2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題3 數(shù)列 2.3.2 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件.ppt

第2課時數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 熱點(diǎn)考向一Sn與an關(guān)系的應(yīng)用考向剖析 本考向考題形式中選擇 填空 解答都可能涉及 主要考查利用等差 比 數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式 或知遞推公式求通項(xiàng)公式 或利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式 難度為適中 2019年高考該考向仍將是考查熱點(diǎn) 考查形式將會靈活多變 典例1 1 已知Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 a1 1 當(dāng)n 2時 Sn 1 1 an 則a8 2 2018 順德一模 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn an 0且滿足an 2Sn 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn 解析 1 當(dāng)n 2時 S1 1 a2 即a2 2 當(dāng)n 2時 相減得an 1 2an 又a1 1 所以a2 2a1 所以數(shù)列 an 構(gòu)成一個等比數(shù)列 所以a8 a2 q6 2 26 128 答案 128 2 當(dāng)n 1時 a1 2a1 解得a1 1 由an 2Sn 整理得 2an 1 4Sn 所以 2an 1 1 4Sn 1 得 2an 1 2an 4an 1 所以 an 1 an an 1 an 2 0 因?yàn)閍n 0 所以an 1 an 2 0 即an 1 an 2 所以數(shù)列 an 是以1為首項(xiàng) 以2為公差的等差數(shù)列 則an 1 2 n 1 2n 1 Tn 得 所以Tn 1 名師點(diǎn)睛 求數(shù)列通項(xiàng)的六種方法 1 歸納猜想法 先求出數(shù)列的前幾項(xiàng) 通過歸納猜想得出數(shù)列的通項(xiàng)公式 一般出現(xiàn)在選擇填空中 2 公式法 判斷數(shù)列是否為等差與等比數(shù)列 利用公式求解 3 利用Sn求an 知Sn的關(guān)系式求an 通過公式an 求 已知Sn與an的關(guān)系式求an 利用an Sn Sn 1 n 2 消去Sn 得到關(guān)于an的關(guān)系式 從而可以求an 或消去an 得到關(guān)于Sn的關(guān)系式 先求出Sn再求an 4 累加法 數(shù)列遞推關(guān)系形如an 1 an f n 其中數(shù)列 f n 前n項(xiàng)和可求 這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時 常用累加法 疊加法 5 累乘法 數(shù)列遞推關(guān)系形如an 1 g n an 其中數(shù)列 g n 前n項(xiàng)積可求 此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法 疊乘法 6 構(gòu)造法 遞推關(guān)系形如an 1 pan q p q為常數(shù) 可化為的形式 利用是以p為公比的等比數(shù)列求解 遞推關(guān)系形如an 1 p為非零常數(shù) 可化為的形式 考向精煉 1 已知Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且log2 Sn 1 n 1 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 解析 由log2 Sn 1 n 1 得Sn 1 2n 1 當(dāng)n 1時 a1 S1 3 當(dāng)n 2時 an Sn Sn 1 2n 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 答案 an 易錯警示 由Sn求an時 一定要注意分成n 1和n 2兩種情況進(jìn)行討論 最后驗(yàn)證兩者能否合并 即用一個式子來表示an 若不能 則用分段形式來表示an 2 2018 綿陽二模 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和是Sn 且Sn 2an 1 n N 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 令bn log2an 求數(shù)列 1 n 前2n項(xiàng)的和T 解析 1 當(dāng)n 2時 由得an 2an 1 n N 于是 an 是以2為公比的等比數(shù)列 令n 1得a1 1 所以an 2n 1 2 bn log2an log22n 1 n 1 于是數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為0 公差為1的等差數(shù)列 T b1 b2 b3 b2n 1 b2n 所以T n 2n 1 加練備選 1 2018 南充一診 已知數(shù)列 an 滿足 a1 1 an 0 1 n N 那么使an 5成立的n的最大值為 A 4B 5C 24D 25 解析 選C 由題意 1 所以 是首項(xiàng)為1 公差為1的等差數(shù)列 所以 1 n 1 1 n 又an 0 則an 由an 5得 5 所以n 25 那么使an 5成立的n的最大值為24 2 2018 鄭州一模 已知數(shù)列 an 滿足log2an 1 1 log2an n N 且a1 a2 a3 a10 1 則log2 a101 a102 a110 解析 因?yàn)閘og2an 1 1 log2an n N 所以log2an 1 log2an 1 即log2 1 所以 2 所以數(shù)列 an 是公比q 2的等比數(shù)列 則a101 a102 a110 a1 a2 a3 a10 q100 2100 