數(shù)學(xué)第二章 函數(shù) 2.6 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用

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1、2.6函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的變化特征函數(shù)性質(zhì)y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢隨值變化而不同圖象的變化隨x值的增大,圖象與y軸接近平行隨x值的增大,圖象與x軸接近平行隨值變化而不同知識(shí)清單2.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型(1)直線模型:一次函數(shù)模型y=kx+b(k0),圖象增長(zhǎng)的特點(diǎn)是直線式上升(x的系數(shù)k0),通過(guò)圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它,特例是正比例函數(shù)模型y=kx(k0).(2)反比例函數(shù)模型:y=(k0),增長(zhǎng)特點(diǎn)是在單調(diào)區(qū)間內(nèi)y隨x的增大而減小.(3)指數(shù)函數(shù)模型:y

2、=abx+c(b0,b1,a0),其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(b1,a0).常形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0),增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢(a1,m0).常形象地稱為“蝸牛式增長(zhǎng)”.kx(5)冪函數(shù)模型:y=axn+b(a0),其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c(a0).其特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小,后增大(a0).(6)“對(duì)勾”函數(shù)模型:形如f(x)=x+(a0,x0)的函數(shù)模型,在現(xiàn)實(shí)生活中也有著廣泛的應(yīng)用,常利用“基本不等式”解決,有時(shí)利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值.

3、3.解答函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;ax(4)還原:將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.以上過(guò)程用框圖表示如下: 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型,或可確定其函數(shù)模型的圖象,求解時(shí)先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實(shí)際問(wèn)題.方法技巧方法例(2017江蘇無(wú)錫期中)某工廠第一季度某產(chǎn)品月生產(chǎn)量依次為10萬(wàn)件,12萬(wàn)件,1

4、3萬(wàn)件,為了預(yù)測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量,以這3個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(單位:萬(wàn)件)與月份x的關(guān)系.模擬函數(shù)1:y=ax+c;模擬函數(shù)2:y=mnx+s.(1)已知4月份的產(chǎn)量為14萬(wàn)件,問(wèn)選用哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)好?(2)受工廠設(shè)備的影響,全年的每月產(chǎn)量都不超過(guò)15萬(wàn)件,請(qǐng)選用合適的模擬函數(shù)預(yù)測(cè)6月份的產(chǎn)量.bx解析若用模擬函數(shù)1:y=ax+c,則有解得a=,b=-3,c=,即y=-+.若用模擬函數(shù)2:y=mnx+s,則有解得m=-8,n=,s=14,即y=14-23-x.bx10,122,2133,3abcbacbac122522x 3x2522310,12,13,mnsmnsmns12(1)若用模擬函數(shù)1,當(dāng)x=4時(shí),y=13.75;若用模擬函數(shù)2,當(dāng)x=4時(shí),y=13.5.因?yàn)?3.513.7515,模擬函數(shù)2:y=14-23-x是單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)x=12時(shí),y15,所以應(yīng)該選用模擬函數(shù)2:y=14-23-x.當(dāng)x=6時(shí),y=14-23-6=13.875.所以預(yù)測(cè)6月份的產(chǎn)量為13.875萬(wàn)件.2x 3x252734