2019-2020學年高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.2 奇偶性課件 新人教A版必修1.ppt

1 3 2奇偶性 一 二 一 偶函數(shù)1 觀察下列函數(shù)的圖象 你能通過這些函數(shù)的圖象 歸納出這三個函數(shù)的共同特征嗎 提示 這三個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 圖象關(guān)于y軸對稱 一 二 2 對于上述三個函數(shù) f 1 與f 1 f 2 與f 2 f 3 與f 3 有什么關(guān)系 這說明關(guān)于y軸對稱的點的坐標有什么關(guān)系 提示 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3 關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù) 縱坐標相等 3 一般地 若函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于y軸對稱 則f x 與f x 有什么關(guān)系 反之成立嗎 提示 若函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于y軸對稱 則f x f x 反之 若f x f x 則函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于y軸對稱 4 填空 1 定義 對于函數(shù)f x 定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 那么函數(shù)f x 叫做偶函數(shù) 2 偶函數(shù)的圖象特征 圖象關(guān)于y軸對稱 一 二 5 判斷正誤 定義在R上的函數(shù)f x 若f 1 f 1 f 2 f 2 則f x 一定是偶函數(shù) 答案 6 做一做 下列函數(shù)中 是偶函數(shù)的是 A f x x2B f x xC f x D f x x x3答案 A 一 二 二 奇函數(shù)1 觀察函數(shù)f x x和f x 的圖象 如圖 你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎 提示 容易得到定義域關(guān)于原點對稱 圖象關(guān)于原點對稱 2 對于上述兩個函數(shù)f 1 與f 1 f 2 與f 2 f 3 與f 3 有什么關(guān)系 提示 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3 一 二 3 一般地 若函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于原點對稱 則f x 與f x 有什么關(guān)系 反之成立嗎 提示 若函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于原點對稱 則f x f x 反之 若f x f x 則函數(shù)y f x 的圖象關(guān)于原點對稱 4 填空 1 定義 對于函數(shù)f x 定義域內(nèi)任意一個x 都有f x f x 那么函數(shù)f x 叫做奇函數(shù) 2 奇函數(shù)的圖象特征 圖象關(guān)于原點對稱 一 二 5 判斷正誤 1 若f x 是奇函數(shù) 則f 0 0 2 不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù) 答案 1 2 一 二 6 做一做 1 函數(shù)f x x的圖象關(guān)于 對稱 A y軸B 直線y xC 坐標原點D 直線y x 2 下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是 一 二 解析 1 因為f x x是奇函數(shù) 所以該函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱 2 選項A中的函數(shù)圖象關(guān)于原點或y軸均不對稱 故排除 選項C D中的圖象所表示函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱 不具有奇偶性 故排除 選項B中的圖象關(guān)于y軸對稱 其表示的函數(shù)是偶函數(shù) 故選B 答案 1 C 2 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性 分析 利用奇函數(shù) 偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性時 先求出函數(shù)的定義域 看其是否關(guān)于原點對稱 如果定義域關(guān)于原點對稱 再判斷f x 與f x 的關(guān)系 為了判斷f x 與f x 的關(guān)系 既可以從f x 開始化簡整理 也可以考慮f x f x 或f x f x 是否等于0 當f x 不等于0時也可考慮與1或 1的關(guān)系 還可以考慮使用圖象法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 函數(shù)的定義域為 x x 1 不關(guān)于原點對稱 f x 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 2 函數(shù)的定義域為R 關(guān)于原點對稱 f x x 3 2 x 2x x3 f x f x 是奇函數(shù) 函數(shù)的定義域為 1 1 關(guān)于原點對稱 又f 1 f 1 0 f x 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 4 函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 方法一 當x 0時 x0 f x x 1 x x 1 x f x f x f x f x 是奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點對稱 f x 是奇函數(shù) 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為奇函數(shù) 偶函數(shù) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 2 判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法 1 定義法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 2 圖象法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 變式訓練1判斷下列函數(shù)的奇偶性 2 f x x 2 x 2 3 f x 0 解 1 f x 的定義域是R 所以f x 是奇函數(shù) 2 f x 的定義域是R 又f x x 2 x 2 x 2 x 2 f x 所以f x 是偶函數(shù) 3 因為f x 的定義域為R 又f x 0 f x 且f x 0 f x 所以f x 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二利用函數(shù)的奇偶性求解析式例2已知f x 為R上的奇函數(shù) 當x 0時 f x 2x2 3x 1 1 求f 1 2 求f x 的解析式 分析 1 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì) 將f 1 轉(zhuǎn)化為f 