2019高考數學一輪復習 第四章 三角函數 4.2 三角函數的圖象及性質課件 文.ppt

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第四章三角函數 高考文數 4 2三角函數的圖象及性質 知識清單 考點一三角函數的圖象及性質 考點二三角函數的圖象及其變換1 用五點法畫y Asin x 一個周期內的簡圖用五點法畫y Asin x 一個周期內的簡圖時 要找五個關鍵點 如下表所示 2 由函數y sinx的圖象變換得到y(tǒng) Asin x A 0 0 圖象的步驟上述兩種變換的區(qū)別 先相位變換再周期變換 伸縮變換 平移的量是 個單位 而先周期變換 伸縮變換 再相位變換 平移的量是 0 個單位 原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言的 知識拓展三角函數的綜合應用1 三角函數y Asin x y Acos x 的定義域為R y Atan x 的定義域為 2 函數y Asin x y Acos x 的最大值為 A 最小值為 A 函數y Atan x 的值域為R 3 函數y Asin x 圖象的對稱軸為x k Z 對稱中心為 k Z 函數y Acos x 圖象的對稱軸為x k Z 對 稱中心為 k Z 函數y Atan x 圖象的對稱中心為 k Z 4 函數y Asin x y Acos x 的圖象與x軸的交點都為對稱中心 過波峰 波谷且垂直于x軸的直線都為對稱軸 5 函數y Atan x 的圖象與x軸的交點和漸近線與x軸的交點都為對稱中心 無對稱軸 6 求三角函數最值常見的函數形式 1 y asinx bcosx sin x 其中cos sin 2 y asin2x bcos2x a b 0 y Asin2x Bcos2x sin 2x 其中tan 再利用有界性處理 3 y asin2x bcosx c a 0 可轉化為關于cosx的二次函數式 4 y asinx a b c 0 令sinx t 則轉化為求y at 1 t 1 且t 0 的最值 一般可結合圖象求解 5 y a sinx cosx bsinx cosx c型常用換元法 令t sinx cosx t 則sinxcosx 把三角問題轉化為代數問題求解 注意新元的取值范圍 由圖象確定三角函數解析式的方法確定解析式y(tǒng) Asin x B A 0 0 的步驟和方法 1 求A B 先確定函數的最大值M和最小值m 則A B 2 求 確定函數的最小正周期T 則 3 求 的常用方法 代入法 把圖象上的一個已知點的坐標代入 此時A B可知 或代入圖象與直線y B的交點坐標求解 此時要注意交點的橫坐標是在遞增區(qū)間上 還是在遞減區(qū)間上 五點法 確定 的值時 往往以尋找 五點法 中的第一個點為突破口 具體步驟如下 選 第一個點 即圖象上升時與直線y B的交點 時 方法技巧 令 x 0 選 第二個點 即圖象的 峰點 時 令 x 選 第三個點 即圖象下降時與直線y B的交點 時 令 x 選 第四個點 即圖象的 谷點 時 令 x 選 第五個點 時 令 x 2 例1 2016課標全國 3 5分 函數y Asin x 的部分圖象如圖所示 則 A A y 2sinB y 2sinC y 2sinD y 2sin 解題導引由圖象的最高點與最低點得A由圖象得周期T 確定 值利用代入法求出 值寫出函數解析式 解析由題圖可知A 2 則T 所以 2 則y 2sin 2x 因為題圖經過點 所以2sin 2 所以 2k k Z 即 2k k Z 當k 0時 所以y 2sin 故選A 三角函數周期和對稱軸 對稱中心 的求解方法1 三角函數周期的求解方法 定義法 公式法 函數y Asin x y Acos x 的最小正周期T 函數y Atan x 的最小正周期T 圖象法 對于含有絕對值符號的三角函數的周期可畫出函數的圖象 從而觀察出周期大小 轉化法 對于較為復雜的三角函數 可通過恒等變換將其轉化為y Asin x B 或y Acos x B或y Atan x B 的類型 再利用公式法求得 2 三角函數圖象的對稱軸和對稱中心的求解方法 