所以log2 a101 a102 a110 log22100 100 答案 100 3 2018 內(nèi)江一模 設(shè)數(shù)列 an 滿足a1 2a2 4a3 2n 1an n 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 求數(shù)列 an log2an 的前n項(xiàng)和 解析 1 因?yàn)閿?shù)列 an 滿足a1 2a2 4a3 2n 1an n 所以當(dāng)n 2時 a1 2a2 4a3 2n 2an 1 n 1 所以當(dāng)n 2時 2n 1an 1 即an 當(dāng)n 1時 an 1滿足上式an 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 2 由 1 知 an log2an 1 n 所以 a1 log2a1 a2 log2a2 a3 log2a3 an log2an 1 0 1 2 3 n 1 熱點(diǎn)考向二數(shù)列的求和問題高頻考向 類型一裂項(xiàng)相消法求和 典例2 2018 佛山一模 已知各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 且滿足2Sn n R 1 求 的值 2 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn 大題小做 解析 1 因?yàn)閿?shù)列 an 為等差數(shù)列 設(shè)an An B 因?yàn)?an 的公差不為零 則Sn n 所以2Sn An2 A 2B n 因?yàn)?Sn n R 所以An2 A 2B n A2n2 2AB n B2 所以解得 2 由 1 知an n 所以所以Tn 易錯警示 1 相減時關(guān)注項(xiàng)的增減 抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng) 也有可能前面剩兩項(xiàng) 后面也剩兩項(xiàng) 2 裂項(xiàng)時關(guān)注系數(shù)的變化 將通項(xiàng)裂項(xiàng)后 有時需要調(diào)整前面的系數(shù) 使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等 如 若 an 是等差數(shù)列 則 探究追問 1 本例中求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn 解析 因?yàn)樗訲n 2 本例中求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn 解析 因?yàn)樗訲n 類型二錯位相減法求和 典例3 2018 新鄉(xiāng)一模 已知Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且a17 33 S7 49 1 證明 a1 a5 a41成等比數(shù)列 2 求數(shù)列 an 3n 的前n項(xiàng)和Tn 審題導(dǎo)引 1 要證明a1 a5 a41成等比數(shù)列 先求出數(shù)列通項(xiàng)an 進(jìn)而得到a1 a5 a41的值 即得證 2 要求數(shù)列 an 3n 的前n項(xiàng)和 利用錯位相減法計算即可 解析 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 由于a17 33 S7 49 則解得a1 1 d 2 所以an 2n 1 則a1 1 a5 9 a41 81 即 a1 a41 所以a1 a5 a41成等比數(shù)列 2 由 1 得 an 3n 2n 1 3n Tn 1 31 3 32 2n 1 3n 3Tn 1 32 3 33 2n 1 3n 1 得 2Tn 3 2 32 2 33 2 3n 2n 1 3n 1 3 2 2n 1 3n 1 整理得Tn n 1 3n 1 3 故數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn n 1 3n 1 3 名師點(diǎn)睛 錯位相減法求和的關(guān)注點(diǎn) 1 適用題型 等差數(shù)列 an 與等比數(shù)列 bn 對應(yīng)項(xiàng)相乘 an bn 型數(shù)列求和 2 步驟 求和時先乘以數(shù)列 bn 的公比 把兩個和的形式錯位相減 整理結(jié)果形式 拓展提升 典例3 2 中數(shù)列求和的另類解法設(shè)則即 由所以cn 3n 所以Tn b1 b2 bn c2 c1 cn cn 1 cn 1 cn cn 1 c1 3n 1 3 類型三奇 偶 數(shù)項(xiàng)和問題 典例4 已知等差數(shù)列 an 的公差為2 其前n項(xiàng)和Sn pn2 2n n N p R 1 求p的值及 an 的通項(xiàng)公式 2 在等比數(shù)列 bn 中 b2 a1 b3 a2 4 令cn k N 求數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和Tn 審題導(dǎo)引 1 要求p的值及 an 的通項(xiàng)公式 只要根據(jù)關(guān)系式an 計算即可 2 要求數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和 只要根據(jù)n的奇偶性 即可 分類 討論 解析 1 根據(jù)題意 等差數(shù)列 an 中Sn pn2 2n 當(dāng)n 1時 a1 S1 p 2 當(dāng)n 2時 有an Sn Sn 1 pn2 2n p n 1 2 2 n 1 2pn p 2 則an 1 2p n 1 p 2 所以an 1 an 2p 2 所以p 1 an 2n 1 2 2n 1 當(dāng)n 1時 a1 p 2 3 也適合上式 所以 an 的通項(xiàng)公式an 2n 1 2 因?yàn)閎2 a1 3 b3 a2 4 9 所以q 3 bn b2qn 2 3 3n 2 3n 1 當(dāng)n 2k k N 時 Tn a1 b2 a3 b4 a2k 1 b2k a1 a3 a2k 1 b2 b4 b2k 3 7 4k 1 3 27 32k 1 k 2k 1 