得a0，解析答案幾何畫板展示

7、解析答案解析解析由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去).所以2mn224，所以mn6.又mn6，解得m2，n4，符合題意.利用基本不等式求最值現(xiàn)場糾錯(cuò)現(xiàn)場糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得現(xiàn)場糾錯(cuò)錯(cuò)解展示錯(cuò)解展示：錯(cuò)解展示：現(xiàn)場糾錯(cuò)現(xiàn)場糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得糾錯(cuò)心得利用基本不等式求最值時(shí)要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.課時(shí)作業(yè)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析解析由ab0，可知a2b22ab，充分性成立，解析答

8、案故必要性不成立，故選A.答案12345678910111213141516解析12345678910111213141516運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正”“二定”“三相等”，而當(dāng)xk，kZ時(shí)，sin x的正負(fù)不定，故選項(xiàng)B不正確；由基本不等式可知，選項(xiàng)C正確；答案12345678910111213141516解析解析答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516解析解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516答案解析12345678910111213141516解析答案1234567

9、8910111213141516解析解析x1，y0且滿足x2y1，x10，且(x1)2y2，9.已知x，yR且滿足x22xy4y26，則zx24y2的取值范圍為_.12345678910111213141516答案4,12解析x24y24(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號(hào)).綜上可知，4x24y212.10.(2017成都診斷)某工廠需要建造一個(gè)倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為5萬元，當(dāng)工廠和倉庫

10、之間的距離為_千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)與倉儲(chǔ)費(fèi)之和最小，最小為_萬元.解析12345678910111213141516答案22012345678910111213141516解析解析設(shè)工廠和倉庫之間的距離為x千米，運(yùn)費(fèi)為y1萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為y2萬元，工廠和倉庫之間的距離為4千米時(shí)，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲(chǔ)費(fèi)為5萬元，k15，k220，12345678910111213141516解答當(dāng)且僅當(dāng)2x5y時(shí)，等號(hào)成立.11.已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；此時(shí)xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當(dāng)x5，y2時(shí)，ulg xlg y有最大值1.1234567

11、8910111213141516解答解解x0，y0，12.某人準(zhǔn)備在一塊占地面積為1 800平方米的矩形地塊中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖所示)，大棚占地面積為S平方米，其中ab12.(1)試用x，y表示S；12345678910111213141516解答解解由題意可得xy1 800，b2a，則yab33a3, 所以S(x2)a(x3)b(3x8)a(2)若要使S的值最大，則x，y的值各為多少？12345678910111213141516解答123456789101112131415161 8082401 568，所以當(dāng)x40，y45時(shí)，S取得最大值.123456

12、78910111213141516令f(x)0，則x40，當(dāng)0 x0；當(dāng)x40時(shí)，f(x)1，a1，解析12345678910111213141516答案812345678910111213141516解析解析yloga(x3)1恒過定點(diǎn)A(2，1)，由A在直線mxny10上，可得2mn10，即2mn1.拓展沖刺練12345678910111213141516解析答案當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)等號(hào)成立，12345678910111213141516當(dāng)且僅當(dāng)y1時(shí)等號(hào)成立，故所求的最大值為1.16.若實(shí)數(shù)a，b滿足ab4ab10(a1)，則(a1)(b2)的最小值為_.12345678910111213141516答案解析27故(a1)(b2)的最小值為27.又a1，所以b0，所以(a1)(b2)ab2ab26a2b1