高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題6 第28練“空間角”攻略課件 理.ppt

專題6立體幾何與空間向量 第28練 空間角 攻略 題型分析 高考展望 空間角包括異面直線所成的角 線面角以及二面角 在高考中頻繁出現(xiàn) 也是高考立體幾何題目中的難點(diǎn)所在 掌握好本節(jié)內(nèi)容 首先要理解這些角的概念 其次要弄清這些角的范圍 最后再求解這些角 在未來的高考中 空間角將是高考考查的重點(diǎn) 借助向量求空間角 將是解決這類題目的主要方法 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一異面直線所成的角 題型二直線與平面所成的角 題型三二面角 常考題型精析 題型一異面直線所成的角 例1在棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中 求異面直線BA1與AC所成的角 解方法一 因?yàn)锳B BC BB1 AB BB1 BC 所以異面直線BA1與AC所成的角為60 方法二連接A1C1 BC1 則由條件可知A1C1 AC 從而BA1與AC所成的角即為BA1與A1C1所成的角 由于該幾何體為邊長為a的正方體 于是 A1BC1為正三角形 BA1C1 60 從而所求異面直線BA1與AC所成的角為60 方法三由于該幾何體為正方體 所以DA DC DD1兩兩垂直且長度均為a 于是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)分別為x y z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 于是有A a 0 0 C 0 a 0 A1 a 0 a B a a 0 所以所求異面直線BA1與AC所成角為60 2 如果題目條件易建立空間坐標(biāo)系 可以借助空間向量來求異面直線所成角 設(shè)異面直線l1 l2的方向向量分別為m1 m2 則l1與l2所成的角 滿足cos cos m1 m2 變式訓(xùn)練1 2014 課標(biāo)全國 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分別是A1B1 A1C1的中點(diǎn) BC CA CC1 則BM與AN所成角的余弦值為 解析由于 BCA 90 三棱柱為直三棱柱 且BC CA CC1 可將三棱柱補(bǔ)成正方體 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 設(shè)正方體棱長為2 則可得A 0 0 0 B 2 2 0 M 1 1 2 N 0 1 2 答案C 題型二直線與平面所成的角 例2 2015 課標(biāo)全國 如圖 長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 16 BC 10 AA1 8 點(diǎn)E F分別在A1B1 D1C1上 A1E D1F 4 過點(diǎn)E F的平面 與此長方體的面相交 交線圍成一個正方形 1 在圖中畫出這個正方形 不必說明畫法和理由 解交線圍成的正方形EHGF如圖 2 求直線AF與平面 所成角的正弦值 解作EM AB 垂足為M 則AM A1E 4 EM AA1 8 因?yàn)镋HGF為正方形 所以EH EF BC 10 設(shè)n x y z 是平面EHGF的法向量 所以可取n 0 4 3 點(diǎn)評 1 求直線l與平面 所成的角 先確定l在 上的射影 在l上取點(diǎn)作 的垂線 或觀察原圖中是否存在這樣的線 或是否存在過l上一點(diǎn)與 垂直的面 2 找到線面角 作出說明 并通過解三角形求之 3 利用向量求線面角 設(shè)直線l的方向向量和平面 的法向量分別為m n 則直線l與平面 所成角 滿足sin cos m n 變式訓(xùn)練2如圖 已知四棱錐P ABCD的底面為等腰梯形 AB CD AC BD 垂足為H PH是四棱錐的高 E為AD的中點(diǎn) 1 證明 PE BC 證明以H為原點(diǎn) HA HB HP所在直線分別為x y z軸 線段HA的長為單位長度 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則A 1 0 0 B 0 1 0 設(shè)C m 0 0 P 0 0 n m0 2 若 APB ADB 60 求直線PA與平面PEH所成角的正弦值 設(shè)n x y z 為平面PEH的法向量 題型三二面角 例3 2015 山東 如圖 在三棱臺DEFABC中 AB 2DE G H分別為AC BC的中點(diǎn) 1 求證 BD 平面FGH 證明如圖 連接DG CD 設(shè)CD GF O 連接OH 在三棱臺DEF ABC中 AB 2DE G為AC的中點(diǎn) 可得DF GC DF GC 所以四邊形DFCG為平行四邊形 則O為CD的中點(diǎn) 又H為BC的中點(diǎn) 所以O(shè)H BD 又OH 平面FGH BD 平面FGH 所以BD 平面FGH 2 若CF 平面ABC AB BC CF DE BAC 45 求平面FGH與平面ACFD所成的角 銳角 的大小 解方法一 設(shè)AB 2 則CF DE 1 在三棱臺DEF ABC中 G為AC的中點(diǎn) 又FC 平面ABC 所以DG 平面ABC 在 ABC中 由AB BC BAC 45 G是AC中點(diǎn) 所以AB BC GB GC 因此GB GC GD兩兩垂直 以G為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)n x y z 是平面FGH的一個法向量 所以平面FGH與平面ACFD所成角 銳角 的大小為60 方法二作HM AC于點(diǎn)M 作MN GF于點(diǎn)N 連接NH 設(shè)AB 2 由FC 平面ABC 得HM FC 又FC AC C 所以HM 平面ACFD 因此GF NH 所以 MNH即為所求的角 由HM 平面ACFD MN 平面ACFD 所以 MNH 60 所以平面FGH與平面ACFD所成角 銳角 的大小為60 點(diǎn)評 1 二面角的范圍是 0 解題時要注意圖形的位置和題目的要求 作二面角的平面角常有三種方法 棱上一點(diǎn)雙垂線法 在棱上任取一點(diǎn) 過這點(diǎn)在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線 這兩條射線所成的角 就是二面角的平面角 面上一點(diǎn)三垂線法 自二面角的一個面上一點(diǎn)向另一個面引垂線 再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn) 即斜足 斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角 即為二面角的平面角 空間一點(diǎn)垂面法 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面 截二面角得兩條射線 