高等數(shù)學(xué)：第10章第十章-習(xí)題課

目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小結(jié)與習(xí)題課小結(jié)與習(xí)題課一、一、 二重積分內(nèi)容總結(jié)二重積分內(nèi)容總結(jié)三、二重積分計(jì)算的基本技巧三、二重積分計(jì)算的基本技巧 第十章 二重積分的 計(jì)算 及應(yīng)用 二、二、 二重積分計(jì)算的基本方法二重積分計(jì)算的基本方法 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、二重積分課程內(nèi)容回顧總結(jié)1. 二重積分概念2. 性質(zhì)（P138）3. 重要結(jié)論(對(duì)稱(chēng)性）1、直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分2、極坐標(biāo)計(jì)算二重積分三、二重積分計(jì)算技巧；二、二重積分基本計(jì)算方法目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域積分域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它在與它在與 x 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn) (1,0) 處與直線處與直線.1相切 yx, 1 yx從而從而d)(d)(32DDyxyx而域而域 D 位于直線的上方位于直線的上方, 故在故在 D 上上1y2x1OD課練：課練：P140：5（2）目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 估計(jì)下列積分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于由于yx22coscos1001積分性質(zhì)積分性質(zhì)5100200 I102200即即: 1.96 I 210101010D10011021xyO課練：課練：返回返回目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 DB目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分1. 二重積分 若 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)， Ddxdyyxf),(1D為“對(duì)稱(chēng)的一半”xy01D（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 y 為奇函數(shù)，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf則則（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 y 為偶函數(shù)，即),(),(yxfyxf 1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf則則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分1. 二重積分 若 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)， Ddxdyyxf),(2D為“對(duì)稱(chēng)的一半”xy0（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf則則（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)，即),(),(yxfyxf 2),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf則則2DP185:2(2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D2D3D4D2(2). 則yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如圖 ,4321DDDDD由對(duì)稱(chēng)性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在21DD 上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)A,),(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2/316目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 :1,01D xy例1 設(shè)5(cos)()Dxyy yd則52cosDDyxydy d2Dy d解:積分區(qū)域如圖所示122Dy dD1112002dxy dy23目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分2. 二重積分 若 D 關(guān)于 原點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)， Ddxdyyxf),(3D為“對(duì)稱(chēng)的一半”xy0（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x , y 為奇函數(shù)，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf則則（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x, y 為偶函數(shù)，即),(),(yxfyxf 3),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf則則3D目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算重積分3. 二重積分 若 D 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱(chēng)，即 Ddxdyyxf),(xy,),(Dyx 若若 DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(則則,),(Dxy 則則即被積函數(shù)中，x 和 y 對(duì)換，二重積分值不。0 xy D該對(duì)稱(chēng)性又稱(chēng)坐標(biāo)輪換法。練習(xí)：P185：1（2）；目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1(2)：計(jì)算,)(2222 DyxddbyaxIxyxy 0 DyxddbxayI)(2222解222:RyxD 因?yàn)?D 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱(chēng)，所以 DyxddbxaybyaxI)()(222222222 Dyxddyxba)()11(2222 Rddba022022)11( )11(2224baR P185:1(2)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1(2)：計(jì)算,)(2222 DyxddbyaxIxyxy 0 DyxddbxayI)(2222解222:RyxD 因?yàn)?D 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱(chēng)，所以 DyxddbxaybyaxI)()(222222222 Rddba022022)11( )11(2224baR )11(4224baRI 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、二重積分計(jì)算的基本方法二、二重積分計(jì)算的基本方法1、直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分選擇易計(jì)算的積分次序，積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .2、極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 積分區(qū)域是圓或圓的一部分，或者區(qū)域 D 的邊界方程用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單； 被積函數(shù)具有下列形式時(shí)什么時(shí)候考慮用極坐標(biāo)計(jì)算?2(),(cot ),(tan )fff22(),( ),( )xyf xyffyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 練習(xí)：練習(xí)：P185：1（1）2220yxdxedy例1：積分 的值是（ ）22yxe dy積分 積不出來(lái)，因此需改變積分次序因此需改變積分次序解：xy222200yydyedx原式原式2200yyedydx220yeydy22201()2yedy41(1)2e原函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用牛頓牛頓-萊布尼茨求原函數(shù)，萊布尼茨求原函數(shù)，目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對(duì) x 積分不行, 說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 計(jì)算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.解解: 利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xO:D0cosrR2222d練習(xí)：P185 3 (3). 例3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 計(jì)算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周所圍成的閉區(qū)域.解解: 利用極坐標(biāo)sinrR原式sin220RRr rdryDRxO:D0sinrR00d練習(xí)：P185 3 (3). 3 (4). 學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí)22xyRy222:D xyR2222:D axyb思考:如果積分區(qū)域?yàn)?目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 計(jì)算二重積分2(369)d ,Dyxy其中解解:由輪換對(duì)稱(chēng)性yDRxO220012Rdr rdr課練：P185 3 (4). 222( , )|Dx yxyR2d3d6d91dDDDDyxy原式dd0DDxy由對(duì)稱(chēng)性由性質(zhì)29d9DR2dDy221d2Dxy44R22ddDDyx原式4294RR例4:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、二重積分計(jì)算的基本技巧三、二重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱(chēng)性1. 交換積分順序的方法(185:1(1)2. 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算(185:1(2),2(2)3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)4. 利用擴(kuò)展積分域進(jìn)行計(jì)算 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 CD目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 axamyxamaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed例2:證明提示提示: 左端積分區(qū)域如圖,Dxy a交換積分順序即可證得.P186 5.yxO()00( )aym a xdyef x dx()0( )aam a xxdxef x dy()0( )aam a xxef x dxdy()0()( )am a xax ef x dx證畢證明:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3計(jì)算二重積分,dd)e(222yxyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對(duì)稱(chēng)性.yxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxyxDyxdde22圍成 . yx1DO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 y1x1O(2) 積分域如圖:1D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxyxDyxdde22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對(duì)稱(chēng)性 , 得yxyxxIyxDdd)e(222221xyDxyedxdy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 課練17年目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 課練16年目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 課練15年目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 課練15年目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 課練14年目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用1. 幾何方面的應(yīng)用：空間體的體積2. 平面塊的面積目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：222222xyxyDDVaxy dxdyxy dxdy在 平面上的投影域?yàn)閤oy,:222ayxDxy 由二重積分幾何意義，所求體積為2222xyxyDDad dd d 2222200002aadaddd 3322(2 21)33aa34( 21)3a目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例題, P:158：8,9,10,17,18：P177。1，2，3目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束