當(dāng)n 2k 1 k N 時 n 1是偶數(shù) Tn Tn 1 bn 1 所以Tn 考向精煉 1 2018 廣州一模 在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列 an 中 已知a4 5 且a3 a5 a8成等比數(shù)列 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 記bn 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 解析 1 因?yàn)?an 為等差數(shù)列 設(shè)公差為d 由題意得解得d 1或d 0 舍 a1 2 所以an 2 n 1 1 n 1 2 由 1 知Sn 所以bn 所以Tn b1 b2 bn 2 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a2 8 S4 40 數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為Tn 且Tn 2bn 3 0 n N 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號 1 求數(shù)列 an bn 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)cn 求數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和Pn 解析 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由題意 得解得所以an 4n 因?yàn)門n 2bn 3 0 所以當(dāng)n 1時 b1 3 當(dāng)n 2時 Tn 1 2bn 1 3 0 兩式相減 得bn 2bn 1 n 2 則數(shù)列 bn 為等比數(shù)列 所以bn 3 2n 1 2 cn 當(dāng)n為偶數(shù)時 Pn a1 a3 an 1 b2 b4 bn 2n 1 n2 2 當(dāng)n為奇數(shù)時 方法一 n 1為偶數(shù) Pn Pn 1 cn 2 n 1 1 n 1 2 2 4n 2n n2 2n 1 方法二 Pn a1 a3 an 2 an b2 b4 bn 1 2n n2 2n 1 所以Pn 加練備選 1 已知數(shù)列 an 中 a1 3 a2 5 且 an 1 是等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 若bn nan 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 解析 1 因?yàn)?an 1 是等比數(shù)列且a1 1 2 a2 1 4 所以 2 所以an 1 2 2n 1 2n 所以an 2n 1 2 因?yàn)閎n nan n 2n n 所以Tn b1 b2 b3 bn 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 令T 2 2 22 3 23 n 2n 則2T 22 2 23 3 24 n 2n 1 兩式相減 得 T 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1 所以T 2 1 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 因?yàn)? 2 3 n 所以Tn n 1 2n 1 2 2018 開封一模 已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an 滿足a3a9 4 a2 1 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 記bn 2nan 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Sn 解析 1 正項(xiàng)等比數(shù)列 an 滿足a3a9 4 a2 1 則解得a1 q 2 所以an 2n 2 2 由于an 2n 2 則bn 2n 2n 2 n 2n 1 所以Sn 1 20 2 21 n 2n 1 則 2Sn 1 21 2 22 n 2n 得 Sn 2n 1 n 2n 所以Sn n 2n 2n 1 n 1 2n 1 熱點(diǎn)考向三與數(shù)列相關(guān)的綜合問題考向剖析 考題形式主要為解答題 主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列與函數(shù) 解析幾何等知識的綜合問題 有時也與數(shù)列型不等式的證明 存在性問題相交匯 難度為中等或偏難 典例5 已知曲線C y 4x Cn y 4x n n N 從C上的點(diǎn)Qn作x軸的垂線 交Cn于點(diǎn)Pn 再從點(diǎn)Pn作y軸的垂線 交C于點(diǎn)Qn 1設(shè)x1 1 an xn 1 xn bn 1 求數(shù)列 xn 的通項(xiàng)公式 2 記cn 數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和為Tn 求證 T2n 1 3 若已知 2n 1 n N 記數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為An 數(shù)列 dn 的前n項(xiàng)和為Bn 試比較An與的大小 審題導(dǎo)引 1 要求 xn 的通項(xiàng)公式 就要找到xn與xn 1的關(guān)系 然后再找到xn和xn 1的關(guān)系 由點(diǎn)在線上即可找到突破口 2 要證T2n 1 先求出cn 利用放縮法求解 3 要比較An與的大小 先求出An和再作差求解 解析 1 依題意可知 點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)Pn xn yn 1 在曲線Cn上 點(diǎn)Qn 1 xn 1 yn 1 在曲線C上 所以有yn 1 即xn 1 xn n 所以xn xn 1 n 1 xn 2 x1 1 2 1 2 因?yàn)辄c(diǎn)Qn xn yn 在曲線C上 所以yn 所以bn 4n 所以cn 