高三數(shù)學(xué)第一篇三 三角函數(shù)及解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理

第第1 1講講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情分析考情分析年份卷別題號考查內(nèi)容命題規(guī)律20179三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及圖象變換高考對三角函數(shù)的圖象的考查有:利用“五點法”作出圖象、圖象變換、由三角函數(shù)的部分圖象確定三角函數(shù)的解析式.三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的一個重要考點,既有直接考查的客觀題,也有綜合考查的主觀題,常通過三角變換將其轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+)的形式,再研究其性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性).14三角函數(shù)的最值6余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)20167三角函數(shù)圖象的變換與性質(zhì)14三角函數(shù)的圖象變換20158三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)總綱目錄考點一 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系考點二 三角函數(shù)的圖象（高頻考點）考點三 三角函數(shù)的性質(zhì)（高頻考點）考點一 三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系1.三角函數(shù):設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),則sin =y,cos =x,tan =.各象限角的三角函數(shù)值的符號:一全正,二正弦,三正切,四余弦.yx2.同角關(guān)系:sin2+cos2=1,=tan .sincos3.誘導(dǎo)公式:在+,kZ的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變,符號看象限”.2k典型例題典型例題(1)(2017北京,12,5分)在平面直角坐標系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin =,則cos(-)= .(2)已知sin +2cos =0,則2sin cos -cos2的值是 .答案答案(1)-(2)-11379解析解析(1)解法一:由已知得=(2k+1)-(kZ).sin =,sin =sin(2k+1)-=sin =(kZ).當(dāng)cos =時,cos =-,cos(-)=cos cos +sin sin =+=-.當(dāng)cos =-=-時,cos =,131321 sin 2 232 232 232 2313137921 sin 2 232 23cos(-)=cos cos +sin sin =+=-.綜上,cos(-)=-.解法二:由已知得=(2k+1)-(kZ),2 232 2313137979sin =sin(2k+1)-=sin ,cos =cos(2k+1)-=-cos ,kZ.當(dāng)sin =時,cos(-)=cos cos +sin sin =-cos2+sin2=-(1-sin2)+sin2=2sin2-1=2-1=-.(2)由sin +2cos =0,得tan =-2.所以2sin cos -cos2=-1.1319792222sin coscossincos22tan1tan14141 方法歸納方法歸納應(yīng)用三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式應(yīng)注意以下兩點(1)當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候要注意分情況解決,機械地使用三角函數(shù)的定義就會出現(xiàn)錯誤.(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系開方運算時,一定要注意三角函數(shù)的符號;利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.已知為銳角,且2tan(-)-3cos+5=0,tan(+)+6sin(+)=1,則sin 的值是()A. B. C. D. 23 553 773 101013答案答案 C由已知可得-2tan +3sin +5=0,tan -6sin =1,解得tan =3,即=3,又sin2+cos2=1,為銳角,故sin =.sincos3 10102.已知點P落在角的終邊上,且0,2),則的值為( )A. B. C. D. 33sin,cos444345474答案答案 D tan =-1,又sin0,cos0,|.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2,則 ()A.=,= B.=,=-C.=,=- D.=,=(2)(2017課標全國,9,5分)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是()A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C258118231223111213112413724223x6B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2121261212解析解析(1)f=2, f=0, f(x)的最小正周期大于2,=-=,得T=3,則=,又f=2sin=2,sin=1.+=2k+,kZ,=2k+,kZ.|0,0)的圖象求解析式時,常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點、最低點或特殊點求A;由函數(shù)的周期確定;確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解,其中一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準第一個零點的位置.2.三角函數(shù)圖象平移問題處理策略(1)看平移要求:首先要看題目要求由哪個函數(shù)得到哪個函數(shù),這是判斷移動方向的關(guān)鍵點.(2)看移動方向:移動的方向一般記為“正向左,負向右”,看y=Asin(x+)中的正負和它的平移要求.(3)看移動單位:在函數(shù)y=Asin(x+)中,周期變換和相位變換都是沿x軸方向的,所以和之間有一定的關(guān)系,是初相,再經(jīng)過的壓縮,最后移動的單位是.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017云南11?？