高三數(shù)學(xué)第一篇四 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 理

第第1 1講講 等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算考點(diǎn)二 等差、等比數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)通項(xiàng)公式:等差數(shù)列:an=a1+(n-1)d;等比數(shù)列:an=a1qn-1(q0).(2)求和公式:等差數(shù)列:Sn=na1+d;等比數(shù)列:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q1時(shí),Sn=.1()2nn aa(1)2n n1(1)1naqq11naa qq典型例題典型例題(1)(2017課標(biāo)全國(guó),4,5分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8(2)(2017課標(biāo)全國(guó),17,12分)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(i)若a3+b3=5,求bn的通項(xiàng)公式;(ii)若T3=21,求S3.解析解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,S6=48,則a1+a6=16=a2+a5,又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故選C.(2)設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(i)由a3+b3=5得2d+q2=6.聯(lián)立和解得(舍去)或因此bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-1.(ii)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.當(dāng)q=-5時(shí),由得d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時(shí),由得d=-1,則S3=-6.16() 62aa3,0dq1,2.dq答案答案(1)C方法歸納方法歸納等差(比)數(shù)列的運(yùn)算策略在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體代入的運(yùn)用,以減少計(jì)算量.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017福州綜合質(zhì)量檢測(cè))設(shè)等差數(shù)列an的公差d0,且a2=-d,若ak是a6與ak+6的等比中項(xiàng),則k=()A.5B.6C.9D.11答案答案 C因?yàn)閍k是a6與ak+6的等比中項(xiàng),所以=a6ak+6,又等差數(shù)列an的公差d0,且a2=-d,所以a2+(k-2)d2=(a2+4d)a2+(k+4)d,所以(k-3)2=3(k+3),解得k=9或k=0(舍去),故選C.2ka2.(2017昆明教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且2,Sn,an成等差數(shù)列,則S17=()A.0B.2C.-2D.34答案答案 B由2,Sn,an成等差數(shù)列,得2Sn=an+2,2Sn+1=an+1+2,-,整理得=-1,又2a1=a1+2,所以a1=2,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為-1的等比數(shù)列,所以S17=2,故選B.1nnaa172 1 ( 1) 1 1 3.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n+1+a,數(shù)列bn滿足bn=2-log2.(1)求常數(shù)a的值;(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.3na解析解析(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=22+a=4+a,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n,an為等比數(shù)列,=a1a3,即(22)2=(4+a)23,解得a=-2.(2)由(1)知an=2n,則bn=2-log223n=2-3n,bn+1-bn=-3對(duì)一切nN*都成立,bn是以-1為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,即b1=-1,d=-3,Tn=nb1+d=.22a(1)2n n232nn考點(diǎn)二 等差、等比數(shù)列的判定與證明1.證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義證明an+1-an(nN*)為一常數(shù);(2)利用等差中項(xiàng),即證明2an=an-1+an+1(n2).2.證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義證明(nN*)為一常數(shù);(2)利用等比中項(xiàng),即證明=an-1an+1(n2).1nnaa2na典型例題典型例題(2017貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求an的通項(xiàng)公式.解析解析(1)由已知得a2-2a1=4,則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12得2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得=2,即-=2,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.則=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.nan1(1)(1)nnnanan n11nannannannan方法歸納方法歸納(1)判定一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列,可以利用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式,但不能將其作為證明方法;(2)=q和=an-1an+1(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件,判定時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零.1nnaa2na跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且S3,S9,S6成等差數(shù)列,下列結(jié)論正確的是()A.a1,a7,a4成等差數(shù)列B.a1,a7,a4成等比數(shù)列C.a1,2a7,a4成等差數(shù)列D.a1,2a7,a4成等比數(shù)列答案答案A顯然q=1時(shí)不合題意,依題意得S3+S6=2S9,即(1-q3)+(1-q6)=(1-q9)1+q3=2q6a1+a1q3=2a1q6a1+a4=2a7,a1,a7,a4成等差數(shù)列.11aq11aq121aq2.(2017課標(biāo)全國(guó),17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析解析(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得解得q=-2,a1=-2.