高考數學 考前三個月復習沖刺 專題6 第26練 完美破解立體幾何證明題課件 理.ppt

專題6立體幾何與空間向量 第26練完美破解立體幾何證明題 題型分析 高考展望 立體幾何證明題 是高考必考題 證明平行 垂直關系是主要題型 特別是垂直關系尤為重要 掌握判定定理 性質定理并能靈活運用是解題的根本 學會分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關鍵 在二輪復習中 通過專題訓練 使解立體幾何證明的能力更上一層樓 確保該類題型不失分 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一空間中的平行問題 題型二空間中的垂直問題 題型三空間中的平行 垂直綜合問題 ?？碱}型精析 題型一空間中的平行問題 例1如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 S是B1D1的中點 E F G分別是BC DC SC的中點 求證 1 直線EG 平面BDD1B1 證明如圖 連接SB E G分別是BC SC的中點 EG SB 又 SB 平面BDD1B1 EG 平面BDD1B1 直線EG 平面BDD1B1 2 平面EFG 平面BDD1B1 證明連接SD F G分別是DC SC的中點 FG SD 又 SD 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 FG 平面BDD1B1 由 1 知 EG 平面BDD1B1 且EG 平面EFG FG 平面EFG EG FG G 平面EFG 平面BDD1B1 點評證明平行關系的方法 1 證明線線平行的常用方法 利用平行公理 即證明兩直線同時和第三條直線平行 利用平行四邊形進行轉換 利用三角形中位線定理證明 利用線面平行 面面平行的性質定理證明 2 證明線面平行的常用方法 利用線面平行的判定定理 把證明線面平行轉化為證明線線平行 利用面面平行的性質定理 把證明線面平行轉化為證明面面平行 3 證明面面平行的方法 證明面面平行 依據判定定理 只要找到一個面內兩條相交直線與另一個平面平行即可 從而將證明面面平行轉化為證明線面平行 再轉化為證明線線平行 變式訓練1 2015 廣東 如圖 三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 證明 BC 平面PDA 證明因為四邊形ABCD是長方形 所以BC AD 因為BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 2 證明 BC PD 證明因為四邊形ABCD是長方形 所以BC CD 因為平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD BC 平面ABCD 所以BC 平面PDC 因為PD 平面PDC 所以BC PD 3 求點C到平面PDA的距離 解如圖 取CD的中點E 連接AC和PE 因為PD PC 因為平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 由 2 知 BC 平面PDC 由 1 知 BC AD 所以AD 平面PDC 因為PD 平面PDC 所以AD PD 設點C到平面PDA的距離為h 因為V三棱錐CPDA V三棱錐PACD 題型二空間中的垂直問題 例2如圖所示 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD為等邊三角形 AD DE 2AB F為CD的中點 求證 1 AF 平面BCE 證明如圖 取CE的中點G 連接FG BG F為CD的中點 AB 平面ACD DE 平面ACD AB DE GF AB 四邊形GFAB為平行四邊形 AF BG AF 平面BCE BG 平面BCE AF 平面BCE 2 平面BCE 平面CDE 證明 ACD為等邊三角形 F為CD的中點 AF CD DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又CD DE D 故AF 平面CDE BG AF BG 平面CDE BG 平面BCE 平面BCE 平面CDE 點評 1 證明線面垂直的常用方法 利用線面垂直的判定定理 把線面垂直的判定轉化為證明線線垂直 利用面面垂直的性質定理 把證明線面垂直轉化為證明面面垂直 利用常見結論 如兩條平行線中的一條垂直于一個平面 則另一條也垂直于這個平面 2 證明面面垂直的方法 證明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即證明一個面過另一個面的一條垂線 將證明面面垂直轉化為證明線面垂直 一般先從現有直線中尋找 若圖中不存在這樣的直線 則借助中點 高線或添加輔助線來解決 變式訓練2 2014 廣東 如圖 1 四邊形ABCD為矩形 PD 平面ABCD AB 1 BC PC 2 作如圖 2 折疊 折痕EF DC 其中點E F分別在線段PD PC上 沿EF折疊后點P疊在線段AD上的點記為M 并且MF CF 1 證明 CF 平面MDF 證明因為PD 平面ABCD AD 平面ABCD 所以PD AD 又因為ABCD是矩形 CD AD PD與CD交于點D 所以AD 平面PCD 又CF 平面PCD 所以AD CF 即MD CF 又MF CF MD MF M 所以CF 平面MDF 2 求三棱錐M CDE的體積 解因為PD DC BC 2 CD 1 PCD 60 題型三空間中的平行 垂直綜合問題 例3 2015 山東 如圖 三棱臺DEFABC中 AB 2DE G H分別為AC BC的中點 1 求證 BD 平面FGH 證明方法一如圖 連接DG 設CD GF M 連接MH 在三棱臺DEF ABC中 AB 2DE G為AC的中點 可得DF GC DF GC 所以四邊形DFCG為平行四邊形 則M為CD的中點 又H為BC的中點 所以HM BD 又HM 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 方法二在三棱臺DEFABC中 由BC 2EF H為BC的中點 可得BH EF BH EF 所以四邊形HBEF為平行四邊形 可得BE HF 在 ABC中 G為AC的中點 H為BC的中點 所以GH AB 又GH HF H AB