數(shù)學(xué)第十章 概率與統(tǒng)計(jì) 第二節(jié) 古典概型 文

第二節(jié)古典概型總綱目錄教材研讀1.基本事件的特點(diǎn)考點(diǎn)突破2.古典概型考點(diǎn)二古典概型的交匯問題考點(diǎn)一簡單古典概型的求法1.基本事件的特點(diǎn)基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥互斥的.(2)任何事件(除不可能事件外)都可以表示成基本事件基本事件的和.教材研讀教材研讀2.古典概型古典概型(1)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡稱為古典概型.(i)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)只有有限個(gè).(ii)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等相等.(2)古典概型的概率公式:P(A)=.A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)1.一枚硬幣連擲2次,只有一次出現(xiàn)正面的概率為()A.B.C.D.23141312D答案答案D一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正,正)、(反,反)、(正,反)、(反,正)四種情況,只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種,P=,故選D.24122.袋中裝有6個(gè)白球,5個(gè)黃球,4個(gè)紅球,從中任取一球,取到白球的概率為()A.B.C.D.2541535115答案答案A從15個(gè)球中任取一球有15種取法,取到白球有6種,所以取到白球的概率P=.61525A3.甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排,甲站在中間的概率是()A.B.C.D.16121323C答案答案C甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排共有如下6種情況:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,而甲站在中間的有乙甲丙,丙甲乙共兩種情況,因此,甲站在中間的概率為=.26134.從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則ba的概率是()A.B.C.D.45352515D答案答案D令選取的a,b組成實(shí)數(shù)對(a,b),則共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共15種情況,其中ba有(1,2),(1,3),(2,3),共3種情況,所以ba的概率為=.故選D.315155.有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各參加其中一個(gè)小組,且他們參加各個(gè)興趣小組是等可能的,則甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為.13答案答案13解析解析有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各參加其中一個(gè)小組,有33=9種結(jié)果,其中甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的結(jié)果有3種,故所求概率為=.39136.某種飲料每箱裝6聽,如果其中有2聽不合格,那么質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽,檢測出都是合格產(chǎn)品的概率為.25答案答案25解析解析記A1,A2,A3,A4為合格產(chǎn)品,B1,B2為不合格產(chǎn)品,基本事件為(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15種.檢測出都合格的產(chǎn)品有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4),(A3,A4),共6種.故檢測出都是合格產(chǎn)品的概率為P=.61525典例典例1(2017山東,16,12分)某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國家去旅游.(1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè),求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率.考點(diǎn)一簡單古典概型的求法考點(diǎn)一簡單古典概型的求法考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破解析解析(1)由題意知,從6個(gè)國家中任選兩個(gè)國家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,B1,B2,B1,B3,B2,B3,共15個(gè).所選兩個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有:A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3個(gè),則所求事件的概率P=.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2,A3,B3,共9個(gè).包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2個(gè),31515則所求事件的概率P=.29規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.求古典概型概率的步驟(1)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件,設(shè)出所求事件A;(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.mn2.基本事件個(gè)數(shù)的確定方法方法適用條件列表法此法適用于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成是坐標(biāo)法樹狀圖法樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求1-1(2017課標(biāo)全國,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.B.C.D.1101531025D答案答案D畫出樹狀圖如圖:可知所有的基本事件共有25個(gè),滿足題意的基本事件有10個(gè),故所求概率P=.故選D.1025251-2某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:若xy3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);若xy8,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.解析解析用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間與點(diǎn)集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一對應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是44=16,所以基本事件總數(shù)為16.(1)記“xy3”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為.(2)記“xy8”為事件B,“3xy,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.6163851638516典例典例2設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,3).(1)求使得事件“ab”發(fā)生的概率;(2)求使得事件“|a|b|”發(fā)生的概率.考點(diǎn)二古典概型的交匯問題考點(diǎn)二古典概型的交匯問題命題方向一與平面向量相結(jié)合的問題命題方向一與平面向量相結(jié)合的問題解析解析(1)由題意知,m1,2,3,4,5,6,n1,2,3,4,5,6.故(m,n)所有可能的取法共36種.由ab得n=3m,則(m,n)的取法共有2種,即(1,3),(2,6).所以事件“ab”發(fā)生的概率為=.(2)由|a|b|得m2+n210,則(m,n)的取法共有6種,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).所以事件“|a|b|”發(fā)生的概率為=.23611863616典例典例3(1)從集合A=-2,-1,2中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為a,從集合B=-1,1,3中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.B.C.D.