數(shù)學(xué)題型題型七 幾何圖形的相關(guān)證明及計(jì)算 類(lèi)型七 直角三角形中的輔助線

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1、例例 7 如圖,已知正方形如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn),點(diǎn)E是是BC上一點(diǎn),點(diǎn)上一點(diǎn),點(diǎn)F是是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接EF,若,若BEDF,點(diǎn),點(diǎn)P是是EF的中點(diǎn)的中點(diǎn)(1)求證:求證:DP平分平分ADC;(2)若若CEF75,CF1 ,求,求AEF的面積的面積3(1)【思維教練思維教練】要證要證DP平分平分ADC,可考慮證明,可考慮證明ADP、CDP所在的兩三角形全等,連接所在的兩三角形全等,連接PC,構(gòu)造,構(gòu)造CPD,由直角,由直角三角斜邊中線性質(zhì)證明三角斜邊中線性質(zhì)證明APCP,再結(jié)合正方形性質(zhì),可證,再結(jié)合正方形性質(zhì),可證APDCPD.【自主作答自主作答】 (1)證明:

2、如解圖,連接證明:如解圖,連接PC.四邊形四邊形ABCD是正方形,是正方形,ABEADF90,ABAD,又又BEDF,ABE ADF(SAS)BAEDAF,AEAF,EAFBAD90,P是是EF的中點(diǎn),的中點(diǎn),PA EF,PC EF,PAPC,APDCPD(SSS)ADPCDP,即,即DP平分平分ADC;1212(2)【思維教練思維教練】CEF75,AEF為等腰直角三角形,可為等腰直角三角形,可得得AEB60,已知,已知CF,則,則ABBE長(zhǎng)度已知,在長(zhǎng)度已知,在RtABE中,可設(shè)中,可設(shè)BE的長(zhǎng),表示出的長(zhǎng),表示出AB,進(jìn)而表示出,進(jìn)而表示出ABBE,由,由(1)的的結(jié)論求出結(jié)論求出BE,進(jìn)

3、而可求得各邊長(zhǎng)度根據(jù)三角形面積公式可,進(jìn)而可求得各邊長(zhǎng)度根據(jù)三角形面積公式可求求SAEF.【自主作答自主作答】(2)解:由解:由(1)知知EAF是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,AEF45,AEB180457560,設(shè)設(shè)BEx,AB x,CFCDDFABBE( 1)x 1.解得解得x1,BE1,AB ,AE2,則,則AP ,EF2 ,SAEF EFAP 2 2.1212322333322遇到直角時(shí)可作斜邊上的中線或加倍一直角邊,從而可得到等腰遇到直角時(shí)可作斜邊上的中線或加倍一直角邊,從而可得到等腰三角形,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題三角形,進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題方方 法法點(diǎn)點(diǎn)撥撥

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