數(shù)學(xué)第七章 不等式 第43講 不等式恒成立問(wèn)題

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1、第第43講不等式恒成立問(wèn)題講不等式恒成立問(wèn)題考試要求1.不等式包含兩個(gè)元的情況(C級(jí)要求)；2.不等式恒成立問(wèn)題涉及一元二次不等式、線(xiàn)性規(guī)劃、基本不等式恒成立問(wèn)題.解決問(wèn)題的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題.1.設(shè)y(log2x)2(t2)log2xt1，若t在2，2上變化時(shí)y恒取正值，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi).解析設(shè)f(t)y(log2x1)t(log2x)22log2x1， t2，2，診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，從而原不等式等價(jià)于2x22mxm4x26x3(xR)，即2x2(62m)x(3m)0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立.則(62m)28(3m)0， 解得1m3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，3).

2、答案(1，3)g(x)ming(1)3a， 3a0 a3.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3，). (x)max (1)3， a3，即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3，).答案(3，)1.恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值處理af(x)對(duì)xD恒成立af(x)max，af(x)對(duì)xD恒成立 af(x)min.知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理2.恒成立問(wèn)題處理方法：圖象法、最值法、參變分離法、變換主元法等.3.不等式的恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題(1)恒成立問(wèn)題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立f(x)minA(xD)；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f(x)A成立_(xD)；若f(x)在區(qū)間

3、D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立f(x)A的解集為D；不等式f(x)B恰在區(qū)間D上成立f(x)B的解集為D.f(x)maxAf(x)min2xa1在a1，1上恒成立.設(shè)f(a)(x1)ax22x1，則f(a)是a的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，要使f(a)0在a1，1上恒成立，則須滿(mǎn)足故實(shí)數(shù)的取值范圍是(，0)(2，).考點(diǎn)二一元二次不等式恒成立問(wèn)題【例2】 已知x時(shí)，不等式12x(aa2)4x0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.考點(diǎn)三高次不等式恒成立問(wèn)題考點(diǎn)四絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題解()當(dāng)x0時(shí)，顯然f(x)0成立，此時(shí)aR.此時(shí)a的范圍是(1，3).綜合()()得a的范圍是(1，3).規(guī)律方法(1)當(dāng)f(x)含有絕對(duì)值時(shí)，先去掉絕對(duì)值號(hào)，(2)這種思路是：首先是分離變量，其次用極端值原理.把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，若f(x)不存在最值，可求出f(x)的范圍，問(wèn)題同樣可以解出.考點(diǎn)五線(xiàn)性規(guī)劃恒成立問(wèn)題考點(diǎn)六基本不等式恒成立問(wèn)題【例6】 已知對(duì)滿(mǎn)足xy42xy的任意正實(shí)數(shù)x，y，都有x22xyy2axay10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.