熟記以下各函數圖象的對稱軸與對稱中心 y sinx圖象的對稱軸為x k k Z 對稱中心為 k 0 k Z y cosx圖象的對稱軸為x k k Z 對稱中心為 k Z y tanx圖象的對稱中心為 k Z 無對稱軸 利用整體代換思想求解函數y Asin x 圖象的對稱軸和對稱中心 令 x k k Z 解得x k Z 即為對稱軸方程 令 x k k Z 解得x k Z 即為對稱中心的橫坐標 縱坐標為0 例2 2017山東 7 5分 函數y sin2x cos2x的最小正周期為 C A B C D 2 解題導引利用輔助角公式化為同名三角函數利用T 得出最小正周期 解析y sin2x cos2x 2sin 從而最小正周期T 例3 2018河南中原名校聯(lián)考 6 將函數f x sin的圖象向右平移個單位后得到函數g x 的圖象 則 A A g x 在上單調遞減 為奇函數B g x 在上單調遞增 為偶函數C g x 的周期為 圖象關于點對稱D g x 的最大值為1 圖象關于直線x 對稱 解題導引由f x 的解析式根據平移法則求出g x 的解析式逐項進行判斷得出正確結論 解析由題意得g x sin sin 2x sin2x 對于選項A 當x 時 2x 滿足g x 單調遞減 顯然g x 是奇函數 故A正確 對于選項B 由于g x 的周期為 且為奇函數 故B錯誤 對于選項C g x 的周期為 而g 0 故g x 的圖象不關于點對稱 C錯誤 對于選項D g x 的最大值為1 而g 0 因此圖象不關于直線x 對稱 故D錯誤 由此可知選A 三角函數的單調性與最值 值域 的求解方法1 求函數y Asin x 或y Acos x 或y Atan x 的單調區(qū)間時 一般先將x的系數化為正值 通過誘導公式轉化 再把 x 視為一個整體 結合基本初等函數y sinx 或y cosx或y tanx 的單調性找到 x 在x R上滿足的條件 通過解不等式求得單調區(qū)間 2 三角函數的最值和值域問題一般有兩種類型 形如y asinx b a 0 或y acosx b a 0 的函數的最值或值域問題 利用正 余弦函數的有界性 1 sinx 1 1 cosx 1 求解 求三角函數取最值時相應自變量x的集合時 要注意考慮三角函數的周期性 形如y asin2x bsinx c x D a 0 或y acos2x bcosx c x D a 0 的函數的最值或值域問題 通過換元 令t sinx 或t cosx 將原函數化為關于t的二次函數 利用配方法求其最值或值域 求解過程中要注意t的范圍 例4 1 2017課標全國 6 5分 函數f x sin cos的最大值為 A A B 1C D 2 2017安徽二模 6 函數f x cos 0 的最小正周期是 則其圖象向右平移個單位后對應函數的單調遞減區(qū)間是 B A k Z B k Z C k Z D k Z 解題導引 1 利用兩角和與差的正余弦公式將f x 化成同名三角函數利用函數的有界性得其最大值 2 由最小正周期是 得 的值利用平移法則得平移后的解析式利用換元思想及三角函數的單調性求函數的單調遞減區(qū)間 解析 1 f x sin cos cosx sinx sinx cosx 2sin sin f x 的最大值為 故選A 2 由函數f x cos 0 的最小正周期是 得 解得 2 則 f x cos 將其圖象向右平移個單位后 對應函數的解析式為y cos cos sin2x 由 2k 2x 2k k Z 解得所求單調遞減區(qū)間為 k Z 故選B 例5 2015重慶 18 13分 已知函數f x sin2x cos2x 1 求f x 的最小正周期和最小值 2 將函數f x 的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍 縱坐標不變 得到函數g x 的圖象 當x 時 求g x 的值域 解題導引 1 通過三角變換將f x 化為Asin x B的形式由公式T 求其最小正周期利用三角函數的有界性求其最小值 2 求得函數g x 的解析式由自變量x的范圍及三角函數的性質求出g x 的值域