數學總第一章 數與式 第一節(jié) 實數及其運算

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1、第一章數與式第一節(jié)實數及其運算知識點一知識點一 實數的分類實數的分類 知識點二知識點二 實數的有關概念實數的有關概念 1 1數軸：規(guī)定了數軸：規(guī)定了 _ _ 、 _、 _的直線的直線叫做數軸，實數與數軸上的點是一一對應的叫做數軸，實數與數軸上的點是一一對應的2 2相反數：只有相反數：只有 _ _ 不同的兩個數叫做互為相反數不同的兩個數叫做互為相反數特別地，特別地，0 0的相反數還是的相反數還是0 0；a ab b0 0a a，b b互為相反數；互為相反數；在數軸上，表示相反數的兩個點位于原點兩側，且到原在數軸上，表示相反數的兩個點位于原點兩側，且到原點的距離點的距離 _ _ 原點原點單位長度單

2、位長度正方向正方向符號符號相等相等3 3絕對值：一般地，數軸上表示數絕對值：一般地，數軸上表示數a a的點與原點的的點與原點的 _ _ 叫做數叫做數a a的絕對值的絕對值距離距離非負數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數非負數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數4 4倒數：乘積是倒數：乘積是1 1的兩個數互為倒數用數學語言表述的兩個數互為倒數用數學語言表述為：為：abab1 1，則，則a a，b b互為倒數特別地，互為倒數特別地，1 1和和1 1的倒數的倒數還是它本身，還是它本身，0 0沒有倒數沒有倒數平方根等于它本身的數有平方根等于它本身的數有0 0；算術平方根等于它本身的數；算

3、術平方根等于它本身的數有有0 0和和1 1；立方根等于它本身的數有；立方根等于它本身的數有1 1，0 0和和1.1.知識點三知識點三 科學記數法科學記數法 科學記數法：把一個大于科學記數法：把一個大于1010的數表示成的數表示成a a1010n n的形式的形式( (其中其中a a大于或等于大于或等于1 1且小于且小于1010，n n是正整數是正整數) )，使用的是，使用的是科學記數法科學記數法用科學記數法表示數，要注意單位換算對于沒有單位用科學記數法表示數，要注意單位換算對于沒有單位的數直接確定的數直接確定a a和和n n的值即可；對于有單位的數，要先換的值即可；對于有單位的數，要先換算計數單

4、位，然后再確定算計數單位，然后再確定a a和和n n的值的值知識點四知識點四 實數的大小比較實數的大小比較 1 1數軸比較法：在數軸上，右邊點表示的數比左邊點數軸比較法：在數軸上，右邊點表示的數比左邊點表示的數表示的數 _ _ 2 2法則比較法：正數法則比較法：正數 _ 0_ 0，負數，負數 _0_0，正數，正數 _ _ 一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而小一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而小大大 大于大于3 3作差比較法：作差比較法：(1)(1)若若a ab0b0，則，則a _ ba _ b；(2)(2)若若a ab b0 0，則，則a _ ba _ b；(3)(3)若若a

5、ab0b0，則，則a _ b.a _ b.4 4平方法：比較帶有根號的數或估計帶有根號的無理平方法：比較帶有根號的數或估計帶有根號的無理數時，通常先把各數進行平方運算去掉根號，把無理數數時，通常先把各數進行平方運算去掉根號，把無理數轉化為有理數，再進行比較或估值轉化為有理數，再進行比較或估值知識點五知識點五 實數的運算實數的運算 1 1運算順序運算順序在實數范圍內的運算中，先算乘方、開方，再算乘除，在實數范圍內的運算中，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括號的要先算括號內的；沒有括號，在最后算加減；有括號的要先算括號內的；沒有括號，在同一級運算中，要按從左至右的順序依次運算同一級運算中，

