2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 文.ppt

第六章數(shù)列 高考文數(shù) 6 2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 知識清單 考點(diǎn)一等差數(shù)列及其性質(zhì)1 等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差 公差通常用字母d表示 2 等差中項(xiàng)如果A 那么A叫做a與b的等差中項(xiàng) 3 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 1 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則an am n m d n m N 2 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則 a2n 也是等差數(shù)列 公差為2d 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則ak ak m ak 2m k m N 組成公差為md的等差數(shù)列 4 若 an 是等差數(shù)列 m n p q N 且m n p q 則am an ap aq 考點(diǎn)二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式1 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公差為d 那么它的通項(xiàng)公式是an a1 n 1 d 2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 則其前n項(xiàng)和Sn 或Sn na1 d 3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn n2 n 非零數(shù)列 an 是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和Sn f n 是關(guān)于n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng) 即Sn An2 Bn A2 B2 0 4 在等差數(shù)列 an 中 若a1 0 d0 則Sn存在最小值 5 與等差數(shù)列各項(xiàng)的和有關(guān)的性質(zhì) 1 若 an 是等差數(shù)列 則也是等差數(shù)列 其首項(xiàng)與 an 的首項(xiàng)相同 公差是 an 公差的 2 Sm S2m S3m分別為等差數(shù)列 an 的前m項(xiàng) 前2m項(xiàng) 前3m項(xiàng)的和 則Sm S2m Sm S3m S2m成等差數(shù)列 3 關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n 則S偶 S奇 nd 若項(xiàng)數(shù)為2n 1 則S偶 n 1 an S奇 nan S奇 S偶 an 等差數(shù)列的基本運(yùn)算技巧等差數(shù)列 an 中一共涉及五個基本量 即首項(xiàng)a1 第n項(xiàng)an 項(xiàng)數(shù)n 公差d以及前n項(xiàng)和Sn 在a1 an n d Sn中 只要知道其中三個 其他兩個就能求 簡稱 知三求二 其中a1與d是兩個最基本的量 往往用它們表示其他的量列出方程 組 進(jìn)行求解 例1 1 2017江西紅色七校第一次聯(lián)考 4 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若2a7 5 a9 則S9的值為 C A 27B 36C 45D 54 2 2016湖北七校2月聯(lián)考 16 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列 其前n項(xiàng)和為Sn 若Sk 2 4 k 2 Sk 0 Sk 2 8 則k 方法技巧 解題導(dǎo)引 1 設(shè)公差為d將an a1 n 1 d代入2a7 5 a9求a5將a5代入S9得結(jié)論 2 由Sk 2 Sk和Sk Sk 2 k 2 找關(guān)系式求出公差d用含k和n的式子表示出an代入ak 1 ak 4 k 2 結(jié)論 解析 1 設(shè) an 的公差為d 因?yàn)?a7 5 a9 所以2 a1 6d 5 a1 8d 即a5 a1 4d 5 所以S9 9a5 45 故選C 2 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 由題意 得Sk 2 Sk ak 1 ak 2 8 Sk Sk 2 ak 1 ak 4 k 2 兩式相減 得4d 4 即d 1 由Sk ka1 0 得a1 an n 1 則由ak 1 ak 4 k 2 得 k 1 2k 3 k 2 4 解得k 6 經(jīng)驗(yàn)證 符合題意 答案 2 6 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用策略1 有窮等差數(shù)列中 與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)的和相等 并且等于首末兩項(xiàng)之和 特別地 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 則首末兩項(xiàng)之和等于中間項(xiàng)的2倍 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 2 2 若m n p k N 且m n p k 則am an ap ak 其中am an ap ak是等差數(shù)列中的項(xiàng) 特別地 當(dāng)m n 2p時(shí) 有am an 2ap 3 在等差數(shù)列中 每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列 構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列 但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列 4 等差數(shù)列中連續(xù)幾項(xiàng)之和構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列 5 若數(shù)列 an 與 bn 均為等差數(shù)列 則 man kbn 仍為等差數(shù)列 其中m k均 為常數(shù) 且 an bn 的項(xiàng)數(shù)相同 6 項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列 an 中 S2n n a1 a2n n an an 1 an與an 1為中間的兩項(xiàng) 7 等差數(shù)列 an 中 若an m am n m n 則am n 0 若Sn m Sm n m n 則Sm n m n 若Sn Sm m n 則Sm n 0 例2 2015課標(biāo) 5 5分 設(shè)Sn是等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 若a1 a3 a5 3 則S5 A A 5B 7C 9D 11 解題導(dǎo)引a1 a3 a5 3a3 3a3 1S5 5a3 5 解析 an 為等差數(shù)列 a1 a5 2a3 3a3 3 則a3 1 S5 5a3 5 故選A 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的求解方法1 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng) 進(jìn)而求得和的最值 2 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn An2 Bn A B為常數(shù)且A不為零 為二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 注意 只有當(dāng)a1 0 d0時(shí) 無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和才有最小值 其最小值是所有非正項(xiàng)的和 例3 2017湖南衡陽八中 長郡中學(xué)等十三校二模 6 等差數(shù)列 an 的公差d 0 且a3 a5 a15成等比數(shù)列 若a5 5 Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則數(shù)列的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n為 B A 3B 3或4C 4或5D 5 解析由題意知由d 0 解得a1 3 d 2 3 n 1 n 4 由n 4 0 得n 4 數(shù)列的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n為3或4 故選B 解題導(dǎo)引由基本量a1和d及 a3 a15 a5 5 求a1和公差d得出的表達(dá)式由 0得n的取值范圍結(jié)論