數(shù)學(xué)第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法

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1、7.2一元二次不等式及其解法第七章不等式基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.“三個二次三個二次”的關(guān)系的關(guān)系知識梳理判別式b24ac000)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2 (x10 (a0)的解集_一元二次不等式ax2bxc0)的解集_x|xx2x|xRx|x1 xx2不等式解集ab(xa)(xb)0_(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法x|xbx|xax|axbx|bxax|xa口訣：大于取兩邊，小于取中間.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式.【知識拓展】1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?/p>

2、“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.( )(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個根是x1和x2.( )(3)若方程ax2bxc0(a0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.( )(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.( )(5)若二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向下，則不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.( )題組一思考題組一思考辨析辨析基礎(chǔ)自測124563A.2,4) B.(1,3C.2，1 D.1,3題組二教材改編題組二教材改編12456解析3解析解析因?yàn)锳x|2x3，Bx|x1或x4，故UBx|

3、1x0，題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.不等式x23x40的解集為_.(用區(qū)間表示)解析124563解析解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.答案(4,1)124563ab14.解析答案146.已知關(guān)于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.解析12456答案3解析解析當(dāng)a240時(shí)，a2.若a2，不等式可化為10，顯然無解，滿足題意；若a2，不等式的解集不是空集，所以不滿足題意；題型分類深度剖析命題點(diǎn)命題點(diǎn)1不含參的不等式不含參的不等式典例典例 求不等式2x2x30的解集.題型一一元二次不等式的求解多維探究多維探究解答解解化2x2x30，命題

4、點(diǎn)命題點(diǎn)2含參不等式含參不等式典例典例 解關(guān)于x的不等式ax222xax(aR).解答解解原不等式可化為ax2(a2)x20.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為x10，解得x1.當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為1；綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x1；含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號進(jìn)行分類討論.(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)對方程的根進(jìn)行討論，比較大

5、小，以便寫出解集.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 解下列不等式：(1)0 x2x24；解答借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為x|2x1或2x3.(2)12x2axa2(aR).解答解解12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，當(dāng)a0時(shí)，x20，解集為x|xR且x0；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|xR且x0；命題點(diǎn)命題點(diǎn)1在在R上的恒成立問題上的恒成立問題典例典例 (1)若一元二次不等式2kx2kx 0，則a的取值范圍是 A.(0,4) B.0,4)C.(0，) D.(，4)解析解析解析對于xR，ax2ax10，答案命題點(diǎn)命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上的

6、恒成立問題在給定區(qū)間上的恒成立問題典例典例 設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍.解答解解要使f(x)0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)，即7m60，有以下兩種方法：當(dāng)m0時(shí)，60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.解得x3.故當(dāng)x的取值范圍為(，1)(3，)時(shí)，對任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零.命題點(diǎn)命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問題給定參數(shù)范圍的恒成立問題典例典例 對任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍.解答解

7、解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由題意，知在1,1上，g(m)的值恒大于零，(1)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 函數(shù)f(x)x2ax3.(1)當(dāng)xR時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解答解解當(dāng)xR時(shí)，x2ax3a0恒成立，

8、需a24(3a)0，即a24a120，實(shí)數(shù)a的取值范圍是6,2.(2)當(dāng)x2,2時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解答解解當(dāng)x2,2時(shí)，設(shè)g(x)x2ax3a0，分如下三種情況討論(如圖所示)：如圖，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方且滿足條件時(shí)，有a24(3a)0，即6a2.如圖，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，解得a .如圖，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，但當(dāng)x(，2時(shí)，g(x)0.7a6，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是7,2.(3)當(dāng)a4,6時(shí)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解答解解令h(a)xax23.當(dāng)a4,6時(shí)，h(a)0恒成立.題型三一元二次不等式的應(yīng)用師生共研師生共研典例典例 甲

9、廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤是100 元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3 000元，求x的取值范圍；解答又1x10，可解得3x10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3 000元，x的取值范圍是3,10.(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.解答解解設(shè)利潤為y元，則故當(dāng)x6時(shí)，ymax457 500元.即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為457 500元.求解不等式應(yīng)用題的四個步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)