這兩條射線所成的角就是二面角的平面角 2 用向量法求二面角的大小 如圖 1 AB CD是二面角 l 的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線 則二面角的大小 2 如圖 2 3 n1 n2分別是二面角 l 的兩個半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足cos cos n1 n2 或 cos n1 n2 變式訓(xùn)練3 2015 安徽 如圖所示 在多面體A1B1D1 ABCD 四邊形AA1B1B ADD1A1 ABCD均為正方形 E為B1D1的中點(diǎn) 過A1 D E的平面交CD1于F 1 證明 EF B1C 證明由正方形的性質(zhì)可知A1B1 AB DC 且A1B1 AB DC 所以四邊形A1B1CD為平行四邊形 從而B1C A1D 又A1D 面A1DE B1C 面A1DE 于是B1C 面A1DE 又B1C 面B1CD1 面A1DE 面B1CD1 EF 所以EF B1C 2 求二面角E A1D B1的余弦值 解因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B ADD1A1 ABCD均為正方形 所以AA1 AB AA1 AD AB AD且AA1 AB AD 以A為原點(diǎn) 分別以為x軸 y軸和z軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 可得點(diǎn)的坐標(biāo)A 0 0 0 B 1 0 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 D1 0 1 1 而E點(diǎn)為B1D1的中點(diǎn) 設(shè)面A1DE的法向量n1 r1 s1 t1 1 1 1 為其一組解 所以可取n1 1 1 1 設(shè)面A1B1CD的法向量n2 r2 s2 t2 高考題型精練 1 2015 浙江 如圖 已知 ABC D是AB的中點(diǎn) 沿直線CD將 ACD翻折成 A CD 所成二面角A CDB的平面角為 則 A A DB B A DB C A CB D A CB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析極限思想 若 則 A CB 排除D 若 0 如圖 則 A DB A CB都可以大于0 排除A C 故選B 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn) 則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 解析以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 設(shè)棱長為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 n1 1 2 2 平面ABCD的一個法向量為n2 0 0 1 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 3 2014 大綱全國 已知二面角 l 為60 AB AB l A為垂足 CD C l ACD 135 則異面直線AB與CD所成角的余弦值為 解析方法一如圖 1 平移CD至AF 則 BAF為所求 作二面角 l 的平面角 BAE 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 又 EAF 45 方法二如圖 2 設(shè)AB 2a 過點(diǎn)B作BB1 垂足為B1 作AD1 CD 則 BAD1即為所求 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 過點(diǎn)B1作B1D1 AD1于D1 連接AB1 BD1 則易知 BAB1為二面角的平面角 即 BAB1 60 在Rt BB1D1中 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 在 BAD1中 由余弦定理 得 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 4 2014 四川 如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上 直線OP與平面A1BD所成的角為 則sin 的取值范圍是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解析根據(jù)題意可知平面A1BD 平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O 所以過點(diǎn)P作交線A1O的垂線PE 則PE 平面A1BD 所以 A1OP或其補(bǔ)角就是直線OP與平面A1BD所成的角 設(shè)正方體的邊長為2 則根據(jù)圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 根據(jù)選項(xiàng)可知B正確 答案B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 5 如圖所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC AB BC AA1 ABC 90 點(diǎn)E F分別是棱AB BB1的中點(diǎn) 則直線EF和BC1所成的角是 解析以BC為x軸 BA為y軸 BB1為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)AB BC AA1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 則C1 2 0 2 E 0 1 0 F 0 0 1 EF和BC1所成的角為60 答案60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 6 正四棱錐S ABCD中 O為頂點(diǎn)在底面上的射影 P為側(cè)棱SD的中點(diǎn) 且SO OD 則直線BC與平面PAC所成的角是 解析如圖所示 以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)OD SO OA OB OC a 設(shè)平面PAC的法向量為n 可求得n 0 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 直線BC與平面PAC所成的角為90 60 30 答案30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 7 2014 四川 三棱錐A BCD及其側(cè) 左 視圖 俯視圖如圖所示 設(shè)M N分別為線段AD AB的中點(diǎn) P為線段BC上的點(diǎn) 且MN NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 