高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 8.3 圓的方程課件(理).ppt

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第三節(jié)圓的方程 知識梳理 1 圓的定義 方程 定點 定長 a b r D2 E2 4F 0 2 點與圓的位置關系點M x0 y0 與圓 x a 2 y b 2 r2的位置關系 1 點M x0 y0 在圓外 則 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 點M x0 y0 在圓上 則 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 點M x0 y0 在圓內 則 x0 a 2 y0 b 2 r2 特別提醒 1 解答圓的問題的關鍵注意數(shù)形結合 充分運用圓的幾何性質 簡化運算 2 二元二次方程表示圓的條件對于方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圓時易忽視D2 E2 4F 0這一條件 小題快練 鏈接教材練一練1 必修2P124T1 2 改編 圓x2 y2 2x 4y 1 0的圓心坐標是 半徑是 解析 由x2 y2 2x 4y 1 0得 x 1 2 y 2 2 6 所以該圓的圓心坐標為 1 2 半徑為答案 1 2 2 必修2P124T4改編 已知圓C經(jīng)過A 5 2 B 1 4 兩點 圓心在x軸上 則圓C的方程為 解析 因為圓心在x軸上 設圓心為 a 0 所以圓的方程為 x a 2 y2 r2 又因為A 5 2 B 1 4 在圓上 所以解得a 1 r2 20 所以圓的方程為 x 1 2 y2 20 答案 x 1 2 y2 20 感悟考題試一試3 2015 北京高考 圓心為 1 1 且過原點的圓的方程是 A x 1 2 y 1 2 1B x 1 2 y 1 2 1C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2 解析 選D 半徑r 所以圓的方程為 x 1 2 y 1 2 2 4 2016 天水模擬 圓 x 2 2 y2 5關于直線y x對稱的圓的方程為 A x 2 2 y2 5B x2 y 2 2 5C x 2 2 y 2 2 5D x2 y 2 2 5 解析 選D 由題意知所求圓的圓心坐標為 0 2 所以所求圓的方程為x2 y 2 2 5 5 2016 太原模擬 以 1 0 為圓心 且與直線x y 3 0相切的圓的方程是 A x 1 2 y2 8B x 1 2 y2 8C x 1 2 y2 16D x 1 2 y2 16 解析 選A 因為所求圓的圓心坐標為M 1 0 所以可排除B D 因為所求圓與直線x y 3 0相切 所以圓心M 1 0 到直線x y 3 0的距離即為該圓的半徑r 即r 4 可排除C 所以所求圓的方程為 x 1 2 y2 2 8 考向一求圓的方程 典例1 1 2015 全國卷 過三點A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圓交y軸于M N兩點 則 MN A 2B 8C 4D 10 2 在平面直角坐標系xOy中 求與x軸相交于A 1 0 和B 5 0 兩點且半徑為的圓的標準方程 解題導引 1 利用三點A 1 3 B 4 2 C 1 7 求出圓的方程 令x 0 求出y的值 從而求出 MN 的值 2 因為已知圓的半徑 所以可設圓的標準方程 利用待定系數(shù)法求解 規(guī)范解答 1 選C 由已知得kAB kCB 所以kAB kCB 1 所以AB CB 即 ABC為直角三角形 其外接圓圓心為 1 2 半徑r 5 所以外接圓方程為 x 1 2 y 2 2 25 令x 0得y 2 2 所以 MN 4 2 設圓的標準方程為 x a 2 y b 2 5 因為點A B在圓上 所以可得到方程組 所以圓的標準方程是 x 3 2 y 1 2 5或 x 3 2 y 1 2 5 一題多解 