BE B 所以平面FGH 平面ABED 又因為BD 平面ABED 所以BD 平面FGH 2 若CF BC AB BC 求證 平面BCD 平面EGH 證明連接HE 因為G H分別為AC BC的中點 所以GH AB 由AB BC 得GH BC 又H為BC的中點 所以EF HC EF HC 因此四邊形EFCH是平行四邊形 所以CF HE 又CF BC 所以HE BC 又HE GH 平面EGH HE GH H 所以BC 平面EGH 又BC 平面BCD 所以平面BCD 平面EGH 點評 1 立體幾何中 要證線垂直于線 常常先證線垂直于面 再用線垂直于面的性質易得線垂直于線 要證線平行于面 只需先證線平行于線 再用線平行于面的判定定理易得 2 證明立體幾何問題 要緊密結合圖形 有時要利用平面幾何的相關知識 因此需要多畫出一些圖形輔助使用 3 平行關系往往用到三角形的中位線 垂直關系往往用到三角形高線 中線 變式訓練3在如圖所示的幾何體中 四邊形ABCD是正方形 MA 平面ABCD PD MA E G F分別為MB PB PC的中點 且AD PD 2MA 1 求證 平面EFG 平面PMA 證明 E G F分別為MB PB PC的中點 EG PM GF BC 又 四邊形ABCD是正方形 BC AD GF AD EG GF在平面PMA外 PM AD在平面PMA內 EG 平面PMA GF 平面PMA 又 EG GF都在平面EFG內且相交 平面EFG 平面PMA 2 求證 平面EFG 平面PDC 證明由已知MA 平面ABCD PD MA PD 平面ABCD 又BC 平面ABCD PD BC 四邊形ABCD為正方形 BC DC 又PD DC D BC 平面PDC 由 1 知GF BC GF 平面PDC 又GF 平面EFG 平面EFG 平面PDC 3 求三棱錐P MAB與四棱錐P ABCD的體積之比 解 PD 平面ABCD 四邊形ABCD為正方形 不妨設MA 1 則PD AD 2 DA 平面MAB 且PD MA DA即為點P到平面MAB的距離 VP MAB VP ABCD 即三棱錐P MAB與四棱錐P ABCD的體積之比為1 4 高考題型精練 1 2015 廣東 若直線l1和l2是異面直線 l1在平面 內 l2在平面 內 l是平面 與平面 的交線 則下列命題正確的是 A l與l1 l2都不相交B l與l1 l2都相交C l至多與l1 l2中的一條相交D l至少與l1 l2中的一條相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析若l與l1 l2都不相交則l l1 l l2 l1 l2 這與l1和l2異面矛盾 l至少與l1 l2中的一條相交 答案D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 已知直線l 平面 直線m 平面 則 是 l m 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既非充分也非必要條件解析 直線l 平面 直線l 平面 又 直線m 平面 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 l m 但直線l 平面 直線m 平面 且l m時 與 可以相交 故 是 l m 的充分不必要條件 選A 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A AP PEF所在平面B AG PEF所在平面C EP AEF所在平面D PG AEF所在平面 3 如圖 在正方形ABCD中 E F分別是BC CD的中點 AC EF G 現在沿AE EF FA把這個正方形折成一個四面體 使B C D三點重合 重合后的點記為P 則在四面體P AEF中必有 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析在折疊過程中 AB BE AD DF保持不變 答案A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 已知 是兩個不同的平面 給出下列四個條件 存在一條直線a a a 存在一個平面 存在兩條平行直線a b a b a b 存在兩條異面直線a b a b a b 可以推出 的是 A B C D 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析對于 平面 與 還可以相交 對于 當a b時 不一定能推出 所以 是錯誤的 易知 正確 故選C 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2014 浙江 設m n是兩條不同的直線 是兩個不同的平面 則 A 若m n n 則m B 若m 則m C 若m n n 則m D 若m n n 則m 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析A中 由m n n 可得m 或m 或m與 相交 錯誤 B中 由m 可得m 或m 或m與 相交 錯誤 C中 由m n 可得m n 又n 則m 正確 D中 由m n n 可得m與 相交或m 或m 錯誤 答案C 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 設l m n表示不同的直線 表示不同的平面 給出下列四個命題 若m l 且m 則l 若m l 且m 則l 若 l m n 則l m n 若 m l n 且n 則l m 其中正確的個數是 A 1B 2C 3D 4 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析對于 兩條平行線中有一條與一平面垂直 則另一條也與這個平面垂直 故 正確 對于 直線l可能在平面 內 故 錯誤 對于 三條交線除了平行 還可能相交于同一點 故 錯誤 對于 結合線面平行的判定定理和性質定理可判斷其正確 綜上 正確 答案B 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 如圖 已知六棱錐P ABCDEF的底面是正六邊形 PA 平面ABC PA 2AB 則下列結論中 PB AE 平面ABC 平面PBC 直線BC 平面PAE PDA 45 其中正確的有 