數(shù)學總第一章 數(shù)與式 第一節(jié) 實數(shù)及其運算

第一章數(shù)與式第一節(jié)實數(shù)及其運算知識點一知識點一 實數(shù)的分類實數(shù)的分類 知識點二知識點二 實數(shù)的有關概念實數(shù)的有關概念 1 1數(shù)軸：規(guī)定了數(shù)軸：規(guī)定了 _ _ 、 _、 _的直線的直線叫做數(shù)軸，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的叫做數(shù)軸，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的2 2相反數(shù)：只有相反數(shù)：只有 _ _ 不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)特別地，特別地，0 0的相反數(shù)還是的相反數(shù)還是0 0；a ab b0 0a a，b b互為相反數(shù)；互為相反數(shù)；在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點位于原點兩側，且到原在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點位于原點兩側，且到原點的距離點的距離 _ _ 原點原點單位長度單位長度正方向正方向符號符號相等相等3 3絕對值：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)絕對值：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a a的點與原點的的點與原點的 _ _ 叫做數(shù)叫做數(shù)a a的絕對值的絕對值距離距離非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)非負數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)4 4倒數(shù)：乘積是倒數(shù)：乘積是1 1的兩個數(shù)互為倒數(shù)用數(shù)學語言表述的兩個數(shù)互為倒數(shù)用數(shù)學語言表述為：為：abab1 1，則，則a a，b b互為倒數(shù)特別地，互為倒數(shù)特別地，1 1和和1 1的倒數(shù)的倒數(shù)還是它本身，還是它本身，0 0沒有倒數(shù)沒有倒數(shù)平方根等于它本身的數(shù)有平方根等于它本身的數(shù)有0 0；算術平方根等于它本身的數(shù)；算術平方根等于它本身的數(shù)有有0 0和和1 1；立方根等于它本身的數(shù)有；立方根等于它本身的數(shù)有1 1，0 0和和1.1.知識點三知識點三 科學記數(shù)法科學記數(shù)法 科學記數(shù)法：把一個大于科學記數(shù)法：把一個大于1010的數(shù)表示成的數(shù)表示成a a1010n n的形式的形式( (其中其中a a大于或等于大于或等于1 1且小于且小于1010，n n是正整數(shù)是正整數(shù)) )，使用的是，使用的是科學記數(shù)法科學記數(shù)法用科學記數(shù)法表示數(shù)，要注意單位換算對于沒有單位用科學記數(shù)法表示數(shù)，要注意單位換算對于沒有單位的數(shù)直接確定的數(shù)直接確定a a和和n n的值即可；對于有單位的數(shù)，要先換的值即可；對于有單位的數(shù)，要先換算計數(shù)單位，然后再確定算計數(shù)單位，然后再確定a a和和n n的值的值知識點四知識點四 實數(shù)的大小比較實數(shù)的大小比較 1 1數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊點表示的數(shù)比左邊點數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊點表示的數(shù)比左邊點表示的數(shù)表示的數(shù) _ _ 2 2法則比較法：正數(shù)法則比較法：正數(shù) _ 0_ 0，負數(shù)，負數(shù) _0_0，正數(shù)，正數(shù) _ _ 一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小大大 大于大于3 3作差比較法：作差比較法：(1)(1)若若a ab0b0，則，則a _ ba _ b；(2)(2)若若a ab b0 0，則，則a _ ba _ b；(3)(3)若若a ab0b0，則，則a _ b.a _ b.4 4平方法：比較帶有根號的數(shù)或估計帶有根號的無理平方法：比較帶有根號的數(shù)或估計帶有根號的無理數(shù)時，通常先把各數(shù)進行平方運算去掉根號，把無理數(shù)數(shù)時，通常先把各數(shù)進行平方運算去掉根號，把無理數(shù)轉化為有理數(shù)，再進行比較或估值轉化為有理數(shù)，再進行比較或估值知識點五知識點五 實數(shù)的運算實數(shù)的運算 1 