數(shù)學(xué)第七章 圖形的變化 第1節(jié) 圖形的軸對稱與中心對稱

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1、圖形的圖形的軸對稱軸對稱與中心與中心對稱對稱軸對稱與軸對稱圖形軸對稱與軸對稱圖形折疊的性質(zhì)折疊的性質(zhì)中心對稱與中心對稱圖形中心對稱與中心對稱圖形常見的軸對稱圖形、中心對稱圖形常見的軸對稱圖形、中心對稱圖形軸對軸對稱與稱與軸對軸對稱圖稱圖形形未完繼續(xù)未完繼續(xù)軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖圖形形定定義義如果一個(gè)平面圖形沿一條如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖分能夠完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸條直線就是它的對稱軸把一個(gè)圖形沿著某一條直線把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)折疊，如

2、果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸線叫做對稱軸軸對軸對稱與稱與軸對軸對稱圖稱圖形形返回返回軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱軸對稱性性質(zhì)質(zhì)1.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對稱點(diǎn)所連線段的任何一對對稱點(diǎn)所連線段的 _2.軸對稱圖形中兩個(gè)圖形的對稱軸是任意一對對軸對稱圖形中兩個(gè)圖形的對稱軸是任意一對對稱點(diǎn)所連線段的稱點(diǎn)所連線段的 _ 3.由軸對稱變換得到的圖形與原圖形的由軸對稱變換得到的圖形與原圖形的_和和_完全一致完全一致 垂直平分線垂直平分線垂直平分線垂

3、直平分線大小大小形狀形狀返回返回折疊的折疊的性質(zhì)性質(zhì)1.位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成_2.滿足折疊性質(zhì)即折疊前后的兩部分圖形全等，滿足折疊性質(zhì)即折疊前后的兩部分圖形全等，對應(yīng)邊、角、線段、周長、面積等均相等對應(yīng)邊、角、線段、周長、面積等均相等3.折疊前后，對應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分折疊前后，對應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分軸對稱軸對稱中心中心對稱對稱與中與中心對心對稱圖稱圖形形中心對稱圖形中心對稱圖形中心對稱中心對稱圖形圖形定義定義把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那能夠與原來的圖形重合，那么這

4、個(gè)圖形叫做中心對稱圖么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個(gè)，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心性質(zhì)性質(zhì)中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心，且被中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心，且被 所平分所平分返回返回對稱中心對稱中心返回返回常見的軸常見的軸對稱圖形、對稱圖形、中心對稱中心對稱圖形圖形軸對稱圖形：等腰三角形、等邊三角形、菱形、軸對稱圖形：等腰三

5、角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、正五邊形、正六邊形、圓等矩形、正方形、正五邊形、正六邊形、圓等中心對稱圖形：平行四邊形、菱形、矩形、正方中心對稱圖形：平行四邊形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等形、正六邊形、圓等既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形：菱形、矩形、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形：菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等正方形、正六邊形、圓等與折疊有關(guān)的計(jì)算與折疊有關(guān)的計(jì)算滿滿 分分技技法法 凡是在幾何圖形中出現(xiàn)凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件1.

6、 與三角形結(jié)合：與三角形結(jié)合：(1)若涉及直角，則優(yōu)先考慮直角三角形的性質(zhì)若涉及直角，則優(yōu)先考慮直角三角形的性質(zhì)(勾股定理及斜勾股定理及斜邊上的中線等于斜邊的一半邊上的中線等于斜邊的一半)，若為含特殊角的直角三角形，若為含特殊角的直角三角形，則應(yīng)利用其邊角關(guān)系計(jì)算；則應(yīng)利用其邊角關(guān)系計(jì)算；(2)若涉及兩邊若涉及兩邊(角角)相等，則利用等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，若相等，則利用等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，若存在存在60角，則利用等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般會作出高角，則利用等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般會作出高線構(gòu)造含特殊角的直角三角形進(jìn)行求解；線構(gòu)造含特殊角的直角三角形進(jìn)行求解；

7、(3)若含有中位線，則需利用中位線的位置及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行等量代換；若含有中位線，則需利用中位線的位置及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行等量代換；2. 與四邊形結(jié)合：與四邊形結(jié)合：(1)與平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合，往往可利用其特殊性質(zhì)與平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合，往往可利用其特殊性質(zhì)求解；求解；(2)若為一般的四邊形，則可通過構(gòu)造特殊的三角形或四邊形求解若為一般的四邊形，則可通過構(gòu)造特殊的三角形或四邊形求解例例 如圖，將矩形如圖，將矩形ABCD沿對角線沿對角線BD折疊，點(diǎn)折疊，點(diǎn)C落在落在C處，處，BC與與AD交于點(diǎn)交于點(diǎn)G.(1)對于以下結(jié)論，其中不正確是對于以下結(jié)論，其中不正確是( )A. CD