6、要按從左至右的順序依次運算在有關負數的運算中，一定要確定好每一步的符號換在有關負數的運算中，一定要確定好每一步的符號換算，保證結果正確算，保證結果正確2 2運算律運算律(1)(1)加法的交換律：加法的交換律：a ab b _(2)(2)加法的結合律：加法的結合律：(a(ab)b)c c _(3)(3)乘法的交換律：乘法的交換律：abab _ _ (4)(4)乘法的結合律：乘法的結合律：(ab)c(ab)c _(5)(5)乘法對加法的分配律：乘法對加法的分配律：a(ba(bc)c) _b ba aa a(b(bc)c)babaa(bca(bc) )ababacac考點一考點一 實數的有關概念實數

7、的有關概念 (5(5年年5 5考考) )命題角度命題角度實數及其分類實數及其分類 (2017(2017河北河北) )如圖為張小亮的如圖為張小亮的答卷，他的得分應是答卷，他的得分應是( )( )A A100100分分 B B8080分分 C C6060分分 D D4040分分【分析】【分析】 根據絕對值、倒數、相反數、立方根以及平根據絕對值、倒數、相反數、立方根以及平均數的定義進行計算即可均數的定義進行計算即可(1)(1)求一個數的相反數，直接在這個數的前面加上負號，求一個數的相反數，直接在這個數的前面加上負號，有時需要化簡得出；有時需要化簡得出；(2)(2)一個負數的絕對值等于它的相反一個負數

8、的絕對值等于它的相反數，反之一個數的絕對值等于它的相反數，則這個數是數，反之一個數的絕對值等于它的相反數，則這個數是非正數；非正數；(3)(3)正數的平方根有正數的平方根有2 2個，互為相反數；非負數個，互為相反數；非負數的算術平方根只有一個的算術平方根只有一個1 1(2015(2015河北河北) )下列說法正確的是下列說法正確的是( )( )A A1 1的相反數是的相反數是1 1 B B1 1的倒數是的倒數是1 1C C1 1的立方根是的立方根是1 1 D D1 1是無理數是無理數A A2 2(2014(2014河北河北) )2 2是是2 2的的( )( )A A倒數倒數 B B相反數相反數

9、 C C絕對值絕對值 D D平方根平方根B B命題角度命題角度數軸數軸 (2017(2017河北河北) )如圖，在一條不完整的數軸上從如圖，在一條不完整的數軸上從左到右有點左到右有點A A，B B，C C，其中，其中ABAB2 2，BCBC1 1，設點，設點A A，B B，C C所對應數的和是所對應數的和是p.p.(1)(1)若以若以B B為原點，寫出點為原點，寫出點A A，C C所對應的數，并計算所對應的數，并計算p p的值；的值；若以若以C C為原點，為原點，p p又是多少？又是多少？(2)(2)若原點若原點O O在圖中數軸上點在圖中數軸上點C C的右邊，且的右邊，且COCO2828，求，

10、求p.p.【分析】【分析】 (1)(1)若以若以B B為原點，則可得出為原點，則可得出A A，C C對應的數，對應的數，從而得到從而得到p p的值；若以的值；若以C C為原點，則可得出為原點，則可得出A A，B B對應的數，對應的數，從而得到從而得到p p的值；的值；(2)(2)根據原點根據原點O O在圖中數軸上點在圖中數軸上點C C的右邊，的右邊，且且COCO2828，可得，可得A A，B B，C C對應的數，據此可得對應的數，據此可得p p的值的值【自主解答】【自主解答】 (1)(1)以以B B為原點，點為原點，點A A，C C分別對應分別對應2 2，1 1，p p2 20 01 11 1

11、；以以C C為原點，點為原點，點A A，B B分別對應分別對應3 3，1 1，p p3 3( (1)1)0 04.4.(2)p(2)p( (28281 12)2)( (28281)1)( (28)28)88.88.5 5(2017(2017邯鄲一模邯鄲一模) )數軸上點數軸上點A A，B B表示的數分別是表示的數分別是a a，b b，則點，則點A A，B B之間的距離為之間的距離為( )( )A Aa ab Bb Ba ab bC C|a|ab| Db| D|a|ab|b|D D考點二考點二 科學記數法科學記數法 (5(5年年3 3考考) ) (2017 (2017河北河北) )把把0.081