(2)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點(diǎn)的概率為.29134914命題方向二與直線、圓相結(jié)合的問題命題方向二與直線、圓相結(jié)合的問題解析解析(1)(a,b)所有可能的結(jié)果為(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9種.由ax-y+b=0得y=ax+b,當(dāng)時(shí),直線不經(jīng)過第四象限,符合條件的(a,b)的結(jié)果為(2,1),(2,3),共2種,直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率P=.故選A.(2)依題意,將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),共36種,其中滿足直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點(diǎn),即滿足,即ab,則當(dāng)a=1時(shí),b=1,2,3,4,5,6,共有6種,當(dāng)a=2時(shí),b=2,3,4,5,6,共5種,同理,當(dāng)a=3時(shí),有4種,當(dāng)a=4時(shí),有3種,當(dāng)a=5時(shí),有2種,當(dāng)a=6時(shí),有1種,故共6+5+4+3+2+1=21種,因此所求的概率等于0,0ab29222aab2=.2136712答案答案(1)A(2)712典例典例4以青蒿素類藥物為主的聯(lián)合療法已經(jīng)成為世界衛(wèi)生組織推薦的抗瘧疾標(biāo)準(zhǔn)療法,目前,國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速,調(diào)查表明,人工種植的青蒿的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x,y,z,并對它們進(jìn)行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2表示合格,再用綜合指標(biāo)=x+y+z評定人工種植的青蒿的長勢等級:若4,則長勢為一級;若23,則長勢為二級;若01,則長勢為三級.為了了解目前人工種植的青蒿的長勢情況,研究人員隨機(jī)抽取了10個(gè)青蒿人工種植地,得到如下結(jié)果:命題方向三與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的問題命題方向三與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的問題種植地編號A1A2A3A4A5(x,y,z)(0,1,0)(1,2,1)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1)若該地有青蒿人工種植地180個(gè),試估計(jì)這些種植地中長勢等級為三級的個(gè)數(shù);(2)從長勢等級為一級的青蒿人工種植地中隨機(jī)抽取2個(gè),求這2個(gè)人工種植地的綜合指標(biāo)均為4的概率.種植地編號A6A7A8A9A10(x,y,z)(1,1,2)(2,1,2)(2,0,1)(2,2,1)(0,2,1)解析解析(1)計(jì)算10個(gè)青蒿人工種植地的綜合指標(biāo),可得下表:由上表可知,長勢等級為三級的種植地只有A1一個(gè),其頻率為,用樣本的頻率估計(jì)總體的頻率,可估計(jì)這些種植地中長勢等級為三級的個(gè)數(shù)約為180=18.(2)由(1)可知,長勢等級是一級的青蒿人工種植地有A2,A3,A4,A6,A7,A9,共6個(gè),從中隨機(jī)抽取2個(gè),所有的可能結(jié)果為(A2,A3),(A2,A4),(A2,A6),(A2,A7),(A2,A9),(A3,A4),(A3,A6),(A3,A7),(A3,A9),(A4,A6),(A4,A7),(A4,A9),(A6,A7),(A6,A9),(A7,A9),共計(jì)15個(gè),綜合指標(biāo)=4的有A2,A3,A6,共3個(gè),則符合題意的可能結(jié)果為編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10綜合指標(biāo)1446245353110110(A2,A3),(A2,A6),(A3,A6),共3個(gè),故所求概率P=.31515典例典例5(1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2中任取的一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.B.C.D.(2)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.1379135923命題方向四與函數(shù)、方程相結(jié)合的問題命題方向四與函數(shù)、方程相結(jié)合的問題答案答案(1)D(2)16解析解析(1)f(x)=x2+2ax+b2,要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則有=(2a)2-4b20,即a2b2.由題意知所有的基本事件有9個(gè),即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.滿足a2b2的有6個(gè)基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率為=.(2)所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12個(gè).記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A,則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2個(gè).P(A)=.692321216規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)解決古典概型交匯問題的方法解決古典概型交匯的問題時(shí),把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件,列舉基本事件,求出基本事件和隨機(jī)事件的個(gè)數(shù),然后利用古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.2-1甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條,則這2條棱互相垂直的概率為()A.B.C.D.2281378144815981C答案答案C由題意知本題是一個(gè)古典概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是甲從這9條棱中任選一條,乙從這9條棱中任選一條,共有99=81(種)結(jié)果,滿足條件的事件是這2條棱互相垂直,所有可能情況是:當(dāng)甲選底面上的一條直角邊時(shí),乙有5種選法,共有4條直角邊,則共有20種結(jié)果;當(dāng)甲選底面上的一條斜邊時(shí),乙有3種選法,共有2條底面的斜邊,則共有6種情況;當(dāng)甲選一條側(cè)棱時(shí),乙有6種選法,共有3條側(cè)棱,則共有18種結(jié)果.綜上所述,共有20+6+18=44(種)結(jié)果,故這2條棱互相垂直的概率是.44812-2某商店計(jì)劃每天購進(jìn)某商品若干件某商店計(jì)劃每天購進(jìn)某商品若干件,商店每銷售一件該商品可獲商店每銷售一件該商品可獲利潤50元.當(dāng)供大于求時(shí),剩余商品全部退回,但每件商品虧損10元;若供不應(yīng)求,則從外部調(diào)劑,此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利潤30元.(1)若商店一天購進(jìn)該商品10件,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:件,nN*)的函數(shù)解析式;(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位:件,nN*),列表如下:日需求量(件)89101112頻數(shù)(天)91115105若商店一天購進(jìn)10件該商品,以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤在400,550(單位:元)內(nèi)的概率.解析解析(1)當(dāng)日需求量n10時(shí),y=5010+(n-10)30=30n+200,當(dāng)日需求量n10時(shí),y=50n-(10-n)10=60n-100.所以日利潤y與日需求量n的函數(shù)解析式為y=(2)50天內(nèi)有9天獲得的日利潤為380元,有11天獲得的日利潤為440元,有15天獲得的日利潤為500元,有10天獲得的日利潤為530元,有5天獲得的日利潤為560元.所以日利潤(單位:元)在區(qū)間400,550內(nèi)的概率P=.30200,10,N,60100,10,N.nnnnnn11 15 10501825