2019版中考數(shù)學(xué) 三角形分類(lèi)訓(xùn)練四 解直角三角形 魯教版.doc

2019版中考數(shù)學(xué) 三角形分類(lèi)訓(xùn)練四 解直角三角形 魯教版典例詮釋?zhuān)嚎键c(diǎn)一 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用例1 (xx大興一模)九章算術(shù)中記載：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”譯文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？如圖1-10-95，我們用線段OA和線段AB來(lái)表示竹子，其中線段AB表示竹子折斷部分，用線段OB表示竹梢觸地處離竹根的距離，則竹子折斷處離地面的高度OA是 尺. 圖1-10-95【答案】 【名師點(diǎn)評(píng)】 本題是以古代數(shù)學(xué)著作為背景，首先要讀懂題目，哪些線段是已知，哪些線段是未知：OB=3，OA+AB=10，求OA的長(zhǎng)，利用勾股定理即可得解.考點(diǎn)二 求三角函數(shù)值例2 (xx延慶一模)如圖1-10-96，在44的正方形網(wǎng)格中，tan 的值等于( )圖1-10-96 A.2B.C.D.【答案】 A【名師點(diǎn)評(píng)】求三角函數(shù)方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據(jù)已知條件采取靈活的計(jì)算方法常用的方法有：根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求值；直接應(yīng)用三角函數(shù)定義;借助變量之間的數(shù)量關(guān)系求值;根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求值;構(gòu)造直角三角形求值.例3 (xx懷柔二模)如圖1-10-97，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為度，AC=7米，則樹(shù)高BC為( )圖1-10-97A7sin 米B7cos 米C7tan 米D(7+)米【答案】 C【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查三角函數(shù)的定義和仰角的知識(shí)，已知A、AC，求BC，利用A的正切值即可.考點(diǎn)三 特殊三角函數(shù)值的計(jì)算例4 (xx懷柔一模)2sin 45【答案】 2 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是關(guān)鍵，另外要求我們熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值考點(diǎn)四 解直角三角形例5 如圖1-10-98，在ABC中，A=30，B=45，AC=2，求AB的長(zhǎng).圖1-10-98【答案】 3+【名師點(diǎn)評(píng)】 將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形是解決三角形中有關(guān)計(jì)算的重要思想方法，解決的方法是作三角形的高例6 (xx東城二模)如圖1-10-99，矩形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EFAM，垂足為F，交AD于點(diǎn)E(1)求證：BAM=AEF；(2)若AB=4，AD=6，cosBAM=，求DE的長(zhǎng).圖1-10-99 (1)【證明】 四邊形ABCD是矩形， B=BAD=90. EFAM， AFE=B=BAD=90. BAM+EAF=AEF+EAF=90. BAM=AEF.(2)【解】 在RtABM中，B=90，AB=4，cosBAM=， AM=5. F為AM中點(diǎn)， AF=. BAM=AEF， cosBAM=cosAEF=. sinAEF=.在RtAEF中，AFE=90，AF=，sinAEF=， AE=， DE=ADAE=6=. 【名師點(diǎn)評(píng)】 (1)通過(guò)“同角的余角相等”易證；(2)在ABM中，知AB和BAM的余弦值可以得到AM的長(zhǎng)，再利用相似或三角函數(shù)求AE的長(zhǎng)，從而求出DE的長(zhǎng).考點(diǎn)五 解直角三角形的應(yīng)用例7 (xx門(mén)頭溝一模)如圖1-10-100，A，B，C表示修建在一座山上的三個(gè)纜車(chē)站的位置，AB，BC表示連接纜車(chē)站的鋼纜已知A，B，C所處位置的海拔，分別為130米，400米，1 000米由點(diǎn) A測(cè)得點(diǎn)B的仰角為30，由點(diǎn)B測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45，那么AB和BC的總長(zhǎng)度是( )圖1-10-100A.1 200+270B.800+270C.540+600D.800+600【答案】 C基礎(chǔ)精練：1.