高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 必考部分 第二篇 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程課件 文 北師大版.ppt

第8節(jié)函數(shù)與方程 結(jié)合二次函數(shù)的圖像 了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系 判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù) 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來 教材導(dǎo)讀 1 當(dāng)函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)有零點(diǎn)時(shí) 是否一定有f a f b 0 2 若函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖像不是連續(xù)不斷的曲線 滿足f a f b 0 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn)嗎 知識(shí)梳理 1 函數(shù)的零點(diǎn) 實(shí)數(shù)根 x軸 零點(diǎn) f a f b 0 2 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系 一 兩 零 把握零點(diǎn) 函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的關(guān)系 夯基自測 D 解析 選項(xiàng)A錯(cuò)誤 函數(shù)f x x2 1的零點(diǎn)為 1和1 選項(xiàng)B錯(cuò)誤 函數(shù)f x x2 x在 1 2 上有兩個(gè)零點(diǎn) 但f 1 f 2 0 選項(xiàng)C錯(cuò)誤 當(dāng)b2 4ac 0時(shí) 二次函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)或有且僅有一個(gè)交點(diǎn) 從而二次函數(shù)沒有零點(diǎn)或有一個(gè)零點(diǎn) 選項(xiàng)D正確 由已知條件 數(shù)形結(jié)合得f x 與x軸在區(qū)間 a b 上有且僅有一個(gè)交點(diǎn) 故正確 1 下列說法正確的是 A 函數(shù)f x x2 1的零點(diǎn)是 1 0 和 1 0 B 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點(diǎn) 函數(shù)圖象連續(xù)不斷 則一定有f a f b 0 C 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0時(shí)沒有零點(diǎn) D 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)且f a f b 0 則函數(shù)f x 在 a b 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) C 零點(diǎn)存在性定理檢驗(yàn) D 轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù) 答案 2 0 4 已知函數(shù)f x x2 x a a 0 在區(qū)間 0 1 上有零點(diǎn) 則a的取值范圍為 根據(jù)圖像確定條件 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 考點(diǎn)一 例1 1 2016高安中學(xué)月考 函數(shù)f x x5 x 3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x x5 x 3的圖象在x R上是連續(xù)的增函數(shù) 且f 1 15 1 3 20 所以函數(shù)f x x5 x 3在 1 2 上存在零點(diǎn) 故選B 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性利用零點(diǎn)存在性定理檢驗(yàn) 反思?xì)w納 1 零點(diǎn)存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn) 對于函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)或者函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值同號(hào)時(shí) 還要綜合考慮函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷 2 若f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a f b 0 則函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn) 2 2016揭陽月考 方程2x 1 x 5的解所在的區(qū)間為 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 2 令f x 2x 1 x 5 由于f 0 0 f 4 0 所以2x 1 x 5的解所在的區(qū)間為 2 3 故選C 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 考點(diǎn)二 例2 1 2015寧夏育才中學(xué)模擬 定義在R上的奇函數(shù)f x 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x 則函數(shù)F x f x x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A 4 B 3 C 1 D 0 解析 1 當(dāng)x 0時(shí) 令 x2 2x x 解得x 0或x 1 因?yàn)楹瘮?shù)f x 是奇函數(shù) 所以函數(shù)F x f x x也是奇函數(shù) 故零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱 故還有一個(gè)x 1 所以一共有3個(gè)零點(diǎn) 故選B 先求x 0的零點(diǎn) 不要漏掉函數(shù)對稱性的零點(diǎn)啊 化為x的函數(shù) 求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 反思?xì)w納判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法有三種 1 直接法 方程f x 0解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)y f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 2 零點(diǎn)存在性定理 要求函數(shù)在區(qū)間 a b 上是連續(xù)不斷的曲線 且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性 周期性 對稱性 才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 3 數(shù)形結(jié)合法 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像 其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 答案 1 D 解析 2 當(dāng)x 0時(shí) f x x2 2x 3 由f x 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 因?yàn)閤 0 所以x 1 當(dāng)x 0時(shí) f x lnx x2 2x 令f x 0 得lnx x2 2x 如圖 分別作出函數(shù)y lnx與y x2 2x x 0 的圖像 由圖可知兩個(gè)函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn) 所以此時(shí)函數(shù)f x 有兩個(gè)零點(diǎn) 綜上 函數(shù)f x 的零點(diǎn)有三個(gè) 答案 2 3 轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn) 直接解方程 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍 考點(diǎn)三 例3 2015高考安徽卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 若直線y 2a與函數(shù)y x a 1的圖像只有一個(gè)交點(diǎn) 則a的值為 轉(zhuǎn)化為圖像問題 反思?xì)w納函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題類型及解題思路 1 已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù) 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根所在的區(qū)間求解參數(shù)應(yīng)分三步 判斷函數(shù)的單調(diào)性 利用零點(diǎn)存在性定理 得到參數(shù)所滿足的不等式 解不等式 即得參數(shù)的取值范圍 2 已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù) 常利用數(shù)形結(jié)合法 解析 1 由 f x 2 axf x 0得f x f x ax 0 則f x 0或f x ax 0 如圖 作出函數(shù)f x 的圖像 由函數(shù)圖像 可知f x 0的解有兩個(gè) 故要使方程 f x 2 axf x 0恰有5個(gè)不同的解 則方程f x ax的解必有三個(gè) 即y f x 與y ax必有三個(gè)交點(diǎn) 此時(shí)0 a 1 所以a的取值范圍是 0 1 答案 1 A 2 2015廈門模擬 若函數(shù)f x x2 x a 1有四個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 備選例題 解析 函數(shù)g x f x m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)f x 的圖像與直線y m的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 如圖 作出函數(shù)f x 的圖像 由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)m 0 1 時(shí) 函數(shù)f x 的圖像與直線y m有三個(gè)交點(diǎn) 即函數(shù)g x f x m有三個(gè)零點(diǎn) 答案 0 1 解 法一設(shè)方程x2 a2 1 x a 2 0的兩根分別為x1 x2 x1 x2 則 x1 1 x2 1 0 即x1x2 x1 x2 1 0 由根與系數(shù)的關(guān)系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 所以 2 a 1 即a的取值范圍為 2 1 法二函數(shù)圖像大致如圖 則有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 故 2 a 1 即a的取值范圍為 2 1 例3 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一個(gè)零點(diǎn)比1大 一個(gè)零點(diǎn)比1小 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 例4 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a 使函數(shù)f x x2 3a 2 x a 1在區(qū)間 1 3 上與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) 若存在 求出a的范圍 若不存在 說明理由 類題探源精析把復(fù)雜的問題簡單化 數(shù)形結(jié)合求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 教材源題 求函數(shù)f x lnx 2x 6的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 解 求f x lnx 2x 6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y lnx與y 2x 6的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù) 在同一坐標(biāo)系中作出二者圖像 由圖可知兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn) 所以f x lnx 2x 6僅有一個(gè)零點(diǎn) 方法總結(jié)利用數(shù)形結(jié)合思想求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的實(shí)質(zhì)是將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題 在求解時(shí)要關(guān)注兩個(gè)方面 一是作圖要盡量規(guī)范 盡量減少人為誤差 二是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的零點(diǎn) 解析 f x 2sinxcosx x2 sin2x x2 則函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)y sin2x與函數(shù)y x2圖像的交點(diǎn) 畫圖知 圖略 兩圖像有2個(gè)交點(diǎn) 則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn) 答案 2