高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題7 第34練 圓錐曲線中的探索性問題課件 理.ppt

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專題7解析幾何 第34練圓錐曲線中的探索性問題 題型分析 高考展望 本部分主要以解答題形式考查 往往是試卷的壓軸題之一 一般以橢圓或拋物線為背景 考查弦長(zhǎng) 定點(diǎn) 定值 最值范圍問題或探索性問題 試題難度較大 ?？碱}型精析 高考題型精練 題型一定值 定點(diǎn)問題 題型二定直線問題 題型三存在性問題 常考題型精析 題型一定值 定點(diǎn)問題 1 求橢圓C的方程 解 直線l與y軸相交于點(diǎn)M 故斜率存在 又F坐標(biāo)為 1 0 設(shè)直線l方程為y k x 1 求得l與y軸交于M 0 k 設(shè)l交橢圓A x1 y1 B x2 y2 消去y得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 x1 y1 k 1 x1 y1 點(diǎn)評(píng) 1 定點(diǎn)問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x y當(dāng)作常數(shù)看待 把方程一端化為零 既然直線或曲線過定點(diǎn) 那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立 這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零 這樣就得到一個(gè)關(guān)于x y的方程組 這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn) 2 定值問題的求解策略在解析幾何中 有些幾何量與參數(shù)無關(guān) 這就是 定值 問題 解決這類問題常通過取特殊值 先確定 定值 是多少 再進(jìn)行證明 或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式 再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān) 令其系數(shù)等于零即可得到定值 1 求C的方程 解得a2 8 b2 4 2 直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸 l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A B 線段AB的中點(diǎn)為M 證明 直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值 證明設(shè)直線l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值 題型二定直線問題 例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中 過定點(diǎn)C 0 p 作直線與拋物線x2 2py p 0 相交于A B兩點(diǎn) 1 若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn) 求 ANB面積的最小值 解方法一依題意 點(diǎn)N的坐標(biāo)為N 0 p 可設(shè)A x1 y1 B x2 y2 直線AB的方程為y kx p 消去y得x2 2pkx 2p2 0 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1 x2 2pk x1x2 2p2 方法二前同方法一 再由弦長(zhǎng)公式得 2 是否存在垂直于y軸的直線l 使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值 若存在 求出l的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 解方法一假設(shè)滿足條件的直線l存在 其方程為y a AC的中點(diǎn)為O l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P Q PQ的中點(diǎn)為H 此時(shí) PQ p為定值 故滿足條件的直線l存在 方法二 2 假設(shè)滿足條件的直線l存在 其方程為y a 則以AC為直徑的圓的方程為 x 0 x x1 y p y y1 0 將直線方程y a代入得x2 x1x a p a y1 0 設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P x3 y3 Q x4 y4 此時(shí) PQ p為定值 故滿足條件的直線l存在 點(diǎn)評(píng) 1 定直線由斜率 截距 定點(diǎn)等因素確定 2 定直線一般為特殊直線x x0 y y0等 變式訓(xùn)練2已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A 2 3 且點(diǎn)F 2 0 為其右焦點(diǎn) 1 求橢圓C的方程 且可知其左焦點(diǎn)為F 2 0 又a2 b2 c2 所以b2 12 從而a2 16 2 是否存在平行于OA的直線l 使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn) 且直線OA與l的距離等于4 若存在 求出直線l的方程 若不存在 說明理由 因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn) 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 所以符合題意的直線l不存在 題型三存在性問題 例3 1 已知直線y a交拋物線y x2于A B兩點(diǎn) 若該拋物線上存在點(diǎn)C 使得 ACB為直角 則a的取值范圍為 解析以AB為直徑的圓的方程為x2 y a 2 a 即 y a y a 1 0 答案 1 由c2 a2 b2 得b 1 求的最小值 并求此時(shí)圓T的方程 解點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱 設(shè)M x1 y1 N x1 y1 不妨設(shè)y1 0 由于點(diǎn)M在橢圓C上 由已知T 2 0 設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M N的任意一點(diǎn) 且直線MP NP分別與x軸交于點(diǎn)R S O為坐標(biāo)原點(diǎn) 試問 是否存在使S POS S POR最大的點(diǎn)P 若存在 求出點(diǎn)P的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 解假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P 設(shè)P x0 y0 又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上 OR OS xR xS xR xS 4為定值 又P為橢圓上的一點(diǎn) 故滿足條件的P點(diǎn)存在 其坐標(biāo)為P 0 1 和P 0 1 點(diǎn)評(píng)存在性問題求解的思路及策略 1 思路 先假設(shè)存在 推證滿足條件的結(jié)論 若結(jié)論正確 則存在 若結(jié)論不正確 則不存在 2 策略 當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論 當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí) 