高考數(shù)學 小專題復習課（三）數(shù)列、不等式、推理與證明課件 理 新人教A版

小專題復習課（三）數(shù)列、不等式、推理與證明 熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報熱點一：熱點一：等差數(shù)列與等比等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本計算數(shù)列的基本計算 1.1.主要考查利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通主要考查利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前項公式、前n n項和公式進行基本運算，考項和公式進行基本運算，考查解方程查解方程( (組組) )思想方法的應用思想方法的應用2.2.試題以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難試題以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中低檔度中低檔 熱點二：熱點二：等差數(shù)列與等比等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及應數(shù)列的性質(zhì)及應用用1.1.主要考查利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性主要考查利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)的計算問題質(zhì)解決有關(guān)的計算問題2.2.試題為選擇題、填空題，命題角度新穎、試題為選擇題、填空題，命題角度新穎、靈活，經(jīng)常與其他知識交匯在一起，難度靈活，經(jīng)常與其他知識交匯在一起，難度中等中等 熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報熱點三：熱點三：數(shù)列的通項與求數(shù)列的通項與求和問題和問題 1.1.主要考查利用累加法、累乘法、構(gòu)造法主要考查利用累加法、累乘法、構(gòu)造法等求數(shù)列的通項公式以及利用公式法、錯等求數(shù)列的通項公式以及利用公式法、錯位相減法、裂項求和法、分組轉(zhuǎn)化法等求位相減法、裂項求和法、分組轉(zhuǎn)化法等求數(shù)列的前數(shù)列的前n n項和項和2.2.試題主要以解答題的形式出現(xiàn)，考查學試題主要以解答題的形式出現(xiàn)，考查學生的運算能力，難度中等生的運算能力，難度中等 熱點四：熱點四：一元二次不等式一元二次不等式的解法的解法 1.1.主要考查一元二次不等式的解法，多與主要考查一元二次不等式的解法，多與集合運算、求函數(shù)定義域、用導數(shù)求單調(diào)集合運算、求函數(shù)定義域、用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間等融合在一起命題區(qū)間等融合在一起命題2.試題一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，試題一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題難度不大，屬于基礎(chǔ)題 熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報熱點五：熱點五：平面區(qū)域與線性平面區(qū)域與線性規(guī)劃問題規(guī)劃問題1.1.一是考查平面區(qū)域，多與判斷區(qū)域形狀、一是考查平面區(qū)域，多與判斷區(qū)域形狀、面積計算、幾何概型求解、函數(shù)圖象應用面積計算、幾何概型求解、函數(shù)圖象應用等交匯在一起，題目靈活多變；二是考查等交匯在一起，題目靈活多變；二是考查線性規(guī)劃問題，多為線性目標函數(shù)，還會線性規(guī)劃問題，多為線性目標函數(shù)，還會涉及距離、斜率等非線性模型，有時還可涉及距離、斜率等非線性模型，有時還可與平面向量聯(lián)系與平面向量聯(lián)系2.2.該考點試題主要是選擇題、填空題，以該考點試題主要是選擇題、填空題，以考查基礎(chǔ)知識為主，難度為中低檔考查基礎(chǔ)知識為主，難度為中低檔 熱熱 點點 聚聚 焦焦考考 情情 播播 報報熱點六：熱點六：基本不等式的應基本不等式的應用用1.1.通常有兩種考查形式：一是與命題真假通常有兩種考查形式：一是與命題真假判斷、充分必要條件判斷等交匯在一起，判斷、充分必要條件判斷等交匯在一起，考查對基本不等式成立條件的理解；二是考查對基本不等式成立條件的理解；二是考查用基本不等式求最值，求取值范圍，考查用基本不等式求最值，求取值范圍，求解恒成立問題等求解恒成立問題等2.2.