解答本例 2 還有如下解法 解析 由于A B兩點在圓上 那么線段AB是圓的一條弦 根據(jù)平面幾何知識 這個圓的圓心在線段AB的垂直平分線x 3上 于是可以設圓心為C 3 b 又AC 得解得b 1或b 1 因此 所求圓的標準方程為 x 3 2 y 1 2 5或 x 3 2 y 1 2 5 規(guī)律方法 1 求圓的方程的兩種方法 1 直接法 根據(jù)圓的幾何性質 直接求出圓心坐標和半徑 進而寫出方程 2 待定系數(shù)法 若已知條件與圓心 a b 和半徑r有關 則設圓的標準方程 依據(jù)已知條件列出關于a b r的方程組 從而求出a b r的值 若已知條件沒有明確給出圓心或半徑 則選擇圓的一般方程 依據(jù)已知條件列出關于D E F的方程組 進而求出D E F的值 2 確定圓心位置的方法 1 圓心在過切點且與切線垂直的直線上 2 圓心在圓的任意弦的垂直平分線上 3 兩圓相切時 切點與兩圓圓心共線 變式訓練 1 已知圓C1 x 1 2 y 1 2 1 圓C2與圓C1關于直線x y 1 0對稱 則圓C2的方程為 A x 2 2 y 2 2 1B x 2 2 y 2 2 1C x 2 2 y 2 2 1D x 2 2 y 2 2 1 解析 選B 圓C1 x 1 2 y 1 2 1的圓心坐標 1 1 關于直線x y 1 0對稱的圓心坐標為 2 2 所求的圓C2的方程為 x 2 2 y 2 2 1 2 2015 湖北高考 如圖 已知圓C與x軸相切于點T 1 0 與y軸正半軸交于兩點A B B在A的上方 且 AB 2 1 圓C的標準方程為 2 圓C在點B處的切線在x軸上的截距為 解析 1 設點C的坐標為 x0 y0 則由圓C與x軸相切于點T 1 0 知 點C的橫坐標為1 即x0 1 半徑r y0 又因為 AB 2 所以12 12 y02 即y0 r 所以圓C的標準方程為 x 1 2 y 2 2 2 令x 0得 B 0 1 設圓C在點B處的切線方程為y 1 kx 則圓心C到其距離為 d 解之得k 1 即圓C在點B處的切線方程為y x 1 于是令y 0可得x 1 即圓C在點B處的切線在x軸上的截距為 1 答案 1 x 1 2 y 2 2 2 1 加固訓練 1 經(jīng)過點 1 0 且圓心是兩直線x 1與x y 2的交點的圓的方程為 A x 1 2 y2 1B x 1 2 y 1 2 1C x2 y 1 2 1D x 1 2 y 1 2 2 解析 選B 由即所求圓的圓心坐標為 1 1 又由該圓過點 1 0 得其半徑為1 故圓的方程為 x 1 2 y 1 2 1 2 若點 1 1 在圓 x a 2 y a 2 4的內部 則實數(shù)a的取值范圍是 A 11或a 1D a 1 解析 選A 因為點 1 1 在圓內 所以 1 a 2 1 a 2 4 即 1 a 1 3 圓心在y軸上且通過點 3 1 的圓與x軸相切 則該圓的方程是 A x2 y2 10y 0B x2 y2 10y 0C x2 y2 10 x 0D x2 y2 10 x 0 解析 選B 設圓心為 0 b 半徑為R 則R b 所以圓的方程為x2 y b 2 b2 因為點 3 1 在圓上 所以9 1 b 2 b2 解得b 5 所以圓的方程為x2 y2 10y 0 4 2016 沈陽模擬 圓心在直線x 2上的圓與y軸交于兩點A 0 4 B 0 2 則該圓的標準方程為 解析 設圓心為 2 a 因為圓與y軸交于兩點A 0 4 B 0 2 即截y軸所得弦長為2 所以圓的半徑為r 故圓的標準方程為 x 2 2 y 3 2 5 答案 x 2 2 y 3 2 5 5 已知兩點A 0 3 B 4 0 若點P是圓x2 y2 2y 0上的動點 則 ABP面積的最小值為 解析 如圖 過圓心C向直線AB作垂線交圓于點P 這時 ABP的面積最小 直線AB的方程為即3x 4y 12 0 圓心C到直線AB的距離為所以 ABP的面積的最小值為答案 考向二與圓有關的軌跡問題 典例2 1 已知A B是圓O x2 y2 16上的兩點 且 AB 6 若以AB的長為直徑的圓M恰好經(jīng)過點C 1 1 則圓心M的軌跡方程是 2 2015 廣東高考改編 