高考數(shù)學精英備考專題講座 選考系列

選考系列一、高考預測幾何證明選講是高考的選考內(nèi)容，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，射影定理，平行線分線段成比例定理；圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等題目難度不大，以容易題為主對本部分的考查主要是一道選考解答題，預測2012年仍會如此，難度不會太大矩陣與變換主要考查二階矩陣的基本運算，主要是以解答題的形式出現(xiàn)預測在2012年高考主要考查(1)矩陣的逆矩陣；(2)利用系數(shù)矩陣的逆矩陣求點的坐標或曲線方程坐標系與參數(shù)方程重點考查直線與圓的極坐標方程，極坐標與直角坐標的互化；直線，圓與橢圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，題目不難，考查 “轉(zhuǎn)化”為目的預測2012高考中，極坐標、參數(shù)方程與直角坐標系間的互化仍是考查的熱點，題目容易不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，主要考查絕對值的幾何意義，絕對值不等式的解法以及不等式證明的基本方法(比較法、分析法、綜合法)關于含有絕對值的不等式的問題預測2012年高考在本部分可能會考查不等式的證明或求最值問題 參數(shù)方程與極坐標1極點的極徑為0，極角為任意角，即極點的坐標不是惟一的極徑的值也允許取負值，極角允許取任意角，當<0時，點M(，)位于極角的終邊的反向延長線上，且OM|，在這樣的規(guī)定下，平面上的點的坐標不是惟一的，即給定極坐標后，可以確定平面上惟一的點，但給出平面上的點，其極坐標卻不是惟一的這有兩種情況：如果所給的點是極點，其極徑確定，但極角可以是任意角；如果所給點M的一個極坐標為(，)(0)，則(，2k)，(，(2k1)(kZ)也都是點M的極坐標這兩種情況都使點的極坐標不惟一，因此在解題的過程中要引起注意2在進行極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化時，要求極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，在這個前提下才能用轉(zhuǎn)化公式同時，在曲線的極坐標方程和直角坐標方程互化時，如遇約分，兩邊平方，兩邊同乘以，去分母等變形，應特別注意變形的等價性3對于極坐標方程，需要明確：曲線上點的極坐標不一定滿足方程如點P(1,1)在方程表示的曲線上，但點P的其他形式的坐標都不滿足方程；曲線的極坐標方程不惟一，如1和1都表示以極點為圓心，半徑為1的圓2對于不等式的各項取倒數(shù)問題，一定要分清各項的符號，對于同號的，可運用深化(2)；若不同號，可根據(jù)符號進行判定3解含絕對值的不等式的指導思想是去掉絕對值常用的方法是：由定義分段討論；利用絕對值不等式的性質(zhì)；平方4解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時與參數(shù)的取值范圍有關，就必須分類討論注意：要考慮參數(shù)的取值范圍；用同一標準對參數(shù)進行劃分，做到不重不漏5利用絕對值的定義和幾何意義來分析，絕對值的特點是解決帶有絕對值符號問題的關鍵，如何去掉絕對值符號，一定要認真總結(jié)規(guī)律與方法6絕對值不等式的證明通常與放縮法聯(lián)系在一起，放縮常用如下絕對值不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.7注意柯西不等式等號成立的條件a1b2a2b10，這時我們稱(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b10，b20，那么a1b2a2b10.若b1·b20，我們分情況說明：b1b20，則原不等式兩邊都是0，自然成立；b10，b20，原不等式化為(aa)bab，是自然成立的；b10，b20，原不等式和的道理一樣，自然成立正是因為b1·b20時，不等式恒成立，因此我們研究柯西不等式時，總是假定b1·b20，等號成立的條件可寫成.三、易錯點點睛幾何證明選講 幾何證明選講是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們更應注意重點把握以下內(nèi)容：1射影定理的內(nèi)容及其證明；2圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及證明；3圓冪定理的內(nèi)容及其證明；4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定；5平行投影的性質(zhì)與圓錐曲線的統(tǒng)一定義如圖，A，B，C，D四點在同一圓上,AD的延長線與BC的延長線交于E點，且ECED.(1)證明：CDAB；(2)延長CD到F，延長DC到G，使得EFEG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓證明(1)因為ECED，所以EDCECD.因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE.因為EFEG，故EFDEGC，從而FEDGEC.連結(jié)AF，BG，則EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180°.故A，B，G，F(xiàn)四點共圓易錯提醒(1)對四點共圓的性質(zhì)定理和判定定理理解不透(2)不能正確作出輔助線，構造四邊形(3)角的關系轉(zhuǎn)化不當矩陣與變換矩陣與變換易錯易漏 (1)因矩陣乘法不滿足交換律，多次變換對應矩陣的乘法順序易錯 (2)圖形變換后，所求圖形方程易代錯已知矩陣Mo(sup12(1b，No(sup12(c0，且MNo(sup12(22 .(1)求實數(shù)a，b，c，d的值；(2)求直線y3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象的方程解方法一(1)由題設得解得在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為(cos sin )10，則C1與C2的交點個數(shù)為_解曲線C1化為普通方程為圓：x2(y1)21，曲線C2化為直角坐標方程為直線：xy10.