(xx平谷一模)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意思是說(shuō)：“有一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈(1丈=10尺)的正方形水池，在水池正中央長(zhǎng)有一根蘆葦，蘆葦露出水面 1 尺如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？”如圖1-10-101，設(shè)這個(gè)水池的深度是x尺，根據(jù)題意，可列方程為 圖1-10-101【答案】 2.(xx順義一模)算法統(tǒng)綜是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大偉，在算法統(tǒng)綜有一道“蕩秋千”的問(wèn)題:“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步與人齊，五尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”如圖1-10-102，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程 .【答案】 圖1-10-102 3.如圖1-10-103，有兩棵樹(shù)，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹(shù)相距8米，一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行 米圖1-10-103【答案】 10 4.(xx通州一模)在我國(guó)古算書(shū)周髀算經(jīng)中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱(chēng)作商高定理. 如圖1-10-104是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理. 圖1-10-105是由圖1-10-104放入矩形內(nèi)得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為 . 圖1-10-104 圖1-10-105【答案】 110 6.(xx豐臺(tái)二模)如圖1-10-106所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡角是30，堤高BC= 5 m，則坡面AB的長(zhǎng)度是( )圖1-10-106A.10 m B.10 mC.15 m D.5 m【答案】 A7.(xx平谷二模)如圖1-10-107，為測(cè)量一棵與地面垂直的樹(shù)BC的高度，在距離樹(shù)的底端4米的A處，測(cè)得樹(shù)頂B的仰角=74，則樹(shù)BC的高度為( )圖1-10-107A.米B.4sin 74米C.4tan 74米D.4cos 74米【答案】 C8.(xx西城一模)某滑雪場(chǎng)舉辦冰雪嘉年華活動(dòng)，采用直升機(jī)航拍技術(shù)拍攝活動(dòng)盛況如圖1-10-108，通過(guò)直升機(jī)的鏡頭C觀測(cè)水平雪道一端A處的俯角為30，另一端B處的俯角為45若直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為300米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則雪道AB的長(zhǎng)度為( )圖1-10-108A300米B1 502米C900米D(300+300)米【答案】 D9.(xx順義二模)如圖1-10-109，為了使電線桿穩(wěn)固的垂直于地面，兩側(cè)常用拉緊的鋼絲繩索固定，由于鋼絲繩的交點(diǎn)E在電線桿的上三分之一處，所以知道BE的高度就可以知道電線桿AB的高度了要想得到BE的高度，需要測(cè)量出一些數(shù)據(jù)，然后通過(guò)計(jì)算得出.請(qǐng)你設(shè)計(jì)出要測(cè)量的對(duì)象： ；請(qǐng)你寫(xiě)出計(jì)算AB高度的思路： .圖1-10-109【解】 BCE和線段BC；思路：在RtBCE中，由tanBCE=，求出BE=BCtanBCE，由AE=AB，可求得BE=AB，AB=BE=BCtanBCE10.(xx延慶一模)如圖1-10-110，甲船在港口P的南偏西60方向，距港口86海里的A處，沿AP方向以每小時(shí)15海里的速度勻速駛向港口P乙船從港口P出發(fā)，沿南偏東45方向勻速駛離港口P，現(xiàn)兩船同時(shí)出發(fā)，2小時(shí)后乙船在甲船的正東方向求乙船的航行速度(結(jié)果精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732，2.236)圖1-10-110 【解】 依題意，設(shè)乙船速度為每小時(shí)x海里，2小時(shí)后甲船在點(diǎn)B處，乙船在點(diǎn)C處，PC=2x，如圖1-10-111,過(guò)P作PDBC于D， BP=86215=56.