試題多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，主試題多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，主要考查學生靈活運用知識的能力，屬于中要考查學生靈活運用知識的能力，屬于中低檔試題低檔試題 熱點七：熱點七：歸納推理與類比歸納推理與類比推理推理 1. 1. 以考查歸納推理為主，兼考查類比推以考查歸納推理為主，兼考查類比推理，通常是根據(jù)已有結(jié)論推得一般結(jié)論理，通常是根據(jù)已有結(jié)論推得一般結(jié)論2.2.試題以選擇題、填空題為主，考查學生試題以選擇題、填空題為主，考查學生觀察、分析、歸納問題的能力，屬于基礎(chǔ)觀察、分析、歸納問題的能力，屬于基礎(chǔ)題題【熱點一【熱點一】等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本計算等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本計算1.(20131.(2013?？谀M?？谀M) )若數(shù)列若數(shù)列aan n 是等差數(shù)列，且是等差數(shù)列，且a a6 6=-2 013,=-2 013,a a1313=-2 013,S=-2 013,Sn n是是aan n 的前的前n n項和，則項和，則S Sn n( )( )(A)(A)必大于零必大于零(B)(B)必小于零必小于零(C)(C)必等于零必等于零(D)(D)無法確定與零的大小關(guān)系無法確定與零的大小關(guān)系【解析【解析】選選B.B.由已知可得該等差數(shù)列的公差為由已知可得該等差數(shù)列的公差為0 0，是常數(shù)列，是常數(shù)列，故故S Sn n=-2 013n,=-2 013n,必有必有S Sn n0.00，因此，因此q q454500，從而，從而q0q0，即即正確正確. .其余命題均錯誤，如當其余命題均錯誤，如當a a1 1=- ,q=1=- ,q=1時滿足題意，時滿足題意，但數(shù)列但數(shù)列aan n 的各項全為負數(shù)，故的各項全為負數(shù)，故和和均錯；當均錯；當a a1 1= ,q=1= ,q=1時滿足題意，故時滿足題意，故錯誤錯誤. .答案答案: :22【熱點二【熱點二】等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及應用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及應用1.1.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列aan n 中，中， 則下列結(jié)論中則下列結(jié)論中正確的是正確的是( )( )(A)(A)數(shù)列數(shù)列aan n 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列(B)(B)數(shù)列數(shù)列aan n 是遞減數(shù)列是遞減數(shù)列(C)(C)數(shù)列數(shù)列aan n 是常數(shù)列是常數(shù)列(D)(D)數(shù)列數(shù)列aan n 有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列486aa2a ，【解析【解析】選選C.C.因為因為aan n 各項均為正數(shù)，所以各項均為正數(shù)，所以 因此因此 而已知而已知 所以只能有所以只能有a a4 4+a+a8 8=2a=2a6 6，這時，這時a a4 4=a=a8 8，數(shù)列，數(shù)列aan n 是常數(shù)列是常數(shù)列. .4848aa2 a a2662 a2a，486aa2a ，486aa2a ，2.(20132.(2013珠海模擬珠海模擬) )已知各項均不為零的等差數(shù)列已知各項均不為零的等差數(shù)列aan n 滿足：滿足： 數(shù)列數(shù)列bbn n 是各項均為正值的等比數(shù)列，且是各項均為正值的等比數(shù)列，且b b7 7=a=a7 7, ,則則 等于等于( )( )(A) (B)- (C)(A) (B)- (C) (D) (D) 【解析【解析】選選A.A.由由 可得可得所以所以 于是于是b b7 7= .= .于是于是22712aaa0,66410tan( b b )3333322712aaa0,66272127a(aa )2a,667a3，34107tan( b b )tan btan3.33.(20133.(2013聊城模擬聊城模擬) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為2 2，項數(shù)是偶，項數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項之和為數(shù)，所有奇數(shù)項之和為1515，所有偶數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為3535，則這個數(shù)列，則這個數(shù)列的項數(shù)為的項數(shù)為_._.