高考數(shù)學一輪復習 選考部分 第十二篇 幾何證明選講 第2節(jié) 圓與直線、圓與四邊形課件 文 北師大版.ppt

第2節(jié)圓與直線 圓與四邊形 1 會證明并應用圓周角定理 圓的切線判定定理與性質定理 知識鏈條完善把散落的知識連起來 知識梳理 1 圓周角定理 弦切角定理 1 圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的的一半 圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半 2 圓周角定理的推論推論1 同弧或等弧所對的相等 在同圓或等圓中 相等的 所對的弧也相等 推論2 半圓 或直徑 所對的圓周角是 90 的圓周角所對的弧是 3 弦切角定理弦切角等于它所夾弧所對的 弦切角的度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的一半 圓心角 圓周角 圓周角 直角 半圓 圓周角 2 圓內接四邊形的判定定理和性質定理 互補 內對角 互補 內對角 3 圓的切線 外端 垂直于 垂直于 切點 圓心 4 直線與圓位置關系的有關定理 比例中項 積 積 切線長 基礎自測 1 給出下列命題 圓心角等于圓周角的2倍 相等的圓周角所對的弧也相等 等腰梯形一定有外接圓 弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù) 在圓內接四邊形ABCD中 A B C D m n p q 則有m p n q 其中錯誤的是 A B C D 解析 錯誤 若弧不一樣 則圓心角與圓周角的關系不確定 錯誤 只有在同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧才相等 正確 可以推出等腰梯形的對角互補 所以有外接圓 錯誤 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角 所夾的弧的度數(shù)等于該弧所對圓心角的度數(shù) 所以弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角度數(shù)的2倍 正確 圓內接四邊形ABCD的對角互補 B A C 4 2015高考重慶卷 如圖 圓O的弦AB CD相交于點E 過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 則BE 答案 2 5 2015高考廣東卷 如圖 已知AB是圓O的直徑 AB 4 EC是圓O的切線 切點為C BC 1 過圓心O作BC的平行線 分別交EC和AC于點D和點P 則OD 答案 8 考點專項突破在講練中理解知識 圓周角 圓心角 弦切角和圓的切線問題 考點一 反思歸納 1 證明直線是圓的切線可運用切線的判定定理 2 涉及圓的切線問題時常常利用弦切角定理實現(xiàn)弦切角與圓周角的相互轉化 利用圓周角 圓心角定理及其推論實現(xiàn)圓周角 圓心角及所對弧的度數(shù)之間的相互轉化 四點共圓問題 考點二 例2 如圖 CD為 ABC外接圓的切線 AB的延長線交直線CD于點D E F分別為弦AB與弦AC上的點 且BC AE DC AF B E F C四點共圓 1 證明 CA是 ABC外接圓的直徑 2 若DB BE EA 求過B E F C四點的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值 反思歸納圓內接四邊形的性質定理是圓中探求角的相等或互補關系的常用定理 使用時要注意觀察圖形 要弄清四邊形的外角和它的內對角的位置 其性質定理是溝通角的相等關系的重要依據(jù) 解題時要注意相關角的定理的靈活應用 即時訓練 2015高考湖南卷 如圖 在 O中 相交于點E的兩弦AB CD的中點分別是M N 直線MO與直線CD相交于點F 證明 1 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 證明 1 因為M N分別是弦AB CD的中點 所以OM AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四邊形的內角和等于360 故 MEN NOM 180 2 由 1 知O M E N四點共圓 故由割線定理即得FE FN FM FO 與圓有關的比例線段 考點三 例3 2014高考新課標全國卷 如圖 P是 O外一點 PA是切線 A為切點 割線PBC與 O相交于點B C PC 2PA D為PC的中點 AD的延長線交 O于點E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 2 由切割線定理得PA2 PB PC 因為PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 反思歸納證明與圓有關的比例線段 常用到三角形相似 相交弦定理 割線定理以及切割線定理等 同時要注意圓的有關性質 直角三角形中的射影定理 角平分線的性質的靈活運用 即時訓練 2016貴陽一測 AB是 O的一條切線 切點為B 過 O外一點C作直線CE交 O于G E 連接AE交 O于D 連接CD交 O于F 連接AC FG 已知AC AB 1 證明 AD AE AC2 2 證明 FG AC 證明 1 因為AB是 O的一條切線 AE為割線 所以AB2 AD AE 又因為AB AC 所以AC2 AD AE 備選例題 例1 2016赤峰模擬 如圖所示 圓O的直徑為BD 過圓上一點A作圓O的切線AE 過點D作DE AE于點E 延長ED與圓O交于點C 1 證明 DA平分 BDE 1 證明 因為AE是 O的切線 所以 DAE ABD 因為BD是 O的直徑 所以 BAD 90 所以 ABD ADB 90 又 ADE DAE 90 所以 ADB ADE 所以DA平分 BDE 2 若AB 4 AE 2 求CD的長 2 求證 BF FG 例3 2016烏魯木齊一診 過以AB為直徑的圓上C點作直線交圓于E點 交AB延長線于D點 過C點作圓的切線交AD于F點 交AE延長線于G點 且GA GF 1 求證CA CD 證明 1 因為GF是圓的切線 所以 GCE GAC 又因為 GCE DCF 所以 DCF GAC 因為GA GF 所以 GAF AFG 又 GAF GAC CAF AFG D DCF 所以 CAF D 所以CA CD 2 設H為AD的中點 求證BH BA BF BD 解題規(guī)范夯實把經典問題的解決程序化 與圓有關的比例線段 典例 2016保定一模 如圖所示 已知 O1與 O2相交于A B兩點 過點A作 O1的切線交 O2于點C 過點B作兩圓的割線 分別交 O1 O2于點D E DE與AC相交于點P 1 求證 AD EC 2 若AD是 O2的切線 且PA 6 PC 2 BD 9 求AD的長 滿分展示 1 證明 連接AB 1分因為AC是 O1的切線 所以 BAC D 3分又因為 BAC E 所以 D E 所以AD EC 5分 2 解 因為PA是 O1的切線 PD是 O1的割線 所以PA2 PB PD 所以62 PB PB 9 所以PB 3 7分在 O2中 由相交弦定理得PA PC BP PE 所以PE 4 8分因為AD是 O2的切線 DE是 O2的割線 所以AD2 DB DE 9 16 所以AD 12 10分 答題模板 第一步 作輔助線 連接AB 第二步 由弦切角定理得 BAC D 第三步 由圓周角定理得 BAC E 第四步 等量代換得 D E 從而證出AD EC 第五步 由切割線定理求出PB的長 第六步 由相交弦定理求出PE的長 第七步 再由切割線定理求出AD的長