1運算順序運算順序在實數(shù)范圍內的運算中，先算乘方、開方，再算乘除，在實數(shù)范圍內的運算中，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括號的要先算括號內的；沒有括號，在最后算加減；有括號的要先算括號內的；沒有括號，在同一級運算中，要按從左至右的順序依次運算同一級運算中，要按從左至右的順序依次運算在有關負數(shù)的運算中，一定要確定好每一步的符號換在有關負數(shù)的運算中，一定要確定好每一步的符號換算，保證結果正確算，保證結果正確2 2運算律運算律(1)(1)加法的交換律：加法的交換律：a ab b _(2)(2)加法的結合律：加法的結合律：(a(ab)b)c c _(3)(3)乘法的交換律：乘法的交換律：abab _ _ (4)(4)乘法的結合律：乘法的結合律：(ab)c(ab)c _(5)(5)乘法對加法的分配律：乘法對加法的分配律：a(ba(bc)c) _b ba aa a(b(bc)c)babaa(bca(bc) )ababacac考點一考點一 實數(shù)的有關概念實數(shù)的有關概念 (5(5年年5 5考考) )命題角度命題角度實數(shù)及其分類實數(shù)及其分類 (2017(2017河北河北) )如圖為張小亮的如圖為張小亮的答卷，他的得分應是答卷，他的得分應是( )( )A A100100分分 B B8080分分 C C6060分分 D D4040分分【分析】【分析】 根據(jù)絕對值、倒數(shù)、相反數(shù)、立方根以及平根據(jù)絕對值、倒數(shù)、相反數(shù)、立方根以及平均數(shù)的定義進行計算即可均數(shù)的定義進行計算即可(1)(1)求一個數(shù)的相反數(shù)，直接在這個數(shù)的前面加上負號，求一個數(shù)的相反數(shù)，直接在這個數(shù)的前面加上負號，有時需要化簡得出；有時需要化簡得出；(2)(2)一個負數(shù)的絕對值等于它的相反一個負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，反之一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，則這個數(shù)是數(shù)，反之一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，則這個數(shù)是非正數(shù)；非正數(shù)；(3)(3)正數(shù)的平方根有正數(shù)的平方根有2 2個，互為相反數(shù)；非負數(shù)個，互為相反數(shù)；非負數(shù)的算術平方根只有一個的算術平方根只有一個1 1(2015(2015河北河北) )下列說法正確的是下列說法正確的是( )( )A A1 1的相反數(shù)是的相反數(shù)是1 1 B B1 1的倒數(shù)是的倒數(shù)是1 1C C1 1的立方根是的立方根是1 1 D D1 1是無理數(shù)是無理數(shù)A A2 2(2014(2014河北河北) )2 2是是2 2的的( )( )A A倒數(shù)倒數(shù) B B相反數(shù)相反數(shù) C C絕對值絕對值 D D平方根平方根B B命題角度命題角度數(shù)軸數(shù)軸 (2017(2017河北河北) )如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點左到右有點A A，B B，C C，其中，其中ABAB2 2，BCBC1 1，設點，設點A A，B B，C C所對應數(shù)的和是所對應數(shù)的和是p.p.(1)(1)若以若以B B為原點，寫出點為原點，寫出點A A，C C所對應的數(shù)，并計算所對應的數(shù)，并計算p p的值；的值；若以若以C C為原點，為原點，p p又是多少？又是多少？(2)(2)若原點若原點O O在圖中數(shù)軸上點在圖中數(shù)軸上點C C的右邊，且的右邊，且COCO2828，求，求p.p.【分析】【分析】 (1)(1)若以若以B B為原點，則可得出為原點，則可得出A A，C C對應的數(shù)，對應的數(shù)，從而得到從而得到p p的值；若以的值；若以C C為原點，則可得出為原點，則可得出A A，B B對應的數(shù)，對應的數(shù)，從而得到從而得到p p的值；的值；(2)(2)根據(jù)原點根據(jù)原點O O在圖中數(shù)軸上點在圖中數(shù)軸上點C C的右邊，的右邊，且且COCO2828，可得，可得A A，B B，C C對應的數(shù)，據(jù)此可得對應的數(shù)，據(jù)此可得p p的值的值【自主解答】【自主解答】 (1)(1)以以B B為原點，點為原點，點A A，C C分別對應分別對應2 2，1 1，p p2 20 01 11 1；以以C C為原點，點為原點，點A A，B B分別對應分別對應3 3，1 1，p p3 3( (1)1)0 04.4.