【解析【解析】設項數(shù)為設項數(shù)為n n，依題意有，依題意有35-15= 35-15= 2,2,解得解得n=20.n=20.答案答案: :2020n2【熱點三熱點三】數(shù)列的通項與求和問題數(shù)列的通項與求和問題1.(20131.(2013廈門模擬廈門模擬) )已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=3,a=3,an+1n+1-6a-6an n=3=3n+1n+1(nN(nN* *),),則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為( )( )(A)a(A)an n=6=6n n-3-3n n (B)a(B)an n=6=6n n(C)a(C)an n=3=3n n (D)a(D)an n=6=6n-1n-1-3-3n-1n-1【解析解析】選選A.A.由已知可得由已知可得即即 即數(shù)列即數(shù)列 是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，其首項為其首項為 , ,公比為公比為2,2,所以所以 =2=22 2n-1n-1=2=2n n，故，故a an n=6=6n n-3-3n n. .n 1nn 1naa2133 ，n 1nn 1naa12(1),33 nna133123 nna132.2.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 是首項為是首項為2 2，公差為，公差為1 1的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，bbn n 是首項是首項為為1 1，公比為，公比為2 2的等比數(shù)列，則數(shù)列的等比數(shù)列，則數(shù)列 的前的前1010項的和等項的和等于于( )( )(A)511 (B)512 (C)1 023 (D)1 013(A)511 (B)512 (C)1 023 (D)1 013【解析【解析】選選D.D.依題意可得依題意可得a an n=2+(n-1)=2+(n-1)1=n+1,1=n+1,b bn n=1=12 2n-1n-1=2=2n-1n-1, ,于是于是 =2=2n-1n-1+1, =2+1, =2n+1-1n+1-1=2=2n n, ,因此因此 =2 =2n n-(2-(2n-1n-1+1)=2+1)=2n-1n-1-1,-1,其前其前1010項之和為項之和為nnabba nbanabnnabba101012S101 013.123.3.已知已知S Sn n是數(shù)列是數(shù)列aan n 的前的前n n項和，項和，a an n0,0,且且(1)(1)求證：求證：aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .(2)(2)若數(shù)列若數(shù)列bbn n 滿足滿足b b1 1=2,b=2,bn+1n+1= = 求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的通項公式的通項公式b bn n. .2nnnaaS(nN*).2nan2b，【解析【解析】(1)(1)由由 知，知，當當n=1n=1時，時， ，所以，所以a a1 1=1=1或或a a1 1=0(=0(舍去舍去).). - -得：得：所以所以(a(an n+a+an-1n-1)(a)(an n-a-an-1n-1-1)=0.-1)=0.又因為又因為a an n0,0,所以所以a an n-a-an-1n-1=1,=1,所以所以aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .2nnnaaS221112aaa2n 1n 1n 1aaS222nn 1nn 1aaaa0,2*nnnaaS(nN )2(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=1+(n-1)=1+(n-1)1=n,1=n,因此因此b bn+1n+1=2=2n n+b+bn n, ,于是于是b b2 2-b-b1 1=2,b=2,b3 3-b-b2 2=2=22 2, ,b,bn n-b-bn-1n-1=2=2n-1n-1, ,以上各式相加得：以上各式相加得：b bn n-b-b1 1=2+2=2+22 2+ +2+2n-1n-1= =故故b bn n=2=2n n. .n 12(12),12【熱點四【熱點四】一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法1.1.已知函數(shù)已知函數(shù) 圖象經(jīng)過點圖象經(jīng)過點(-1, )(-1, )，則函數(shù)的，則函數(shù)的定義域為定義域為( )( )(A)(-,- (A)(-,- 2,+)2,+)(B)(-,-2(B)(-,-2 ,+),+)(C)(C)- ,2- ,2(D)(D)-2, -2, 2f x2x3xa ，312121212【解析【解析】選選A.A.