數學第七章 解析幾何 第2講 兩直線的位置關系配套 理

第2講 兩直線的位置關系考綱要求考點分布考情風向標1.能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線互相平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離2012年新課標第13題考查導數的幾何意義與直線方程；2012年大綱第12題考查對稱的有關問題；2012年新課標第20題考查直線、圓與拋物線的綜合應用；2013年新課標第21題考查直 線、圓、橢圓的綜合應用；2015年新課標第12題考查函數圖象關于直線對稱求參數；2016年北京第5題、上海第3題考查點到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式1.求兩條直線的位置關系(特別是平行與垂直)的判定、兩點之間的距離、點到直線的距離、兩條平行線之間的距離是高考考查的重點，題型既有選擇題與填空題，又有解答題，難度屬于中低檔題.2.客觀題主要以考查基礎知識和基本能力為主，題目較易，主觀題主要在知識的交匯點處命題，全面考查基本概念和基本能力1.兩條直線的位置關系12.三個距離公式1.與直線 3x4y50，關于 x 軸對稱的直線方程為_；關于 y 軸對稱的直線方程為_；關于原點對稱的直線方程為_；關于直線 yx 對稱的直線方程為_；關于直線 yx 對稱的直線方程為_.3x4y503x4y503x4y503y4x504x3y502.(2016 年上海)已知平行直線l1：2xy10，l2：2xy 10，則 l1，l2 間的距離為_.3.(2016 年北京)圓(x1)2y2 2 的圓心到直線 yx3 的距離為()CA.1B.2C. D.解析：圓心坐標為(1,0)，由點到直線的距離公式可知 d|103| .故選 C.22 2224.已知 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，下面四個結論：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD.其中正確的有()CA.1 個B.2 個C.3 個D.4 個考點 1 兩直線的平行與垂直關系例 1：已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m 0，求 m 的值，使得： (1)l1與 l2 相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1與 l2 重合.解：(1)由已知 13m(m2)，即 m22m30，解得 m1，且 m3.故當m1，且m3時，l1與l2相交.(3) 當 13 m(m 2) ， 且 12m6(m 2) ， 或m2m36，即 m1 時，l1l2.(4)當 13m(m2)，且 12m6(m2)，即 m3 時，l1 與 l2 重合.【規(guī)律方法】(1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關鍵，對于斜率都存在且不重合的兩條直線 l1 和 l2，l1l2k1k2，l1l2k1k2 1.如果有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意.(2)設 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則 l1 l2A1A2B1B2 0.【互動探究】1.已知兩條直線 l1：xm2y60，l2 ：(m2)x3my2m0 ，當 m 為何值時，l1 與 l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：當 m0時，l1：x60，l2：x0，l1l2.當 m2 時， l1：x4y60，l2：3y20 ，l1 與 l2 相交.故(1)當 m1 且 m3 且 m0 時，l1 與 l2 相交.(2)當 m1 或 m0 時，l1l2.(3)當 m3 時，l1 與 l2 重合.考點 2 直線系中的過定點問題例 2：求證：不論 m 取什么實數，直線(m1)x(2m1)ym5 都通過一定點.證明：方法一，取 m1，得直線方程 y4；從而得兩條直線的交點為(9，4).又當 x9，y4 時，有 9(m1)(4)(2m1)m5，即點(9，4)在直線(m1)x(2m1)ym5 上.故直線(m1)x(2m1)ym5 都通過定點(9，4).方法二，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)(xy5)0.則直線(m1)x(2m1)ym5 都通過直線 x2y10與 xy50 的交點.直線(m1)x(2m1)ym5 通過定點(9，4).方法三，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)xy5.