10、不等關(guān)系.(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義.(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1成10%)，售出商品數(shù)量就增加 x成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并寫出定義域；解答所以yf(x)40(10 x)(254x)，定義域?yàn)閤0,2.(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元，求x的取值

11、范圍.解答解解由題意得40(10 x)(254x)10 260，典例典例 (1)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)3即x22xa0恒成立.即當(dāng)x1時(shí)，a(x22x)恒成立.令g(x)(x22x)，則g(x)(x22x)(x1)21在1，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(1)3，故a3.實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a3.課時(shí)作業(yè)1.不等式(x1)(2x)0的解集為 A.x|1x2 B.x|x1或x2C.x|1x2 D.x|x2基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析解析由(x1)(2x)0可知，(x2)(x1)0，所以不等式的解集為x|1x

12、2.解析答案2.(2018河北省三市聯(lián)考)若集合Ax|32xx20，集合Bx|2x0時(shí)，x2x2，0 x1. 由得原不等式的解集為x|1x1.方法二方法二作出函數(shù)yf(x)和函數(shù)yx2的圖象，如圖所示，由圖知f(x)x2的解集為1,1.解析4.若集合Ax|ax2ax10 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4解析答案12345678910111213141516解析解析由題意知，當(dāng)a0時(shí)，滿足條件.得0320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間.6.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范

13、圍是 A.4,1 B.4,3C.1,3 D.1,3解析答案12345678910111213141516解析解析原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a,1，此時(shí)只要a4即可，即4a1時(shí)，不等式的解集為1，a，此時(shí)只要a3即可，即1a3，綜上可得4a3.解析123456789101112131415167.若不等式2x22axa1有唯一解，則a的值為_.解析解析若不等式2x22axa1有唯一解，則x22axa1有兩個相等的實(shí)根，所以4a24(a1)0，答案12345678910111213141516解析答案9.(2018濟(jì)南模擬)若不等式mx22mx42x24x對任意x都成立

14、，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.12345678910111213141516答案(2,2解析解析解析原不等式等價(jià)于，(m2)x22(m2)x40，當(dāng)m20，即m2時(shí)，對任意x，不等式都成立；當(dāng)m20，即m2時(shí)，4(m2)216(m2)0，解得2m2.綜合，得m(2,2.解析12345678910111213141516答案x|ln 2xln 3解得ln 2x0，即a(x1)(x2)0.當(dāng)a0時(shí)，不等式F(x)0的解集為x|x2；當(dāng)a0的解集為x|1x2.11.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc，函數(shù)F(x)f(x)x的兩個零點(diǎn)為m，n(m0的解集；12345678910111213141516解答解解

15、f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，(2)若a0，且0 xmn ，比較f(x)與m的大小.xm0.f(x)m0，即f(x)m.12345678910111213141516解答12345678910111213141516解解因?yàn)?ab)x2a3b0，所以(ab)x3b2a，解得a3b0，等價(jià)于bx2(4b2)x3b20，13.若關(guān)于x的不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.技能提升練12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析方法一方法一x2ax20在x1,5上有解，令f(

16、x)x2ax2，f(0)20在x1,5上有解，14.不等式a28b2b(ab)對于任意的a，bR恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.解析12345678910111213141516答案8,4解析解析因?yàn)閍28b2b(ab)對于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0對于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由一元二次不等式的性質(zhì)可知，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.拓展沖刺練12345678910111213141516解析答案解析解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖實(shí)線部分所示，由f(x)2af(x)b20，12345678910111213141516若b0，則f(x)0滿足不等式，即不等式有2個整數(shù)解，不滿足題意，所以b0，所以af(x)0，且整數(shù)解x只能是3，當(dāng)2x4時(shí)，8f(x)0，所以8a3，即a的最大值為8，故選D.16.(2017宿州模擬)若關(guān)于x的不等式4x2x1a0在1,2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_.12345678910111213141516答案解析(，0解析解析因?yàn)椴坏仁?x2x1a0在1,2上恒成立，所以4x2x1a在1,2上恒成立.令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.因?yàn)?x2，所以22x4.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)2x2，即x1時(shí)，y取得最小值0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0.