由已知可得由已知可得f(-1)= f(-1)= ，即，即 所以所以a=a=-2-2，即，即 要使函數(shù)有意義，應滿足要使函數(shù)有意義，應滿足2x2x2 2-3x-20-3x-20，解得，解得x- x- 或或x2.x2.35a3，2f(x)2x3x2.122.2.已知函數(shù)已知函數(shù) 則不等式則不等式f(x)xf(x)x2 2的解集是的解集是( )( )(A)(A)-1-1，1 1 (B)(B)-2-2，2 2(C)(C)-2-2，1 1 (D)(D)-1-1，2 2【解析【解析】選選A.A.由由 得得-1x0;-1x0;由由 得得0 x100-kx+k-10對對x(1,2)x(1,2)恒成立，恒成立，則實數(shù)則實數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍是_._.【解析【解析】不等式可化為不等式可化為x x2 2-1k(x-1),-1k(x-1),由于由于x(1,2)x(1,2)，所以，所以x-x-10,10,于是于是x+1kx+1k，當，當x(1,2)x(1,2)時，時，x+1(2,3)x+1(2,3)，因此，因此k k的取值范的取值范圍是圍是k2.k2.答案答案: :k2k2 【熱點五【熱點五】平面區(qū)域與線性規(guī)劃問題平面區(qū)域與線性規(guī)劃問題1.1.已知變量已知變量x,yx,y滿足約束條件滿足約束條件 則則z=3x+yz=3x+y的最小值的最小值為為( )( )(A)12 (B)11 (C)8 (D)-1(A)12 (B)11 (C)8 (D)-1x2,xy4,xy1,【解析【解析】選選C.C.畫出可行域畫出可行域( (如圖如圖) )，而，而y=-3x+z,y=-3x+z,所以當直線所以當直線y=y=-3x+z-3x+z經(jīng)過點經(jīng)過點A(2A(2，2)2)時，時，z z取最小值，最小值取最小值，最小值z=8.z=8.2.2.已知實數(shù)已知實數(shù)x x，y y滿足滿足 如果目標函數(shù)如果目標函數(shù)z zx xy y的最小的最小值為值為1 1，則實數(shù)，則實數(shù)m m等于等于( )( )(A)7 (B)5 (C)4 (D)3(A)7 (B)5 (C)4 (D)3y1y2x 1xym.，【解析【解析】選選B.B.畫出可行域如圖中陰影部分，由題意知，當畫出可行域如圖中陰影部分，由題意知，當(x(x，y)y)在點在點A A處時取得最小值處時取得最小值由由 得得因此因此 所以所以m m5.5.y2x 1yxm， ，m 1 2m 1A()33，m 12m 13313.3.如果直線如果直線2ax-by+14=0(a0,b0)2ax-by+14=0(a0,b0)和函數(shù)和函數(shù)f(xf(x)=m)=mx+1x+1+1(m0,+1(m0,m1)m1)的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓(x-a+1)(x-a+1)2 2+(y+b-2)+(y+b-2)2 2=25=25的內(nèi)部或圓上，那么的內(nèi)部或圓上，那么 的取值范圍是的取值范圍是_._.ba【解析【解析】函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=m)=mx+1x+1+1+1的圖象經(jīng)過定點的圖象經(jīng)過定點(-1,2)(-1,2)，所以直線，所以直線2ax-by+14=02ax-by+14=0也經(jīng)過點也經(jīng)過點(-1,2)(-1,2)，于是，于是-2a-2b+14=0-2a-2b+14=0，即，即a+ba+b=7.=7.又又點點(-1,2)(-1,2)在圓在圓(x-a+1)(x-a+1)2 2+(y+b-2)+(y+b-2)2 2=25=25的內(nèi)部或圓上，所以的內(nèi)部或圓上，所以a a2 2+b+b2 22525，故點，故點P(a,bP(a,b) )在直線在直線x+yx+y=7=7和圓和圓x x2 2+y+y2 2=25=25相交形成的相交形成的弦弦MNMN上，其中上，其中M(3,4),N(4,3)M(3,4),N(4,3)，而，而 表示點表示點P P與原點的斜率，所與原點的斜率，所以以答案答案: : baONOMb3b4kk.a4a3，即3 4,4 3【熱點六【熱點六】基本不等式的應用基本不等式的應用1.1.已知角已知角的終邊上有一點的終邊上有一點P(tP(t, )(t0), )(t0)，則，則tan tan 的最的最小值為小值為( )( )(A) (B)1 (C) (D)2(A) (B)1 (C) (D)2【解析【解析】選選B.B.依題意知依題意知 由于由于t0,t0,所以所以 當且僅當當且僅當 ，即，即t= t= 時，時，tan tan 取最小取最小值值1.1.21t412221t14tan tt4t ，11t2 t1,4t4t1t4t122.(20132.