數學第六章 數列 6.3 等比數列及其前n項和 文 新人教B版

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1、6 6. .3 3等比數列及其前等比數列及其前n n項和項和 -2-知識梳理雙基自測21自測點評31.等比數列的有關概念(1)等比數列的定義一般地,如果一個數列從第項起,每一項與它的前一項的比都等于,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的,公比通常用字母表示.數學語言表達式:(2)等比中項如果a,G,b組成等比數列,則G叫做a和b的等比中項.即:G是a與b的等比中項a,G,b成等比數列.2 同一常數 公比 q(q0) G2=ab -3-知識梳理雙基自測自測點評2132.等比數列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數列an的首項為a1,公比是q,則其通項公式為an=;可推廣為an=.(

2、2)等比數列的前n項和公式:當q=1時,Sn=na1;當q1時,a1qn-1 amqn-m -4-知識梳理雙基自測自測點評2133.等比數列及其前n項和的性質(1)已知an為等比數列,若k+l=m+n(k,l,m,nN+),則akal=;若m+n=2k,則aman=(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數列,公比為.(3)當q-1,或q=-1且n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列,其公比為.(4)若an,bn(項數相同)是等比數列,則an(0),aman qm qn 2-5-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結論正確的打“

3、”,錯誤的打“”. (1)滿足an+1=qan(nN*,q為常數)的數列an為等比數列. ()(2)G為a,b的等比中項G2=ab.()(3)等比數列中不存在數值為0的項.()(4)若an為等比數列,bn=a2n-1+a2n,則數列bn也是等比數列.()(5)若數列an為等比數列,則數列l(wèi)n an是等差數列.()(6)若數列an的通項公式是an=an,則其前n項和為 答案 答案關閉(1)(2)(3)(4)(5)(6) -6-知識梳理雙基自測自測點評234152.我國古代數學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了38

4、1盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞 B.3盞C.5盞 D.9盞 答案解析解析關閉 答案解析關閉-7-知識梳理雙基自測自測點評234153.已知an為等差數列,公差為1,且a5是a3與a11的等比中項,Sn是an的前n項和,則S12的值為()A.21 B.42C.63 D.54 答案解析解析關閉 答案解析關閉-8-知識梳理雙基自測自測點評234154.在數列an中,a1=2,an+1=2an,Sn為an的前n項和.若Sn=126,則n=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測自測點評234155.(2017北京朝陽二模)在等比數列an

5、中,已知a1=2,a4=-2,則an的通項公式an=. 答案解析解析關閉a1=2,a4=-2,則a4=-2=a1q3,q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1. 答案解析關閉2(-1)n-1-10-知識梳理雙基自測自測點評1.等差數列的首項和公差可以為零,且等差中項唯一;而等比數列的首項和公比均不為零,等比中項可以有兩個值.2.在等比數列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判斷an為等比數列,還要驗證a10;若aman=apaq,則m+n=p+q不一定成立,因為常數列也是等比數列,但若m+n=p+q,則有3.在運用等比數列的前n項和公式時,如果不能確定q與1的關系,必須分q=1和q1

6、兩種情況討論.-11-考點1考點2考點3考點4例1(1)設an是由正數組成的等比數列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于() 答案 答案關閉 (1)B(2)A(3)-8(2)(2017陜西咸陽二模)在等比數列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的兩根,則a5=()A.1B.-1C.1 D.3(3)設等比數列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.思考解決等比數列基本運算問題的常見思想方法有哪些?-12-考點1考點2考點3考點4-13-考點1考點2考點3考點4解題心得解決等比數列有關問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數列中有五個量a1,n,q,

7、an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求基本量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因為等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當某一參數為公比進行求和時,就要對參數是否為1進行分類求和.(3)整體思想:應用等比數列前n項和公式時,常把qn或 當成整體進行求解.-14-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練1(1)已知an為等比數列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差數列,則a3+a5等于()A.189 B.72C.60 D.33(2)已知an是等差數列,公差d不為零,前n項和是Sn,若a3,a4,a8成等比數列,則()A.a1d0,dS40B.a1d0,