證明 P是線段BC的中點(diǎn) 證明如圖 1 取BD的中點(diǎn)O 連接AO CO 圖 1 由側(cè)視圖及俯視圖知 ABD BCD均為正三角形 因此AO BD OC BD 因?yàn)锳O OC 平面AOC 且AO OC O 所以BD 平面AOC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 又因?yàn)锳C 平面AOC 所以BD AC 取BO的中點(diǎn)H 連接NH PH 又M N分別為線段AD AB的中點(diǎn) 所以NH AO MN BD 因?yàn)锳O BD 所以NH BD 因?yàn)镸N NP 所以BD NP 因?yàn)镹H NP 平面NHP 且NH NP N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以BD 平面NHP 又因?yàn)镠P 平面NHP 所以BD HP 又OC BD HP 平面BCD OC 平面BCD 所以HP OC 因?yàn)镠為BO中點(diǎn) 故P為BC中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求二面角A NP M的余弦值 解方法一如圖 2 作NQ AC于Q 連接MQ 圖 2 由 1 知 NP AC 所以NQ NP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 因?yàn)镸N NP 所以 MNQ為二面角A NP M的一個平面角 由 1 知 ABD BCD為邊長為2的正三角形 由俯視圖可知 AO 平面BCD 因?yàn)镺C 平面BCD 所以AO OC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 作BR AC于R 在 ABC中 AB BC 因?yàn)樵谄矫鍭BC內(nèi) NQ AC BR AC 所以NQ BR 又因?yàn)镹為AB的中點(diǎn) 所以Q為AR的中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 圖 3 方法二由俯視圖及 1 可知 AO BCD 因?yàn)镺C OB 平面BCD 所以AO OC AO OB 又OC OB 所以直線OA OB OC兩兩垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 因?yàn)镸 N分別為線段AD AB的中點(diǎn) 又由 1 知 P為線段BC的中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)平面ABC的一個法向量n1 x1 y1 z1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 設(shè)平面MNP的一個法向量n2 x2 y2 z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 取z2 1 所以n2 0 1 1 設(shè)二面角A NP M的大小為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 8 2015 課標(biāo)全國 如圖 四邊形ABCD為菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn) BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 證明 平面AEC 平面AFC 證明連接BD 設(shè)BD AC G 連接EG FG EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 在菱形ABCD中 不妨設(shè)GB 1 由BE 平面ABCD AB BC 可知AE EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 從而EG2 FG2 EF2 所以EG FG 又AC FG G 可得EG 平面AFC 因?yàn)镋G 平面AEC 所以平面AEC 平面AFC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求直線AE與直線CF所成角的余弦值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 點(diǎn)Q是線段BP上的動點(diǎn) 當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時 求線段BQ的長 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 解以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則各點(diǎn)的坐標(biāo)為A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 2 0 P 0 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 因?yàn)锳D 平面PAB 高考題型精練 設(shè)平面PCD的法向量為m x y z 所以m 1 1 1 是平面PCD的一個法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 10 2015 北京 如圖 在四棱錐AEFCB中 AEF為等邊三角形 平面AEF 平面EFCB EF BC BC 4 EF 2a EBC FCB 60 O為EF的中點(diǎn) 1 求證 AO BE 證明因?yàn)?AEF是等邊三角形 O為EF的中點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以AO EF 又因?yàn)槠矫鍭EF 平面EFCB 平面AEF 平面EFCB EF AO 平面AEF 所以AO 平面EFCB 又BE 平面EFCB 所以AO BE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 2 求二面角FAEB的余弦值 解取BC中點(diǎn)G 連接OG 由題設(shè)知EFCB是等腰梯形 所以O(shè)G EF 由 1 知AO 平面EFCB 又OG 平面EFCB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 所以O(shè)A OG 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面AEB的法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 平面AEF的一個法向量為p 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高考題型精練 3 若BE 平面AOC 求a的值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10