1 求解 2 先設(shè)出所求區(qū)間上的自變量 利用奇函數(shù) 偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的特點 把它轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上 代入已知的解析式 再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可 注意不要忽略x 0時f x 的解析式 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 因為函數(shù)f x 為奇函數(shù) 所以f 1 f 1 2 12 3 1 1 2 2 當x0 則f x 2 x 2 3 x 1 2x2 3x 1 由于f x 是奇函數(shù) 則f x f x 所以f x 2x2 3x 1 當x 0時 f 0 f 0 則f 0 f 0 即f 0 0 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 這類問題常見的情形是 已知當x a b 時 f x x 求當x b a 時f x 的解析式 若f x 為奇函數(shù) 則當x b a 時 f x f x x 若f x 為偶函數(shù) 則當x b a 時 f x f x x 2 若函數(shù)f x 的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù) 則必有f 0 0 不能漏掉 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究若將本例中的 奇 改為 偶 x 0 改為 x 0 其他條件不變 求f x 的解析式 解 當x0 此時f x 2 x 2 3 x 1 2x2 3x 1 由于f x 是偶函數(shù) 則f x f x 2x2 3x 1 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 探究三分段函數(shù)的奇偶性問題解析 當x0 f x x 2 2 x x2 2x 又f x 為奇函數(shù) f x f x x2 2x f x x2 2x x2 mx m 2 答案 2反思感悟分段函數(shù)奇偶性的判斷技巧 1 分段函數(shù)的奇偶性應分段說明f x 與f x 的關(guān)系 只有當對稱區(qū)間上的對應關(guān)系滿足同樣的關(guān)系時 才能判斷函數(shù)的奇偶性 否則該分段函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 2 若能畫出分段函數(shù)的圖象 則利用圖象的對稱性去判斷分段函數(shù)的奇偶性 這是一種非常有效的方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 變式訓練2判斷f x x a x a a R 的奇偶性 分析 對a進行分類討論 解 若a 0 則f x x x 0 因為x R 定義域R關(guān)于原點對稱 所以f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 當a 0時 f x x a x a x a x a x a x a f x 故f x 是奇函數(shù) 綜上 當a 0時 函數(shù)f x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 當a 0時 函數(shù)f x 是奇函數(shù) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 利用定義法 賦值法解決抽象函數(shù)奇偶性問題典例若定義在R上的函數(shù)f x 滿足 對任意的x1 x2 R 都有f x1 x2 f x1 f x2 且當x 0時 f x 0 則 A f x 是奇函數(shù) 且在R上是增函數(shù)B f x 是奇函數(shù) 且在R上是減函數(shù)C f x 是奇函數(shù) 且在R上不是單調(diào)函數(shù)D 無法確定f x 的單調(diào)性和奇偶性 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 解析 令x1 x2 0 則f 0 2f 0 所以f 0 0 令x1 x x2 x 則f x f x f x x f 0 0 所以f x f x 故函數(shù)y f x 是奇函數(shù) 設(shè)x10 所以f x2 x1 0 故f x2 f x1 所以函數(shù)y f x 在R上是減函數(shù) 故選B 答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 反思感悟1 判斷抽象函數(shù)的奇偶性 應利用函數(shù)奇偶性的定義 找準方向 巧妙賦值 合理 靈活變形 找出f x 與f x 的關(guān)系 從而判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性 2 有時需要整體上研究f x f x 的和的情況 比如 上面典例中利用f x f x 0可得出y f x 是奇函數(shù) 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 變式訓練定義在R上的函數(shù)y f x 滿足 對任意 R 總有f f f 2019 則下列說法正確的是 A f x 1是奇函數(shù)B f x 1是奇函數(shù)C f x 2019是奇函數(shù)D f x 2019是奇函數(shù)解析 令 0 則f 0 f 0 f 0 2019 即f 0 2019 令 則f 0 f f 2019 即f f 4038 則f 2019 2019 f 2019 f 即f x 2019是奇函數(shù) 故選D 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 1 已知一個奇函數(shù)的定義域為 1 2 a b 則a b等于 A 1B 1C 0D 2解析 因為一個奇函數(shù)的定義域為 1 2 a b 根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 所以a與b有一個等于1 一個等于 2 所以a b 1 2 1 答案 A A 是奇函數(shù)B 是偶函數(shù)C 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)解析 由題意知函數(shù)的定義域是 4 4 不關(guān)于原點對稱 所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 3 設(shè)f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當x 0時 f x 2x2 x 則f 1 A 1B 3C 1D 3解析 當x 0時 f x 2x2 x f 1 2 1 2 1 3 因為f x 是定義在R上的奇函數(shù) 故f 1 f 1 3 故選B 答案 B4 若函數(shù)f x x a x 4 為偶函數(shù) 則實數(shù)a 解析 f x x2 a 4 x 4a f x 是偶函數(shù) a 4 0 即a 4 答案 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 探究一 探究二 探究三 思想方法 當堂檢測 綜上所述 在 0 0 上總有f x f x 因此函數(shù)f x 是奇函數(shù) 解法二作出函數(shù)的圖象 如圖所示 又因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 所以是奇函數(shù)