12、 30.081 3寫成寫成a a10n(1a1010n(1a10，n n為整數為整數) )的形式，則的形式，則a a為為( )( )A A1 B1 B2 C2 C0.813 D0.813 D8.138.13【分析【分析】 根據科學記數法的表示方法將其表示出來，根據科學記數法的表示方法將其表示出來，然后確定然后確定a a的值即可的值即可【自主解答【自主解答】 0.081 30.081 38.138.1310102 2，故，故a a8.13.8.13.故選故選D.D.對于科學記數法表示有理數對于科學記數法表示有理數x x的問題，方法梳理如下表：的問題，方法梳理如下表：7 7(2017(2017濟寧

13、濟寧) )某桑蠶絲的直徑約為某桑蠶絲的直徑約為0.000 0160.000 016米，米，將將 0.000 016 0.000 016 用科學記數法表示是用科學記數法表示是( )( )A A1.61.610104 4 B B1.61.610105 5C C1.61.610106 6 D D161610106 6B B8 8(2013(2013河北河北) )截至截至20132013年年3 3月底，某市人口總數已達到月底，某市人口總數已達到4 230 0004 230 000人將人將4 230 0004 230 000用科學記數法表示為用科學記數法表示為( )( )A A0.4230.423101

14、07 7 B B4.234.2310106 6 C C42.342.310105 5 D D42342310104 4B B考點三考點三 實數的大小比較實數的大小比較 (5(5年年3 3考考) )命題角度命題角度實數比較大小實數比較大小 (2017(2017路南區(qū)一模路南區(qū)一模) )在在3 3，0 0，2 2，1 1四個數中，四個數中，最小的數是最小的數是( )( )A A3 B3 B0 C0 C2 D2 D1 1【分析】【分析】 將這四個數從小到大排列即可得出答案將這四個數從小到大排列即可得出答案【自主解答】【自主解答】 3 32 20 01 1，最小的數為最小的數為3.3.故選故選A.A.

15、在一組既有負數，又有在一組既有負數，又有0 0和正數的數中，若要求最小的和正數的數中，若要求最小的數，只要在負數中比較，找其最小的數即可；若要求最數，只要在負數中比較，找其最小的數即可；若要求最大的數，只要在正數中比較，找其最大的數即可當一大的數，只要在正數中比較，找其最大的數即可當一組數中有無理數時，通常先把無理數轉化為有理數再進組數中有無理數時，通常先把無理數轉化為有理數再進行比較行比較9 9(2017(2017長安區(qū)一模長安區(qū)一模) )比比2 2的相反數小的是的相反數小的是( )( )A A5 B5 B3 C3 C0 D0 D1 1B B命題角度命題角度無理數的估算無理數的估算【分析】【

16、分析】 根據數的平方，即可解答根據數的平方，即可解答無理數的估算，可將平方根平方之后與被開方數進行比無理數的估算，可將平方根平方之后與被開方數進行比較，如遇無理數與有理數大小比較問題，也可同時平方較，如遇無理數與有理數大小比較問題，也可同時平方進行比較進行比較考點四考點四 實數的運算實數的運算 (5(5年年5 5考考) )【分析】【分析】 根據實數的運算法則，求出每個選項中左根據實數的運算法則，求出每個選項中左邊算式的結果，即可判斷出哪個算式錯誤邊算式的結果，即可判斷出哪個算式錯誤實數的運算要熟練掌握，解答此類題的關鍵是要明確：實數的運算要熟練掌握，解答此類題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，

17、和有理數運算一樣，要從高級到低在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用序進行另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用1313(2015(2015河北河北) )計算：計算：3 32 2( (1)1)( )( )A A5 B5 B1 C1 C1 D1 D6 61414(2013(2013河北河北) )氣溫由氣溫由1 1 上升上升2 2 后是后是( )( )A A1 B1 B1 C1 C2 D2 D3 3 A AB B1616(2016(2016河北河北) )請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：