圖1-10-111在RtPDB中，PDB=90,BPD=60， PD=PBcos 60=28.在RtPDC中，PDC=90，DPC=45， PD=PCcos 45=2x=x， x=28，即x=1420答：乙船的航行速度為每小時(shí)20海里11.(xx通州二模)如圖1-10-112，在ABCD中，1=2，3=4，EFAD，請(qǐng)直接寫(xiě)出與AE相等的線段 (兩條即可)，寫(xiě)出滿足勾股定理的等式 .(一組即可)圖1-10-112【答案】 AD，DF 12.(xx平谷二模)已知：如圖1-10-113，ACB=90，AC=BC , AD = BE, CAD=CBE, (1)判斷DCE的形狀，并說(shuō)明你的理由；(2)當(dāng)BDCD=12，BDC=135時(shí)，求sinBED的值. 圖1-10-113 【解】 (1)如圖1-10-114.圖1-10-114 AC=BC,AD=BE,CAD=CBE, ADCBEC, DC=EC,1=2. 1+BCD=90， 2+BCD=90. DCE是等腰直角三角形.(2) DCE是等腰直角三角形， CDE=45. BDC=135， BDE=90. BDCD=12,設(shè)BD=x，則CD=2x，DE=2x，BE=3x. sinBED=.13.如圖1-10-115所示，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的O的圓心O在格點(diǎn)上，則AED的正切值等于 圖1-10-115【答案】 14.(xx豐臺(tái)二模)將兩個(gè)直角三角板按圖1-10-116中方式疊放，BC=4，那么BD= .圖1-10-116【答案】 215.(xx石景山一模)如圖1-10-117，在四邊形ABCD中，AB=2,A=C=60,DBAB于點(diǎn)B，DBC=45，求BC的長(zhǎng).圖1-10-117 【解】 如圖1-10-118,過(guò)點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E.圖1-10-118 DBAB,AB=2，A=60， BD=ABtan 60=2. DBC=45，DEBC， BE=DE=BDsin 45=. C=A=60，DEC=90， CE=， BC=+.16.(xx昌平一模)如圖1-10-119，已知：BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，ABBC，C=60，AB=1，BC=3+，CD=2.(1)求tanABD的值； (2)求AD的長(zhǎng).圖1-10-119【解】 (1)如圖1-10-120,作DEBC于點(diǎn)E. 在RtCDE中，C=60，CD=2， CE=,DE=3. BC=3+， BE=BCCE=3+=3. DE=BE=3. 在RtBDE中，EDB=EBD=45. ABBC，ABC=90， ABD=ABCEBD=45. tanABD=1.圖1-10-120 (2)如圖1-10-120,作AFBD于點(diǎn)F.在RtABF中，ABF=45,AB=1， BF=AF=. 在RtBDE中，DE=BE=3， BD=3. DF=BDBF=3=. 在RtAFD中，AD=.17.(xx西城一模)如圖1-10-121，在ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AEDC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DFEA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(1)求證：四邊形AEDF是矩形；(2)連接BD，若AB=AE=2，tanFAD=，求BD的長(zhǎng)圖1-10-121 (1)【證明】 四邊形ABCD是平行四邊形， ABDC，即AFED. DFEA, 四邊形AEDF是平行四邊形. AEDE， E=90， 四邊形AEDF是矩形.(2)【解】 如圖1-10-122.圖1-10-122 四邊形AEDF是矩形， FD=AE=2，F(xiàn)=90. 在RtAFD中，tanFAD=， AF=5. AB=2， BF=AB+AF=7. 在RtBFD中，BD=.真題演練：1.(xx北京)計(jì)算：+4sin 45+|1|.【答案】 2.(xx北京)如圖1-10-123，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，BAC90，CED45，DCE30，DE，BE2.求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積.圖1-10-123 【解】 如圖1-10-124,過(guò)點(diǎn)D作DHAC，圖1-10-124 CED=45，DHEC，DE=， EH=DH=1.又 DCE=30， HC=，DC=2. AEB=45，BAC=90，BE=2， AB=AE=2， AC=2+1+=3+， =2(3+)+1(3+)=.