鐓^(qū)調(diào)研)函數(shù)f(x)=sin x(0)的圖象向左平移個單位長度,所得到圖象經(jīng)過點,則的最小值是()A. B.2 C.1 D. 32,033212答案答案 C依題意得,函數(shù)f=sin(0)的圖象過點,于是有f =sin=sin ()=0(0),則=k,kZ,因此正數(shù)的最小值是1,故選C.3x3 x2,032332332.(2017貴陽檢測)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A0,0,0),其導(dǎo)數(shù)f (x)的圖象如圖所示,則f的值為()A.2 B. C.- D.- 2222224答案答案 D依題意得f (x)=Acos(x+),結(jié)合函數(shù)y=f (x)的圖象可知,T=4=,=2.又A=1,因此A=.因為0,+0)在(0,)上有且只有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.50,620,35,62,3340,34 7,3 37 10,3310 13,33解析解析(1)f(x)的最小正周期為2,易知A正確;f=cos=cos 3=-1,為f(x)的最小值,故B正確;f(x+)=cos=-cos,f=-cos=-cos=0,故C正確;由于f =cos=cos =-1,為f(x)的最小值,故f(x)在上不單調(diào),故D錯誤.(2)f(x)=cos2-sin x-=-sin x=cos x-sin x=cos,由2k-x+2k(kZ),得2k-x2k-(kZ),又x0,所以當(dāng)k=1時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,故選C.838333x3x663223233,232x 12323222cos12x1232126x67665,6答案答案(1)D(2)C(3)B(3)易得f(x)=2sin,設(shè)t=x-,因為0 x,所以-t-,因為函數(shù)f(x)在(0,)上有且僅有兩個零點,所以-2,解得0)的單調(diào)性的一般思路是令x+=z,則y=Asin z(或y=Acos z),然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.(2)三角函數(shù)周期性的求法:3x33334373函數(shù)y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正周期T=.應(yīng)特別注意y=|Asin(x+)|的周期T=.2|跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2016課標全國,11,5分)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos的最大值為()A.4 B.5 C.6 D.72x答案答案 B f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2+,又sin x-1,1,當(dāng)sin x=1時,f(x)取得最大值5.2x23sin2x1122.(2017石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測(二)已知函數(shù)f(x)=sin, f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù)y=2f(x)+f (x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D. 212x7,12 125,12 122,335,66答案答案 A由題意,得f (x)=2cos,所以y=2f(x)+f (x)=2sin+2cos=2sin=2sin.由2k+2x+2k+(kZ),得k+xk+(kZ),所以函數(shù)y=2f(x)+f (x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為,故選A.212x212x212x22124x223x2332127127,12 123.(2017合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=sin x-cos x(0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)y=f(x)圖象的對稱軸方程;(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.0,2解析解析(1)f(x)=sin x-cos x=sin,且T=,=2,于是f(x)=sin.令2x-=k+(kZ),得x=+(kZ),即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x=+(kZ).(2)令2k-2x-2k+(kZ),得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).注意到x,所以令k=0,得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為;同理,其單調(diào)遞減區(qū)間為.24x224x422k382k382423,88kk0,20,230,83,82 1.若sin=-,且,則sin(-2)=()A. B. C.- D.-235,22425122512252425隨堂檢測隨堂檢測答案答案 D由sin=cos =-,且,得sin =,所以sin(-2)=sin 2=2sin cos =-,故選D.235,24524252.(2017福建普通高中質(zhì)量檢測)若將函數(shù)y=3cos的圖象向右平移個單位長度,則平移后圖象的一個對稱中心是()A. B.C. D. 22x6,06,06,012,012答案答案 A將函數(shù)y=3cos的圖象向右平移個單位長度,得y=3cos=3cos的圖象,由2x+=k+(kZ),得x=+(kZ),當(dāng)k=0時,x=,所以平移后圖象的一個對稱中心是,故選A.22x6262x26x622k66,063.(2017陜西高三教學(xué)質(zhì)量檢測試題(一)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)的圖象上的一個最高點與相鄰的一個最低點的距離為2,且過點,則函數(shù)f(x)= .0,22212,2答案答案 sin 26x解析解析依題意得=2,則=2,即=,所以f(x)=sin,由于該函數(shù)圖象過點,因此sin=-,即sin =,而-,故=,所以f(x)=sin.222222x12,2121222626x4.(2017浙江,18,14分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.323解析解析(1)由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.23322312232322123321223326x2632623所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).2,63kk