故an的通項(xiàng)公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.121(1)2,(1)6.aqaqq 1(1)1naqq23123n4332223nn122( 1)33nn 考點(diǎn)三 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq;(2)an=am+(n-m)d;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等差數(shù)列(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,則aman=apaq;(2)an=amqn-m;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等比數(shù)列(q-1)典型例題典型例題(1)(2017云南11校跨區(qū)調(diào)研)已知數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,則S12=()A.40B.60C.32D.50(2)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,(n+1)SnnSn+1(nN*).若-1,則()A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S787aa解析解析(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,即數(shù)列4,8,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,則S9-S6=16,S12-S9=32,因此S12=4+8+16+32=60,故選B.(2)由(n+1)SnnSn+1得(n+1)n,整理得anan+1,所以等差數(shù)列an是遞增數(shù)列,又0,a70,所以數(shù)列an的前7項(xiàng)為負(fù)值,即Sn的最小值是S7,故選D.1()2nn aa11(1)()2nnaa87aa答案答案(1)B(2)D方法歸納方法歸納應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題的方法(1)解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.(2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差數(shù)列中,“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq(m,n,p,qN*)”這一性質(zhì)與求和公式Sn=的綜合應(yīng)用.1()2nn aa跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017太原模擬試題)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,則S11=()A.66B.55C.44D.33答案答案D因?yàn)閍1+a5=2a3,a8+a10=2a9,所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=36,所以a3+a9=6,所以S11=33,故選D.11111()2aa3911 ()2aa2.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列an,全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍,前3項(xiàng)之積為64,則a1=()A.11B.12C.13D.14答案答案B設(shè)數(shù)列an的公比為q,全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記為S奇、S偶,由題意知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.因?yàn)閿?shù)列an的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),所以q=.又a1(a1q)(a1q2)=64,所以q3=64,故a1=12.SS偶奇1331a3.在數(shù)列an中,a1=5,(an+1-2)(an-2)=3(nN*),則該數(shù)列的前2016項(xiàng)的和是.答案答案8064解析解析因?yàn)?an+1-2)(an-2)=3,所以(an+2-2)(an+1-2)=3,因此an+2-2=an-2,即an+2=an,所以數(shù)列an是以2為周期的數(shù)列.又a1=5,因此(a2-2)(a1-2)=3,故a2=3,a1+a2=8.注意到2016=21008,因此該數(shù)列的前2016項(xiàng)的和等于1008(a1+a2)=8064.1.(2017貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an滿足an=an+1,若a3+a4=2,則a4+a5=()A.B.1C.4D.81212隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)答案答案 C解法一:因?yàn)閍n=an+1,a3+a4=2,所以an0,可得=2,所以an為等比數(shù)列,由an=amqn-m,得a3+a324-3=2,解得a3=,所以an=a3qn-3=2n-3,由此可得a4=a32=,a5=a322=,所以a4+a5=+=4.解法二:已知an=an+1,可得an+1=2an,所以a4+a5=2a3+2a4=2(a3+a4)=22=4.121nnaa232343834383123122.已知等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)y=2x+1+m的圖象上,則m=()A.-2B.2C.-3D.3答案答案 A易知q1,Sn=-qn=-qn+1,又點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)y=2x+1+m的圖象上,所以Sn=2n+1+m,所以q=2,解得m=-2.1(1)1naqq11aq11aq11aq1(1)aqq11,11,(1)amqaqq3.(2017北京,10,5分)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=.22ab答案答案1解析解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.a1=b1=-1,a4=b4=8,a2=2,b2=2.=1.31 38,18,dq 3,2.dq 22ab224.(2017廣西三市第一次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-1(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log4an+1,求bn的前n項(xiàng)和Tn.解析解析(1)當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1.當(dāng)n=1時(shí),a1=2-1=1,滿足an=2n-1,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n-1(nN*).(2)由(1)得,bn=log4an+1=,則bn+1-bn=-=,數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公差d=的等差數(shù)列,Tn=nb1+d=.12n22n12n1212(1)2n n234nn