(2013溫州模擬溫州模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù) 有最大值有最大值-4-4，則，則a a的值為的值為( )( )(A)1 (B)-1 (C)4 (D)-4(A)1 (B)-1 (C)4 (D)-4【解析【解析】選選B.B.由于由于 當當 即即x=2x=2時，時， 取得最小值取得最小值4 4，而函數(shù)而函數(shù) 有最大值有最大值-4-4，所以，所以a=-1.a=-1.2axy(x1)x122x12 x11x1x12x1x1x112 (x1)24,x11x1x1 ，2xx12axy(x1)x13.“3.“蛟龍?zhí)栻札執(zhí)枴陛d人潛水器是我國首臺自主設計、自主集成研制載人潛水器是我國首臺自主設計、自主集成研制的作業(yè)型深海載人潛水器設計最大下潛深度為的作業(yè)型深海載人潛水器設計最大下潛深度為7 0007 000米米6 6月月2424日，日，“蛟龍?zhí)栻札執(zhí)枴陛d人潛水器載人潛水器7 0007 000米海試在西太平洋馬里亞米海試在西太平洋馬里亞納海溝進行了第四次下潛試驗納海溝進行了第四次下潛試驗“蛟龍?zhí)栻札執(zhí)枴比绻凑疹A計下潛如果按照預計下潛的深度的深度s(s(米米) )與時間與時間t(t(分鐘分鐘) )之間的關(guān)系滿足關(guān)系式為之間的關(guān)系滿足關(guān)系式為s=0.2ts=0.2t2 2- -14t+2 00014t+2 000，則平均速度的最小值是，則平均速度的最小值是_米米/ /分鐘分鐘【解析【解析】平均速度為平均速度為=2=220-14=26(20-14=26(米米/ /分鐘分鐘),),當且僅當當且僅當0.2t= 0.2t= ，即，即t=100t=100分鐘時，分鐘時，V(tV(t) )取得最小值取得最小值. .答案答案: :2626 2s0.2t14t2 000v ttt2 0002 0000.2t142 0.2t14tt2 000t【熱點七【熱點七】歸納推理與類比推理歸納推理與類比推理1.(20131.(2013合肥模擬合肥模擬) )已知已知x x，yZ,nNyZ,nN* *, ,設設f(nf(n) )是不等式組是不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)可行解的個數(shù)，表示的平面區(qū)域內(nèi)可行解的個數(shù)， 歸納推理歸納推理f(nf(n)=_.)=_.【解析【解析】當當n=1n=1時，時，f(1)=1f(1)=1；當；當n=2n=2時，時，f(2)=3f(2)=3；當；當n=3n=3時，時，f(3)=6f(3)=6；當；當n=4n=4時，時，f(4)=10f(4)=10；，歸納可得，歸納可得答案答案: : x10yxn ， n n1f n.2n n122. 2. 對于大于或等于對于大于或等于2 2的自然數(shù)的自然數(shù)m m的的3 3次方冪，作如下分解：次方冪，作如下分解：1 13 3=1,2=1,23 3=3+5=3+5，3 33 3=7+9+11=7+9+11，4 43 3=13+15+17+19=13+15+17+19， ，根據(jù)上述分解規(guī)律，若，根據(jù)上述分解規(guī)律，若m m3 3(mN(mN* *) )的分的分解式中最小的數(shù)是解式中最小的數(shù)是3131，則，則m m的值為的值為_._.【解析【解析】由給出的幾個分解式可得一般規(guī)律為：由給出的幾個分解式可得一般規(guī)律為：m m3 3(mN(mN* *) )的分的分解式中第解式中第1 1個數(shù)是個數(shù)是m(m-1)+1m(m-1)+1，令，令m(m-1)+1=31,m(m-1)+1=31,解得解得m=6.m=6.答案答案: :6 63.3.問題問題“求方程求方程3 3x x+4+4x x=5=5x x的解的解”有如下的思路：有如下的思路：方程方程3 3x x+4+4x x=5=5x x可變?yōu)榭勺優(yōu)榭疾楹瘮?shù)考查函數(shù) 可知，可知，f(2)=1f(2)=1，且函數(shù)，且函數(shù)f(xf(x) )在在R R上單上單調(diào)遞減，所以原方程有唯一解調(diào)遞減，所以原方程有唯一解x=2.x=2.類比上述解法，可得到不等式：類比上述解法，可得到不等式：x x6 6-(2x+3)(2x+3)-(2x+3)(2x+3)3 3-x-x2 2的解集是的解集是_._.xx34( )( )155 ， xx34f x( )( )55，【解析【解析】將不等式化為將不等式化為x x6 6+x+x2 2(2x+3)(2x+3)3 3+(2x+3).+(2x+3).構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f(xf(x)=x)=x3 3+x+x，顯然函數(shù)，顯然函數(shù)f(xf(x) )在在R R上單調(diào)遞增，而上單調(diào)遞增，而f(xf(x2 2)f(2x+3)f(2x+3)，所以，所以x x2 22x+32x+3，解得，解得x3x3或或x-1.x-1.答案答案: :(-,-1)(3,+)(-,-1)(3,+)