所以所以當(dāng)n 2時 所以當(dāng)n 2時 T2n 1 c1 c2 c2n 1當(dāng)n 1時 T2n 1 T1 c1 所以T2n 1 3 因?yàn)閍n xn 1 xn n 所以An 由 2n 1知 2n 3 n 2且n N 兩式相減得即dn 2n 1 d1 2不適合上式 所以dn 于是Bn d1 d2 d3 dn 2 23 24 2n 1 2 22 23 24 2n 1 4 4 2n 2 6 所以 2n 2 當(dāng)n 1 2時 當(dāng)n 3時 當(dāng)n 4時 2n 2 所以當(dāng)n 4時 An 綜上所述 當(dāng)n 2時 An 當(dāng)n 3時 An 當(dāng)n 4時 An 名師點(diǎn)睛 數(shù)列與函數(shù)的綜合一般體現(xiàn)在兩個方面 1 形的角度 以數(shù)列的特征量n an Sn等為坐標(biāo)的點(diǎn)在函數(shù)圖象上 可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系 2 數(shù)的角度 數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù) 然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題 考向精煉 1 已知等差數(shù)列 an 的公差d 0 且a2 a5 1 a10成等比數(shù)列 若a1 5 Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則的最小值為 解析 由于a2 a5 1 a10成等比數(shù)列 所以 a5 1 2 a2 a10 即a1 5 解得d 3 負(fù)值舍去 所以an 3n 2 Sn 所以答案 2 已知定義域?yàn)?0 的函數(shù)f x 滿足f x 2f x 2 當(dāng)x 0 2 時 f x 2x2 4x 設(shè)f x 在 2n 2 2n 上的最大值為an n N 且數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則Sn 解析 因?yàn)槎x在 0 上的函數(shù)f x 滿足f x 2f x 2 所以f x 2 f x 所以f x 4 f x 2 f x f x 6 f x 4 f x f x 2n f x 設(shè)x 2n 2 2n 則x 2n 2 0 2 因?yàn)楫?dāng)x 0 2 時 f x 2x2 4x 所以f x 2n 2 2 x 2n 2 2 4 x 2n 2 所以f x 2 x 2n 1 2 2 所以f x 21 n 2 x 2n 1 2 2 x 2n 2 2n 所以x 2n 1時 f x 的最大值為22 n 所以an 22 n 所以 an 表示以2為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 所以 an 的前n項(xiàng)和為Sn 答案 4 加練備選 1 2017 全國卷 幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召 開發(fā)了一款應(yīng)用軟件 為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 他們推出了 解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼 的活動 這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案 已知數(shù)列1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一項(xiàng)是20 接下 來的兩項(xiàng)是20 21 再接下來的三項(xiàng)是20 21 22 依此類推 求滿足如下條件的最小整數(shù)N N 100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪 那么該款軟件的激活碼是 A 440B 330C 220D 110 解析 選A 由題意得 數(shù)列如下 1 1 2 1 2 4 1 2 4 2k 1 則該數(shù)列的前1 2 k 項(xiàng)和為 1 1 2 1 2 2k 1 2k 1 k 2 要使 100 有k 14 此時k 2 2k 1 所以k 2是之后的等比數(shù)列1 2 2k的部分和 即k 2 1 2 2t 1 2t 1 所以k 2t 3 14 則t 5 此時k 25 3 29 對應(yīng)滿足的最小條件為N 5 440 故選A 2 2017 普陀區(qū)二模 已知數(shù)列 an n N 若 an an 1 為等比數(shù)列 則稱 an 具有性質(zhì)P 1 若數(shù)列 an 具有性質(zhì)P 且a1 a2 1 a3 3 求a4 a5的值 2 若bn 2n 1 n 求證 數(shù)列 bn 具有性質(zhì)P 3 設(shè)c1 c2 cn n2 n 數(shù)列 dn 具有性質(zhì)P 其中d1 1 d3 d2 c1 d2 d3 c2 若dn 102 求正整數(shù)n的取值范圍 解析 1 an an 1 為等比數(shù)列 因?yàn)閍1 a2 1 a3 3 所以a1 a2 1 1 2 a2 a3 1 3 4 所以 an an 1 的公比為2 所以an an 1 2n 所以a3 a4 23 8 即a4 5 所以a4 a5 24 16 即a5 11 2 因?yàn)閎n 2n 1 n 所以bn bn 1 2n 1 n 2n 1 1 n 1 3 2n 所以 bn bn 1 是公比為2的等比數(shù)列 所以數(shù)列 bn 具有性質(zhì)P 3 因?yàn)閏1 c2 cn n2 n 所以c1 c2 cn 1 n 1 2 n 1 n 2 所以cn 2n n 2 又c1 1 1 2滿足上式 所以cn 2n 因?yàn)閐1 1 d3 d2 c1 2 d2 d3 c2 4 所以d2 1 d3 3 因?yàn)閿?shù)列 dn 具有性質(zhì)P 由 1 可得 dn dn 1 2n 所以d4 5 d5 11 d6 21 d7 43 d8 85 d9 171 因?yàn)閐n 102 所以正整數(shù)n的取值范圍是 9