因為圓心(0,1)在直線xy10上，故直線與圓相交，交點個數(shù)為2易錯提醒(1)忽視將C1的參數(shù)方程和C2的極坐標方程化為直角坐標系下的普通方程，即轉(zhuǎn)化目標不明確(2)轉(zhuǎn)化或計算錯誤不等式選講來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxc設a、b是非負實數(shù)，求證：a3b3(a2b2)證明由a，b是非負實數(shù)，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5當ab時，從而()5()5，得()()5()50；當a<b時，<，從而()5<()5，得()()5()5>0.所以a3b3(a2b2)易錯提醒 (1)用作差法證明不等式入口較易，關鍵是分解因式，多數(shù)考生對分組分解因式不熟練(2)分解因式后，與零比較時，易忽略分類討論設，且，求的取值范圍。易錯提醒此題易在時處出錯，忽略了的前提。這提醒我們分段求解的結(jié)果要考慮分段的前提。四、典型習題導練1、自圓外一點引圓的一條切線，切點為，為的中點，過點引圓的割線交該圓于兩點，且，.求證：與相似；求的大小.【解析】本小題主要考查平面幾何的證明及其運算，具體涉及圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關知識內(nèi)容.因為為圓的切線，所以.又為中點，所以.因為，所以與相似.（5分）由中與相似，可得.在中，由，得.(10分)（）求證：平分；（）若，求圓弧的長.【解析】（）證明：連結(jié)，則.， ，為弧的中點平分 5分（）連結(jié)、，則，為等邊三角形，又的長為 10分5、如圖內(nèi)接于圓，直線切圓于點，相交于點(1)求證：;(2)若6、如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tanCED=，圓O的半徑為3，求OA的長【解析】如圖，連接，因為，所以因為是圓的半徑，所以是圓的切線3分第22題圖因為是直徑，所以，所以，又，所以，又因為，所以，所以， 5分，設，則，因為，所以，所以9分所以 10分7、在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數(shù)）若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離.【解析】本小題主要考查極坐標與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及點到直線的距離等知識內(nèi)容.對于曲線M,消去參數(shù)，得普通方程為,曲線是拋物線的一部分； 對于曲線N，化成直角坐標方程為，曲線N是一條直線. (2分) 8、在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，極軸與x軸的非負半軸重合）中，()求圓心C到直線的距離；（）若直線被圓C截得的弦長為的值.【解析】()圓C的方程整理可得： 化為標準方程得：.圓心為，半徑為. 直線一般方程為：，故圓心C到的距離（）由題意知圓心C到直線的距離.由（）知，得-10分9、在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸)中，圓的方程為.（）求圓的直角坐標方程；）設圓與直線交于點，若點的坐標為，求.10、在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：(q為參數(shù)）與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點，并證明你的結(jié)論11、在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為：在以O為極點，以x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程為：（）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直角坐標方程； （）判斷直線與圓C的位置關系.【解析】(1)將直線的參數(shù)方程經(jīng)消參可得直線的普通方程為：3分 由得， 即圓直角坐標方程為.6分 (2)由(1)知，圓的圓心，半徑， 則圓心到直線的距離故直線與圓相交.10分13、已知函數(shù)解不等式；若關于的方程的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.【解析】本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式的解法以及函數(shù)等有關知識內(nèi)容.（1）當時，由解得：；當時，由得，舍去；當時，由，解得. 所以原不等式解集為. （2）由（1）中分段函數(shù)的解析式可知:在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.并且，所以函數(shù)的值域為.從而的取值范圍是,進而的取值范圍是.根據(jù)已知關于的方程的解集為空集，所以實數(shù)的取值范圍是. (10分)16、設均為正數(shù)，證明：.【解析】本題考查基本不等式的應用，難點在于通過觀察分析、構造不等式.即得19、已知a0，b0，ab1，求證：【解析】法一：因為a0，b0，ab1，所以 ()(2a1)(2b1)145分529 3分而 (2a1)(2b1)4，所以 2分20、設矩陣M（1）求矩陣M的逆矩陣M1；（2）求矩陣M的特征值【解析】（1）矩陣A(adbc0)的逆矩陣為A1所以矩陣M的逆矩陣M1 5分（2）矩陣M的特征多項式為f(l)l24l5 令f(l)0，得到M的特征值為1或5 10分21、在平面直角坐標系xOy中，直線在矩陣對應的變換下得到的直線過點，求實數(shù)的值【解析】設變換T：，則，即5分代入直線，得將點代入上式，得k410分22、已知二階矩陣M有特征值及對應的一個特征向量，并且M對應的變換將