8、CD B. CBDCBDC. BD垂直平分線段垂直平分線段CG D. BDG為等腰三角形為等腰三角形 (2)若若AB6，BC8，求陰影部分圖形的面積和周長；，求陰影部分圖形的面積和周長；C例題圖例題圖(3)如圖，連接如圖，連接AC，判斷，判斷AC與與BD的位置關(guān)系，并給予的位置關(guān)系，并給予證明；證明； (4) 如圖，再折疊一次，使點(diǎn)如圖，再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)A重合，得折痕為重合，得折痕為EN，EN交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)M，求，求EM的長的長(1)【思維教練思維教練】利用折疊的性質(zhì)即可判斷；利用折疊的性質(zhì)即可判斷；例題圖例題圖(2)【思維教練思維教練】要求陰影部分的面積與周長，則必須要求要求陰影

9、部分的面積與周長，則必須要求對應(yīng)的邊長，由折疊性質(zhì)可找出相等的量，矩形中求線段對應(yīng)的邊長，由折疊性質(zhì)可找出相等的量，矩形中求線段長度應(yīng)首先考慮到利用勾股定理求解；長度應(yīng)首先考慮到利用勾股定理求解；【自主作答自主作答】解：由解：由(1)得得BGDG，設(shè)，設(shè)AGx，則，則BGDG8x，在在RtABG中，中，AB2AG2BG2，即，即62x2(8x)2，解得解得x ，即，即AG ，BG ，陰影部分圖形的面積陰影部分圖形的面積2 ABAG2 6 ，周長周長ABADBCCD28；7474254741221212(3)【思維教練思維教練】觀察圖形可猜測觀察圖形可猜測AC與與BD是否平行，要證是否平行，要證

10、明線段平行則想到通過證明兩個(gè)同位角或內(nèi)錯角相等以及明線段平行則想到通過證明兩個(gè)同位角或內(nèi)錯角相等以及兩個(gè)同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，又因?yàn)樯婕罢郫B考慮結(jié)合三角形兩個(gè)同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，又因?yàn)樯婕罢郫B考慮結(jié)合三角形全等進(jìn)行證明；全等進(jìn)行證明；【自主作答自主作答】解：解：ACBD；證明：根據(jù)題意得證明：根據(jù)題意得ABCD，ADBC，由折疊可得由折疊可得BCBC，CDCD，ABCD，BCAD，又又ACAC，ACDCAB(SSS)，ACBCAD，AGCBGD，且，且GBDGDB，ACB CBD，ACBD；(4)【思維教練思維教練】點(diǎn)點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)A重合，則表示存在中位線，求重合，則表示存在中位線，求線段長度，結(jié)合勾

11、股定理即可求解線段長度，結(jié)合勾股定理即可求解【自主作答自主作答】 解：點(diǎn)解：點(diǎn)D與點(diǎn)與點(diǎn)A重合，得折痕重合，得折痕EN，DM4，AD8，AB6，在在RtABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得BD10，ENAD，ABAD，ENABCD，MN是是ABD的中位線，的中位線，DN BD5，MN AB3，由折疊的性質(zhì)可知由折疊的性質(zhì)可知NDENDC，ENCD，ENDNDC，ENDNDE，ENED，設(shè)設(shè)EMx，則，則EDENx3，由勾股定理得由勾股定理得ED2EM2DM2，即即(x3)2x242，解得，解得x ，即，即EM .12127676練習(xí)練習(xí) 如圖，正方形如圖，正方形ABCD的邊長為，對角線的邊長

12、為，對角線AC、BD相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，以，以AB為斜邊在正方形內(nèi)部作為斜邊在正方形內(nèi)部作RtABE，AEB90，連接，連接OE.點(diǎn)點(diǎn)P為邊為邊AB上的一點(diǎn)，將上的一點(diǎn)，將AEP沿著沿著EP翻折到翻折到GEP，若，若PGBE于點(diǎn)于點(diǎn)F，OE ，則，則SEPB_.23310220練習(xí)題圖練習(xí)題圖【解析解析】如解圖，在如解圖，在BE上截取上截取BMAE，連接，連接OM，AC與與BE交于點(diǎn)交于點(diǎn)K，四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，ACBD，AOOB，AEBAOB90，EAOAKE90，BKOOBM90，BKOAKE，EAOOBM，在，在OAE和和OBM中，中， ，OAE OBM(SAS)，OEOM，AOEBOM，EOMAOB90，在等腰在等腰RtEOM中，中，EMOE2，OAOBOAEOBMAEMB 練習(xí)題解圖練習(xí)題解圖設(shè)設(shè)AEBMa，在，在RtABE中，中，AB2AE2BE2，10a2(a2)2，a0，a1，AE1，BE3，PEG是由是由PEA翻折得到，翻折得到，PAPG，APEGPE，PGEB，AEEB，AEPG，AEPGPEAPE，APAE1，PB 1，如解圖，過如解圖，過E作作EHAB于于H，則，則 AEBE ABEH，EH ，SEPB PBEH13 1033( 101)10.210220121 33 10=1010121012