已知過原點的動直線l與圓C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的兩點A B 求圓C1的圓心坐標 求線段AB的中點M的軌跡C的方程 解題導引 1 可利用 MC 等于圓的半徑 進而得出點M的軌跡方程 2 將圓C1的方程化為標準方程可得圓C1的圓心坐標 先設線段AB的中點M的坐標 再由圓的性質可得點M滿足的方程 進而利用動直線l與圓C1相交可得x的取值范圍 即可得線段AB的中點M的軌跡C的方程 規(guī)范解答 1 設圓心坐標為M x y 則 x 1 2 y 1 2 即 x 1 2 y 1 2 9 答案 x 1 2 y 1 2 9 2 由x2 y2 6x 5 0得 x 3 2 y2 4 所以圓C1的圓心坐標為 3 0 設M x y 則因為點M為線段AB的中點 所以C1M AB 所以kC1M kAB 1 當x 3時可得整理得又當直線l與x軸重合時 M點坐標為 3 0 代入上式成立 設直線l的方程為y kx 與x2 y2 6x 5 0聯(lián)立 消去y得 1 k2 x2 6x 5 0 令其判別式 6 2 4 1 k2 5 0 得k2 此時方程為x2 6x 5 0 解上式得x 因此 x 3 所以線段AB的中點M的軌跡方程為 規(guī)律方法 求與圓有關的軌跡問題的四種方法 變式訓練 1 設A 3 0 B 3 0 為兩定點 動點P到A點的距離與到B點的距離之比為1 2 則點P的軌跡圖形所圍成的面積是 解析 設P x y 則由題意有所以x2 y2 10 x 9 0 所以 x 5 2 y2 16 所以點P在半徑為4的圓上 故其面積為16 答案 16 2 已知圓x2 y2 4上一定點A 2 0 B 1 1 為圓內一點 P Q為圓上的動點 1 求線段AP中點的軌跡方程 2 若 PBQ 90 求線段PQ中點的軌跡方程 解析 1 設AP的中點為M x y 由中點坐標公式可知 P點的坐標為 2x 2 2y 因為P點在圓x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故線段AP中點的軌跡方程為 x 1 2 y2 1 2 設PQ的中點為N x y 在Rt PBQ中 PN BN 設O為坐標原點 連接ON 圖略 則ON PQ 所以 OP 2 ON 2 PN 2 ON 2 BN 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故線段PQ中點的軌跡方程為x2 y2 x y 1 0 加固訓練 2016 宜昌模擬 已知動圓P過定點A 3 0 且與圓B x 3 2 y2 64相切 點P的軌跡為曲線C 設Q為曲線C上 不在x軸上 的動點 過點A作OQ的平行線交曲線C于M N兩點 1 求曲線C的方程 2 求 MNQ的面積S的最大值 解析 1 因為動圓P過定點A 3 0 且與圓B x 3 2 y2 64相切 所以點P到兩定點A 3 0 和B 3 0 距離之和等于定圓B的半徑 所以 PA PB 8 所以點P的軌跡是以A B為焦點 長軸為8的橢圓 所以曲線C的方程為 2 因為Q不在x軸上 所以設直線OQ x my 因為過點A作OQ的平行線交曲線C于M N兩點 所以直線MN x my 3 設M x1 y1 N x2 y2 Q x3 y3 則 x1 3 y1 x2 3 y2 聯(lián)立方程組消去x 得 7m2 16 y2 42my 49 0 因為MN OQ 所以S S MNQ SMNO OA y1 y2 當且僅當m2 時取等號 所以所求最大值為 考向三與圓有關的最值問題 考情快遞 考題例析 命題方向1 代數(shù)式的最值問題 典例3 1 2016 太原模擬 已知點P是直線3x 4y 8 0上的動點 點C是圓x2 y2 2x 2y 1 0的圓心 那么 PC 的最小值是 2 2016 南寧模擬 已知M m n 為圓C x2 y2 4x 14y 45 0上任意一點 求m 2n的最大值 求的最大值和最小值 解題導引 1 PC 的最小值就是點C到直線3x 4y 8 0的距離 2 可設m 2n t 將m 2n t看成直線方程 