由 m 為任意實數知，關于 m 的一元一次方程 m(x2y1)xy5 的解集為 R，直線(m1)x(2m1)ym5 都通過定點(9，4).【規(guī)律方法】本題考查了方程思想在解題中的應用，構建方程組求解是解決本題的關鍵.很多學生不理解直線過定點的含義，找不到解決問題的切入點，從而無法下手.【互動探究】2.直線(2k1)x(k3)y(k11)0(kR)所經過的定點是( B )A.(5,2)B.(2,3)C.D.(5,9)解析：整理，得 k(2xy 1)(x 3y11) 0. 解方程組考點 3 對稱問題考向 1 中心對稱例 3：平面直角坐標系中直線 y2x1 關于點(1,1)對稱的直線方程是_.解析：方法一，在直線l上任取一點P(x，y)，其關于點(1,1)的對稱點 P(2x,2y)必在直線 y2x1 上， 2y2(2x)1，即 2xy30. 因此，直線 l 的方程為 y2x3.方法二，由題意，得直線 l 與直線 y2x1 平行，設直線 l 的方程為 2xyC0(C1)，則點(1,1)到兩平行線的距離相等.因此所求直線 l 的方程為 y2x3.方法三，在直線 y2x1 上任取兩個點 A(0,1)，B(1，3)，則點 A 關于點(1,1)對稱的點為 M(2,1)，點 B 關于點(1,1)對稱的y111點為 N(1 ，1). 由兩點式求出對稱直線 MN 的方程為x1，即 y2x3.21答案：y2x3x2ax，【規(guī)律方法】中心對稱：解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式.點 P(x，y)關于 M(a，b)的對稱點 P(x，y)滿足y2by.直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決.考向 2 軸對稱例 4：已知直線 l：2x3y10，點 A(1，2)，求：(1)點 A 關于直線 l 的對稱點 A的坐標；(2)直線 m：3x2y60 關于直線 l 的對稱直線 m的方程；(3)直線 l 關于點 A(1，2)對稱的直線 l的方程.解：(1)設 A(x，y)，再由已知有：(2)在直線 m 上取一點，如 M(2,0)，則 M(2,0)關于直線 l 的對稱點必在 m上.設對稱點為 M(a，b)，又m經過點 N(4,3)，由兩點式得直線 m的方程為 9x46y1020.(3)設點 P(x，y)為 l上任意一點，則點 P(x ，y)關于點 A(1，2)的對稱點為 P(2 x，4y).點 P在直線 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.【規(guī)律方法】軸對稱：解決軸對稱問題，一般是轉化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關鍵是抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點連線的中點在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯立求解.【互動探究】3.(2017 年廣東廣州模擬)直線 x2y10 關于直線 xy 20 對稱的直線方程是()A.x2y10C.2xy30B.2xy10D.x2y30解析：由題意，得直線 x2y10 與直線 xy20 的交點坐標為(1,1).在直線 x2y10 上取點 A(1,0)，設點 A 關于直線 xy20 的對稱點為 B(m，n)，答案：B考向 3 對稱的應用例 5：在直線 l：3xy10 上存在一點 P，使得點 P 到點 A(4,1)和點 B(3,4)的距離之和最小，求此時距離之和的最小值.解：設點 B 關于直線 3xy10 的對稱點為 B(a，b)，如圖 D40.圖 D40易錯、易混、易漏 忽略直線方程斜率不存在的特殊情形致誤例題：過點 P(1,2)引一條直線 l，使它到點 A(2,3)與到點B(4,5)的距離相等，求該直線 l 的方程.錯因分析：設直線方程，只要涉及直線的斜率，易忽略斜率不存在的情形，要注意分類討論.正解：方法一，當直線 l 的斜率不存在時，直線 l：x1，顯然到點 A(2,3)，B(4,5)的距離相等.當直線 l 的斜率存在時，設斜率為 k，則直線 l 的方程為 y2k(x1)，即 kxy2k0.故所求直線 l 的方程為 x3y50 或 x1.當直線 l 過線段 AB 的中點時，線段 AB 的中點為(1,4)，所以直線 l 的方程為 x1.故所求直線 l 的方程為 x3y50 或 x1.【失誤與防范】方法一是常規(guī)解法，本題可以利用代數方法求解，即先設點斜式方程，再利用點到直線的距離公式建立等式求斜率 k，但要注意斜率不存在的情況，很容易漏解且計算量較大；方法二利用數形結合的思想使運算量大為減少，即A，B 兩點到直線 l 的距離相等，有兩種情況：直線 l 與 AB平行；直線 l 過線段 AB 的中點.