8、dS40,dS40D.a1d0 答案解析解析關閉 答案解析關閉-15-考點1考點2考點3考點4例2已知數列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數列,并求其通項公式;思考判斷或證明一個數列是等比數列有哪些方法?-16-考點1考點2考點3考點4-17-考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數列an是等比數列常用的方法(2)等比中項法,證明 =an-1an+1;(3)通項公式法,若數列通項公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數,nN+),則an是等比數列.2.若判斷一個數列不是等比數列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可.-18-考點1考點2考點3考點4對點訓

9、練對點訓練2已知數列an的前n項和為Sn,在數列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2),且an+Sn=n.(1)設cn=an-1,求證:cn是等比數列;(2)求數列bn的通項公式.-19-考點1考點2考點3考點4-20-考點1考點2考點3考點4-21-考點1考點2考點3考點4考向一等比數列性質的應用例3(1)在由正數組成的等比數列an中,若a3a4a5=3,則sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值為()(2)在正項等比數列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=.思考用等比數列的哪些性質能簡化解題過程? 答案 答案關閉 (

10、1)B(2)14 -22-考點1考點2考點3考點4-23-考點1考點2考點3考點4考向二等比數列前n項和的性質的應用例4設等比數列an的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本題應用什么性質求解比較簡便? 答案解析解析關閉S2=3,S4=15,由等比數列前n項和的性質,得S2,S4-S2,S6-S4成等比數列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C. 答案解析關閉C -24-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的有關問題時,為簡化解題過程常常利用等比數列的如下性質:(1

11、)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知等比數列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應用公比不為-1的等比數列前n項和的性質:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數列比較簡便.-25-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練3(1)已知在各項均為正數的等比數列an中,a5a6=4,則數列l(wèi)og2an的前10項和為()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比數列an的首項a1=-1,其前n項和為Sn,若 ,則公比q=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉-26-考點1考點2考點3考點4例5

12、(2017全國,文17)已知等差數列an的前n項和為Sn,等比數列bn的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項公式;(2)若T3=21,求S3.思考解決等差數列、等比數列的綜合問題的基本思路是怎樣的? 答案 答案關閉-27-考點1考點2考點3考點4解題心得等差數列和等比數列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數、轉化等數學思想方法,合理調用相關知識,就不難解決這類問題.-28-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練4已知等差數列an滿足:a1=2,且a1,a2,a5成

13、等比數列.(1)求數列an的通項公式;(2)記Sn為數列an的前n項和,是否存在正整數n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由. 解 (1)設數列an的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當d=0時,an=2;當d=4時,an=2+(n-1)4=4n-2,從而得數列an的通項公式為an=2或an=4n-2.-29-考點1考點2考點3考點4(2)當an=2時,Sn=2n.顯然2n60n+800成立.當an=4n-2時,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n

14、的最小值為41.綜上,當an=2時,不存在滿足題意的n;當an=4n-2時,存在滿足題意的n,其最小值為41.-30-考點1考點2考點3考點41.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題,數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.2.判定等比數列的方法(1)定義法: (q是不為零的常數,nN+)an是等比數列.(2)通項公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數,nN+)an是等比數列.(3)等比中項法: =anan+2(anan+1an+20,nN+)an是等比數列.-31-考點1考點2考點3考點43.求解等比數列問題常用的數學思

15、想(1)方程思想:如求等比數列中的基本量;(2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調性時對a1與q分類討論.1.在等比數列中,易忽視每一項與公比都不為0.2.求等比數列的前n項和時,易忽略q=1這一特殊情形.-32-審題答題指導如何理解條件和轉化條件典例在等差數列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數列an的通項公式;(2)對任意mN+,將數列an中落入區(qū)間(9m,92m)內的項數記為bm,求數列bm的前m項和Sm.審題要點(1)題干中已知條件有三個:“數列an是等差數列”和兩個等式;(2)第(2)問中所含條件可理解為:數列an的各項在所給區(qū)間的項數為bm;(3)第(2)問中條件的轉化方法:文字語言轉化為符號語言,即求滿足9man92m的n的范圍.-33-解(1)設等差數列an的公差為d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,則5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.-34-反思提升本題第(2)問設置了落入區(qū)間內的項的個數構成新數列,由通項公式及已知區(qū)間建立不等式求項數,進而得到所求數列bm的通項公式是解答該問題的核心與關鍵.