先假設(shè)成立 再推出條件 變式訓(xùn)練3 2015 廣東 已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的兩點(diǎn)A B 1 求圓C1的圓心坐標(biāo) 解圓C1 x2 y2 6x 5 0可化為 x 3 2 y2 4 圓C1的圓心坐標(biāo)為 3 0 2 求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程 解設(shè)M x y A B為過原點(diǎn)的直線l與圓C1的交點(diǎn) 且M為AB的中點(diǎn) 由圓的性質(zhì)知 MC1 MO 由向量的數(shù)量積公式得x2 3x y2 0 易知直線l的斜率存在 設(shè)直線l的方程為y mx 若直線L與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn) 令f x 0 此時(shí)方程可化為25x2 120 x 144 0 即 5x 12 2 0 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 求橢圓E的方程 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q 使得恒成立 若存在 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若不存在 請(qǐng)說明理由 解當(dāng)直線l與x軸平行時(shí) 設(shè)直線l與橢圓相交于C D兩點(diǎn) 1 2 3 4 高考題型精練 即 QC QD 所以Q點(diǎn)在y軸上 可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 y0 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí) 設(shè)直線l與橢圓相交于M N兩點(diǎn) 1 2 3 4 高考題型精練 所以 若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件 則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為 0 2 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 由上可知 結(jié)論成立 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 可設(shè)直線l的方程為y kx 1 A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 1 2 3 4 高考題型精練 其判別式 4k 2 8 2k2 1 0 1 2 3 4 高考題型精練 易知 點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 x2 y2 1 2 3 4 高考題型精練 所以kQA kQB 即Q A B 三點(diǎn)共線 1 2 3 4 高考題型精練 1 求橢圓C的方程 1 2 3 4 高考題型精練 2 如圖 A B D是橢圓C的頂點(diǎn) P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn) 直線DP交x軸于點(diǎn)N 直線AD交BP于點(diǎn)M 設(shè)BP的斜率為k MN的斜率為m 證明 2m k為定值 證明方法一因?yàn)锽 2 0 P不為橢圓頂點(diǎn) 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解設(shè)F1 c 0 F2 c 0 其中c2 a2 b2 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 DF1F2 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 2 是否存在圓心在y軸上的圓 使圓在x軸的上方與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn) 且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn) 若存在 求出圓的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 1 2 3 4 高考題型精練 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是兩個(gè)交點(diǎn) y1 0 y2 0 F1P1 F2P2是圓C的切線 且F1P1 F2P2 由圓和橢圓的對(duì)稱性 易知 x2 x1 y1 y2 由 1 知F1 1 0 F2 1 0 1 2 3 4 高考題型精練 當(dāng)x1 0時(shí) P1 P2重合 題設(shè)要求的圓不存在 1 2 3 4 高考題型精練 F2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C 1 2 3 4 高考題型精練 綜上 存在滿足題設(shè)條件的圓 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 當(dāng)直線l與y軸重合時(shí) 若S1 S2 求 的值 2 當(dāng) 變化時(shí) 是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l 使得S1 S2 并說明理由 解依題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為 1 2 3 4 高考題型精練 1 方法一如圖 若直線l與y軸重合 即直線l的方程為x 0 1 2 3 4 高考題型精練 在C1和C2的方程中分別令x 0 可得yA m yB n yD m 1 2 3 4 高考題型精練 化簡(jiǎn)得 2 2 1 0 方法二如圖 若直線l與y軸重合 則 BD OB OD m n AB OA OB m n 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 2 方法一如圖 若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l 使得S1 S2 根據(jù)對(duì)稱性 不妨設(shè)直線l y kx k 0 點(diǎn)M a 0 N a 0 到直線l的距離分別為d1 d2 則 1 2 3 4 高考題型精練 所以d1 d2 1 2 3 4 高考題型精練 由對(duì)稱性可知 AB CD 所以 BC BD AB 1 AB AD BD AB 1 AB 將l的方程分別與C1 C2的方程聯(lián)立 可求得 1 2 3 4 高考題型精練 根據(jù)對(duì)稱性可知xC xB xD xA 于是 1 2 3 4 高考題型精練 因?yàn)閗 0 所以k2 0 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 方法二如圖 若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l 使得S1 S2 根據(jù)對(duì)稱性 不妨設(shè)直線l y kx k 0 點(diǎn)M a 0 N a 0 到直線l的距離分別為d1 d2 則 1 2 3 4 高考題型精練 所以d1 d2 1 2 3 4 高考題型精練 由點(diǎn)A xA kxA B xB kxB 分別在C1 C2上 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4 高考題型精練 1 2 3 4