把所有正確的序號都填上 解析由PA 平面ABC AE 平面ABC 得PA AE 又由正六邊形的性質得AE AB PA AB A 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得AE 平面PAB 又PB 平面PAB AE PB 正確 平面PAD 平面ABC 平面ABC 平面PBC不成立 錯 由正六邊形的性質得BC AD 又AD 平面PAD BC 平面PAD BC 平面PAD 直線BC 平面PAE也不成立 錯 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在Rt PAD中 PA AD 2AB PDA 45 正確 答案 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 如圖 三棱柱ABC A1B1C1中 側面BB1C1C為菱形 B1C的中點為O 且AO 平面BB1C1C 則B1C與AB的位置關系為 解析 AO 平面BB1C1C AO B1C 又 平面BB1C1C為菱形 B1C BO B1C 平面ABO AB 平面ABO B1C AB 異面垂直 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各邊都相等 M是PC上的一動點 當點M滿足 時 平面MBD 平面PCD 只要填寫一個你認為是正確的條件即可 解析 四邊形ABCD是菱形 AC BD 又 PA 平面ABCD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PA BD 又AC PA A BD 平面PAC BD PC 當DM PC 或BM PC 時 即有PC 平面MBD 而PC 平面PCD 平面MBD 平面PCD 答案DM PC 或BM PC 答案不唯一 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2014 山東 如圖 四棱錐P ABCD中 AP 平面PCD AD BC AB BC AD E F分別為線段AD PC的中點 1 求證 AP 平面BEF 證明設AC BE O 連接OF EC 如圖 由于E為AD的中點 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AD BC 所以AE BC AE AB BC 因此四邊形ABCE為菱形 所以O為AC的中點 又F為PC的中點 因此在 PAC中 可得AP OF 又OF 平面BEF AP 平面BEF 所以AP 平面BEF 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 求證 BE 平面PAC 證明由題意知ED BC ED BC 所以四邊形BCDE為平行四邊形 因此BE CD 又AP 平面PCD 所以AP CD 因此AP BE 因為四邊形ABCE為菱形 所以BE AC 又AP AC A AP AC 平面PAC 所以BE 平面PAC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 如圖 在四棱錐P ABCD中 AB CD AB AD CD 2AB 平面PAD 底面ABCD PA AD E和F分別是CD PC的中點 求證 1 PA 底面ABCD 證明 平面PAD 平面ABCD AD 又平面PAD 平面ABCD 且PA AD PA 底面ABCD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 BE 平面PAD 證明 AB CD CD 2AB E為CD的中點 AB DE 且AB DE 四邊形ABED為平行四邊形 BE AD 又 BE 平面PAD AD 平面PAD BE 平面PAD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 平面BEF 平面PCD 證明 AB AD 且四邊形ABED為平行四邊形 BE CD AD CD 由 1 知PA 底面ABCD 則PA CD 又PA AD A CD 平面PAD 從而CD PD 又E F分別為CD CP的中點 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 EF PD 故CD EF 由EF BE在平面BEF內 且EF BE E CD 平面BEF 又 CD 平面PCD 平面BEF 底面PCD 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 2014 四川 在如圖所示的多面體中 四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 1 若AC BC 證明 直線BC 平面ACC1A1 證明因為四邊形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 所以AA1 AB AA1 AC 因為AB AC為平面ABC內兩條相交的直線 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以AA1 平面ABC 因為直線BC 平面ABC 所以AA1 BC 又由已知 AC BC AA1 AC為平面ACC1A1內兩條相交的直線 所以BC 平面ACC1A1 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 設D E分別是線段BC CC1的中點 在線段AB上是否存在一點M 使直線DE 平面A1MC 請證明你的結論 解如圖 取線段AB的中點M 連接A1M MC A1C AC1 設O為A1C AC1的交點 由已知 O為AC1的中點 連接MD OE 則MD OE分別為 ABC ACC1的中位線 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因此MD綊OE 連接OM 從而四邊形MDEO為平行四邊形 則DE MO 因為直線DE 平面A1MC MO 平面A1MC 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以直線DE 平面A1MC 即線段AB上存在一點M 線段AB的中點 使直線DE 平面A1MC