(2)p(2)p( (28281 12)2)( (28281)1)( (28)28)88.88.5 5(2017(2017邯鄲一模邯鄲一模) )數(shù)軸上點數(shù)軸上點A A，B B表示的數(shù)分別是表示的數(shù)分別是a a，b b，則點，則點A A，B B之間的距離為之間的距離為( )( )A Aa ab Bb Ba ab bC C|a|ab| Db| D|a|ab|b|D D考點二考點二 科學記數(shù)法科學記數(shù)法 (5(5年年3 3考考) ) (2017 (2017河北河北) )把把0.081 30.081 3寫成寫成a a10n(1a1010n(1a10，n n為整數(shù)為整數(shù)) )的形式，則的形式，則a a為為( )( )A A1 B1 B2 C2 C0.813 D0.813 D8.138.13【分析【分析】 根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法將其表示出來，根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法將其表示出來，然后確定然后確定a a的值即可的值即可【自主解答【自主解答】 0.081 30.081 38.138.1310102 2，故，故a a8.13.8.13.故選故選D.D.對于科學記數(shù)法表示有理數(shù)對于科學記數(shù)法表示有理數(shù)x x的問題，方法梳理如下表：的問題，方法梳理如下表：7 7(2017(2017濟寧濟寧) )某桑蠶絲的直徑約為某桑蠶絲的直徑約為0.000 0160.000 016米，米，將將 0.000 016 0.000 016 用科學記數(shù)法表示是用科學記數(shù)法表示是( )( )A A1.61.610104 4 B B1.61.610105 5C C1.61.610106 6 D D161610106 6B B8 8(2013(2013河北河北) )截至截至20132013年年3 3月底，某市人口總數(shù)已達到月底，某市人口總數(shù)已達到4 230 0004 230 000人將人將4 230 0004 230 000用科學記數(shù)法表示為用科學記數(shù)法表示為( )( )A A0.4230.42310107 7 B B4.234.2310106 6 C C42.342.310105 5 D D42342310104 4B B考點三考點三 實數(shù)的大小比較實數(shù)的大小比較 (5(5年年3 3考考) )命題角度命題角度實數(shù)比較大小實數(shù)比較大小 (2017(2017路南區(qū)一模路南區(qū)一模) )在在3 3，0 0，2 2，1 1四個數(shù)中，四個數(shù)中，最小的數(shù)是最小的數(shù)是( )( )A A3 B3 B0 C0 C2 D2 D1 1【分析】【分析】 將這四個數(shù)從小到大排列即可得出答案將這四個數(shù)從小到大排列即可得出答案【自主解答】【自主解答】 3 32 20 01 1，最小的數(shù)為最小的數(shù)為3.3.故選故選A.A.在一組既有負數(shù)，又有在一組既有負數(shù)，又有0 0和正數(shù)的數(shù)中，若要求最小的和正數(shù)的數(shù)中，若要求最小的數(shù)，只要在負數(shù)中比較，找其最小的數(shù)即可；若要求最數(shù)，只要在負數(shù)中比較，找其最小的數(shù)即可；若要求最大的數(shù)，只要在正數(shù)中比較，找其最大的數(shù)即可當一大的數(shù)，只要在正數(shù)中比較，找其最大的數(shù)即可當一組數(shù)中有無理數(shù)時，通常先把無理數(shù)轉化為有理數(shù)再進組數(shù)中有無理數(shù)時，通常先把無理數(shù)轉化為有理數(shù)再進行比較行比較9 9(2017(2017長安區(qū)一模長安區(qū)一模) )比比2 2的相反數(shù)小的是的相反數(shù)小的是( )( )A A5 B5 B3 C3 C0 D0 D1 1B B命題角度命題角度無理數(shù)的估算無理數(shù)的估算【分析】【分析】 根據(jù)數(shù)的平方，即可解答根據(jù)數(shù)的平方，即可解答無理數(shù)的估算，可將平方根平方之后與被開方數(shù)進行比無理數(shù)的估算，可將平方根平方之后與被開方數(shù)進行比較，如遇無理數(shù)與有理數(shù)大小比較問題，也可同時平方較，如遇無理數(shù)與有理數(shù)大小比較問題，也可同時平方進行比較進行比較考點四考點四 實數(shù)的運算實數(shù)的運算 (5(5年年5 5考考) )【分析】【分析】 根據(jù)實數(shù)的運算法則，求出每個選項中左根據(jù)實數(shù)的運算法則，求出每個選項中左邊算式的結果，即可判斷出哪個算式錯誤邊算式的結果，即可判斷出哪個算式錯誤實數(shù)的運算要熟練掌握，解答此類題的關鍵是要明確：實數(shù)的運算要熟練掌握，解答此類題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用序進行另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用1313(2015(2015河北河北) )計算：計算：3 32 2( (1)1)( )( )A A5 B5 B1 C1 C1 D1 D6 61414(2013(2013河北河北) )氣溫由氣溫由1 1 上升上升2 2 后是后是( )( )A A1 B1 B1 C1 C2 D2 D3 3 A AB B1616(2016(2016河北河北) )請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：