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1、
不定積分·教案示例
目的要求
1．理解原函數(shù)的定義，知道原函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的原函數(shù)．
2．理解不定積分的概念，掌握不定積分的線(xiàn)性性質(zhì)，會(huì)用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分．
內(nèi)容分析
1．不定積分是一元函數(shù)微積分學(xué)的基本內(nèi)容，本章教材是在學(xué)生已掌握求導(dǎo)數(shù)方法的基礎(chǔ)上，研究求原函數(shù)或不定積分的．故學(xué)好“導(dǎo)數(shù)與微分”是學(xué)好不定積分的前提，教學(xué)時(shí)，要與“導(dǎo)數(shù)與微分”一章的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)照．
2．本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是原函數(shù)和不定積分的概念教學(xué)，難點(diǎn)是原函數(shù)的求法．突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是緊緊扣住原函數(shù)的定義，逆用求導(dǎo)公式，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理順．由于逆運(yùn)算概念學(xué)生并不陌生，因此教學(xué)中要充分利用思
2、維定勢(shì)的積極因素并引入教學(xué)．另外，本節(jié)切勿提高教學(xué)難度，因?yàn)殡S著后續(xù)學(xué)習(xí)的深入，積分方法多，無(wú)需直接用定義求不定積分．
3．本節(jié)教學(xué)要始終抓住一條主線(xiàn)：“求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)或不定積分(在不計(jì)所加任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算”．強(qiáng)調(diào)求不定積分時(shí)，不要漏寫(xiě)任意常數(shù)C；另外，要向?qū)W生說(shuō)明：求一個(gè)函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但結(jié)果的導(dǎo)數(shù)應(yīng)相等．指出這點(diǎn)是有益的，一方面使學(xué)生會(huì)檢查得到的不定積分是否正確，另一方面消除學(xué)生由于所得不定積分形式的不同而產(chǎn)生的疑問(wèn)．
4．根據(jù)本節(jié)知識(shí)的抽象性，教學(xué)中應(yīng)充分安排學(xué)生進(jìn)行觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、討論等課堂活動(dòng)，使之參與到概念的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程．本著這一
3、原則，本節(jié)課宜采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)．
教學(xué)過(guò)程
1．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課
(1)引例(見(jiàn)解本章頭)．
用多媒體顯示引例圖象，提出問(wèn)題，激起學(xué)生求知欲望，揭示并板書(shū)課題．
(2)介紹微積分產(chǎn)生的時(shí)代背景，弘揚(yáng)科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和鉆研精神．
2．嘗試探索，建立新知
(1)提出問(wèn)題：已知某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求這個(gè)函數(shù)？
(2)嘗試練習(xí)：求滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)F(x)．
①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3
(3)解決問(wèn)題：上述練習(xí)是完成與求導(dǎo)數(shù)相反的逆運(yùn)算．因此，解決問(wèn)題的方法仍為求導(dǎo)數(shù)．
(4)形成定義：詳見(jiàn)課本“原函數(shù)”的定義．
對(duì)于原函數(shù)的定義，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)下列三點(diǎn)：
4、第一，F(xiàn)(x)與f(x)是定義在同一區(qū)間I上，這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開(kāi)區(qū)間．
第二，F(xiàn)(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)．
第三，求原函數(shù)(在不計(jì)所加常數(shù)C的情況下)與求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算．
(5)簡(jiǎn)單應(yīng)用：
例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．
①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3
小結(jié)解法：根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個(gè)函數(shù)F(x)，使它的導(dǎo)數(shù)F′(x)等于f(x)．
(6)討論問(wèn)題：已知函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么函數(shù)f(x)是否還有其他原函數(shù)？舉例說(shuō)明．(略)
(7)歸納性質(zhì)：
一般地，原函數(shù)有下面的性質(zhì)：
設(shè)F(x)是
5、函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，對(duì)于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)＋C也是f(x)的原函數(shù)，并且f(x)在區(qū)間I上任何一個(gè)原函數(shù)都可以表示成F(x)＋C的形式．
教師強(qiáng)調(diào)：一個(gè)函數(shù)雖然有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，但是我們只要求出其中的一個(gè)就行，其他的原函數(shù)都可以由這個(gè)原函數(shù)再加上一個(gè)常數(shù)得到．這樣就給出了求已知函數(shù)的所有原函數(shù)的方法．
3．類(lèi)比分析，拓廣知識(shí)
根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，類(lèi)比引入不定積分的概念．
(1)講解不定積分的有關(guān)概念：不定積分、積分號(hào)、被積函數(shù)、積分變量、被積式、積分常數(shù)等(詳見(jiàn)課本)．
對(duì)于不定積分的定義，教師說(shuō)明如下：
＋C．常數(shù)C不要漏寫(xiě)，F(xiàn)(x)只能表示一個(gè)原函數(shù)，這也正
6、是原函數(shù)和
“f(x)dx”構(gòu)成，書(shū)寫(xiě)時(shí)不要漏掉dx．
積分變量是u，被積函數(shù)ux是關(guān)于u的冪函數(shù)．
(2)推導(dǎo)不定積分的性質(zhì)．
證明：設(shè)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為F(x)，即F′(x)＝f(x)．
證明(略)
上述兩個(gè)性質(zhì)表明：求導(dǎo)數(shù)與求不定積分(在不計(jì)所加的任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算．因此，求不定積分時(shí)，常常利用導(dǎo)數(shù)與不定積分的這種互逆關(guān)系，驗(yàn)證所求的不定積分是否正確．
4．例題評(píng)價(jià)，反饋訓(xùn)練
例2 如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)，恒有f′(x)＝g′(x)，則一定有
[B]
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＋C
D．f(x)＝Cg(x)
7、
例3 求下列不定積分．
小結(jié)解法：
(1)求不定積分時(shí)，都要在結(jié)果上寫(xiě)上任意常數(shù)C．本章凡是沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí)，所加的C均表示任意常數(shù)．
(2)求一個(gè)函數(shù)的不定積分，由于方法不同，它的結(jié)果在形式上往往也不同．這種形式上不同的結(jié)果，可以用求它們的導(dǎo)數(shù)的方法，看其導(dǎo)數(shù)是否相同，如果導(dǎo)數(shù)相同，就說(shuō)明結(jié)果是正確的．
課堂練習(xí)：教科書(shū)練習(xí)第1、3、4題．
的解析式．
解：由不定積分的性質(zhì)得
f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9
5．歸納總結(jié)，鞏固提高
(1)一條主線(xiàn)：求導(dǎo)數(shù)與求不定積分(在不計(jì)所加任意常數(shù)時(shí))互為逆運(yùn)算．
(2)二組概念：原函數(shù)的定義和性
8、質(zhì)，不定積分的定義和性質(zhì)．
(3)三個(gè)注意：一是注意一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，它們之間僅相差一個(gè)常數(shù)；二是注意求不定積分時(shí)，不要漏寫(xiě)任意常數(shù)C；三是注意求一個(gè)函數(shù)的不定積分，允許結(jié)果在形式上不同，但其結(jié)果的導(dǎo)數(shù)應(yīng)相等．
布置作業(yè)
1．課本習(xí)題4．1第3、4題．
2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象為a，且在曲線(xiàn)a上任一點(diǎn)M(x，y)處的切線(xiàn)的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，求函數(shù)y＝f(x)的解析式．
有兩個(gè)相等實(shí)根．
(1)求f(x)的解析式．
(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]．
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不定積分 教案示例