利用該直線與圓相交或相切即可求出t的最值 可利用的幾何意義求解 規(guī)范解答 1 點C到直線3x 4y 8 0上的動點P的最小距離即為點C到直線3x 4y 8 0的距離 而圓心C的坐標是 1 1 因此最小距離為答案 3 2 因為x2 y2 4x 14y 45 0的圓心C 2 7 半徑r 設m 2n t 將m 2n t看成直線方程 因為該直線與圓有公共點 所以圓心到直線的距離d 解上式得 所以 所求的最大值為16 記點Q 2 3 因為表示直線MQ的斜率 設直線MQ的方程為y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 則由直線MQ與圓C有公共點 所以可得所以的最大值為2 最小值為2 母題變式 1 若本例 1 設點A為圓上的動點 試求 PA 的最小值 解析 點C到直線3x 4y 8 0上的動點P的最小距離即為點C到直線3x 4y 8 0的距離 而圓心C的坐標是 1 1 圓心C與點P最小距離為又因為圓x2 y2 2x 2y 1 0的半徑為1 所以 PA 的最小值為3 1 2 2 若將本例 1 的條件 P是直線3x 4y 8 0上的動點 改為 P 4 5 試求點P到圓上的點的距離的最大值與最小值 解析 因為點P 4 5 與圓心C 1 1 的距離 PC 5 所以點P與圓上的點的距離的最大值為5 1 6 最小值為5 1 4 命題方向2 與圓有關的范圍問題 典例4 2014 全國卷 設點M x0 1 若在圓O x2 y2 1上存在點N 使得 OMN 45 則x0的取值范圍是 解題導引 可結合圖象 探究滿足條件的x0的取值范圍 規(guī)范解答 建立三角不等式 利用兩點間距離公式找到x0的取值范圍 如圖 過點M作 O的切線 切點為N 連接ON M點的縱坐標為1 MN與 O相切于點N 設 OMN 則 45 即sin 即而ON 1 所以OM 因為M為 x0 1 所以所以x02 1 所以 1 x0 1 所以x0的取值范圍為 1 1 答案 1 1 技法感悟 1 與圓有關的最值問題的幾何轉化法 1 形如 形式的最值問題 可轉化為動直線斜率的最值問題 2 形如t ax by形式的最值問題 可轉化為動直線截距的最值問題 3 形如 x a 2 y b 2形式的最值問題 可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題 2 與圓有關的參數(shù)范圍問題常見思路 1 直接利用條件 畫出幾何圖形 結合圖形用幾何法求參數(shù)的范圍 2 根據(jù)位置關系列不等式組 用代數(shù)法求參數(shù)范圍 3 構造關于參數(shù)的函數(shù)關系 借助函數(shù)思想求參數(shù)的范圍 題組通關 1 2016 溫州模擬 已知點P x y 是直線kx y 4 0 k 0 上一動點 PA PB是圓C x2 y2 2y 0的兩條切線 A B為切點 若四邊形PACB的最小面積是2 則k的值為 A 1B 3C 2D 解析 選C 圓C的方程可化為x2 y 1 2 1 因為四邊形PACB的最小面積是2 且此時切線長為2 故圓心 0 1 到直線kx y 4 0的距離為即解得k 2 又k 0 所以k 2 2 2016 廣州模擬 如果直線l將圓C x 2 2 y 3 2 13平分 那么坐標原點O到直線l的最大距離為 解析 由題意知 直線l過圓心C 2 3 當直線OC l時 坐標原點到直線l的距離最大 OC 答案 3 2016 衡水模擬 已知圓x2 y2 2x 4y a 0關于直線y 2x b成軸對稱 則a b的取值范圍是 解析 圓的方程化為 x 1 2 y 2 2 5 a 所以其圓心為 1 2 且5 a 0 即a 5 又圓關于直線y 2x b成軸對稱 所以圓心在直線y 2x b上 所以2 2 b 所以b 4 所以a b a 4 1 答案 1 4 2016 長春模擬 若直線y x b與曲線y 有公共點 則b的取值范圍是 解析 由y 得 x 2 2 y 3 2 4 1 y 3 所以曲線y 是半圓 如圖中實線所示 當直線y x b與圓相切時 所以b 1 由圖可知b 1 所以b的取值范圍是 1 3 答案 1 b 3