2019屆高三數(shù)學10月月考試題 文(含解析).doc

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2019屆高三數(shù)學10月月考試題 文(含解析) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}； ∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R； ∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B?A，A?B； 即B正確． 故選：B． 2.已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（　?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題； 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題． ∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題． 故選B． 3.已知向量若與垂直，則的值為（　?。? A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 解∵ ∴向量（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m） 又∵向量與互相垂直， ∴1（﹣3）+3（3+2m）=0 ∴﹣3+9+6m=0?m=﹣1 故選C 4.若，則（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 由題知，則．故本題答案選． 5.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】D 【解析】 由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即cos2A=, 又因△ABC為銳角三角形, 所以cosA=. △ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b6, 即b2-b-13=0, 即b=5或b=-(舍去),故選D. 6.在四個函數(shù)，，，中，最小正周期為的所有函數(shù)個數(shù)為（　?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 解：函數(shù)y=sin|2x|不是周期函數(shù)，不滿足條件； 令y=f（x）=|sinx|，則f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x）， ∴函數(shù)y=|sinx|是最小正周期為π的函數(shù)，滿足條件； 又函數(shù)y=sin（2x+）的最小正周期為T==π，滿足條件； 函數(shù)y=tan（2x﹣）的最小正周期為T=，不滿足條件． 綜上，以上4個函數(shù)中，最小正周期為π有2個． 故選：B． 7.已知中，滿足 的三角形有兩解，則邊長的取值范圍是（　?。? A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：由三角形有兩解，則滿足，即 ，解得：2＜＜，所以邊長的取值范圍（2，）， 故選C． 8.函數(shù) 的部分圖象大致為（　?。? A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 去掉B,D; 舍C，選A. 9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：函數(shù)的周期T=2=2π，即，得ω=1， 則f（x）=cos（x+）， 則當時，函數(shù)取得最小值， 則π+ =π+2kπ，即 =+2kπ， 即f（x）=cos（x+）， 由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z， 即2k+＜x＜2k+，k∈Z， 即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為（2k+，2k+）， 故選：D 10.設,,分別為三邊,,的中點，則（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵分別為的三邊的中點， ∴ ．選D． 11.若函數(shù) 在 單調(diào)遞增，則的取值范圍是（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：函數(shù)f（x）=x﹣2sinxcosx+acosx 那么：f′（x）=1﹣2cos2x﹣asinx ∵f（x）在[，]單調(diào)遞增，即f′（x）=1﹣2cos2x﹣asinx≥0， sinx在[，]上恒大于0， 可得：a≤ 令y==,令 可得：y=，（t∈[]） ∴當t=時，y取得最小值為：2 故得 故選D 點睛：將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題是解決本題的關鍵，用分離參數(shù)法解決恒成立問題時要注意參數(shù)系數(shù)正負號的討論. 12.已知函數(shù) ，若 存在唯一的零點，且 ，則實數(shù) 的取值范圍為（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：由題意可得f（x）=0， 即為ax3﹣2x2+1=0， 可得a=， 令g（x）=， g′（x）= 可得x＜，x＞時，g（x）遞減； 當＜x＜0，0＜x＜時，g（x）遞增． 作出g（x）的圖象，可得g（x）的極大值為g（）=， 由題意 可得當a＞時，f（x）存在唯一的零點x0，且x0＜0， 故選：D． 點睛:將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程a=解問題后，再進一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=a，的交點問題是解決本題的關鍵.通過討論的單調(diào)性，作出其大致圖像后，作圖討論兩函數(shù)的交點個數(shù)問題即可得出實數(shù) 的取值范圍. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.曲線在點A（0，1）處的切線方程為___________ 【答案】 【解析】 解：由題意得y′=ex， ∴在點A（0，1）處的切線的斜率k=e0=1， ∴所求的切線方程為y﹣1=x，即x﹣y+1=0， 14.設函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是_____． 【答案】 【解析】 解：由題意，f（x）≤2得， 解得0≤x＜1及1≤x≤4， 所以使得f（x）≤2成立的x的取值范圍是[0，4]； 故答案為：[0，4]； 本題函數(shù)圖象： 15.設內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知, 且．則邊=________ 【答案】 【解析】 解： 4sinA=4cosBsinC+bsin2C， ?4sin（B+C）=4cosBsinC+2bsinCcosC， ?4sinBcosC+4cosBsinC=4cosBsinC+2bsinCcosC， ?4sinBcosC=2bsinCcosC， ?4sinB=2bsinC，（C≠，cosB≠0） ?4b=2bc，（） ?c=2 點睛：應用正弦定理、余弦定理解三角形問題時要注意邊化角、角化邊的運用，同時還需注意三角形其他性質(zhì)的運用，如：大角對大邊；兩邊之和大于第三邊等等. 16.設函數(shù)的圖象與（為常數(shù)）的圖象關于直線對稱．且，則 =______． 【答案】 【解析】 解：函數(shù)y=f（x）的圖象與y=lg(x+a)（a為常數(shù)）的圖象關于直線y=x對稱， ∴f（x）=10﹣x+a， ∴, 解得a=1； ∴ f（﹣1）=10+1=9． 故答案為：9． 點睛：熟練掌握求函數(shù)反函數(shù)及函數(shù)圖像變換方法是解決本題的關鍵.這里先求出y=lg(x+a)反函數(shù)的解析式，再求反函數(shù)關于原點對稱的函數(shù)的解析式即可得到的解析式. 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：60分。 17.已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的對稱軸方程； （2）將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，然后再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．若，，分別是△三個內(nèi)角，，的對邊，，，且，求的值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 試題分析：（1）先運用二倍角公式將轉(zhuǎn)化為 的形式后再令，解出x即為的對稱軸方程；（2）由三角函數(shù)圖像平移變換、伸縮變換的方法求出的解析式,再由求出角B后，應用余弦定理即可求出b值. 試題解析： 解：（Ⅰ）函數(shù) ， 令， 解得，， 所以函數(shù)f（x）的對稱軸方程為，，． （Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象各點縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象， 再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象， 所以函數(shù)． 又△ABC中，（B）=0，所以，又， 所以，則． 由余弦定理可知，， 所以. 18.如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，．為與的交點，為棱上一點, （1）證明：平面⊥平面； （2）若三棱錐的體積為， 求證：∥平面． 【答案】(1)見解析 (2) 見解析 【解析】 試題分析：（1）要證明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知需在平面平面內(nèi)找到一條直線垂直于另一個平面,通過分析后易知AC⊥平面PBD，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）由VP﹣EAD，需作出三棱錐的高，為此通過觀察分析后，我們?nèi)D中點H，連結(jié)BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點E作EF∥BH，交PH于點F,易證BH⊥平面PAD，再由EF∥BH，可得EF⊥平面PAD，故EF為三棱錐的高， 再由VP﹣EAD，可求出EF的值，又由∠BAD=60，BH⊥AD，可求出BH的值，至此易知，即E為PB中點，而O為BD中點，所以OE為△PBD的中位線，由三角形中位線性質(zhì)可得OE∥PD，再由線面平行判定定理PD∥平面EAC． 試題解析： 證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD， ∴AC⊥平面PBD， 又∵AC?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB． （2）取AD中點H，連結(jié)BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點E作EF∥BH，交PH于點F， ∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60， ∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D， ∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD， 可得：BH=AB=， ∴VP﹣EAD=VE﹣PAD=SPADEF= ， ∴EF=， ∴，可得E為PB中點， 又∵O為BD中點， ∴OE∥PD， ∵PD?平面EAC，OE?平面EAC， ∴PD∥平面EAC． 點睛：作出三棱錐的高是解決問題（2）的關鍵.該題還可以應用空間向量來解決. 19.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一型號零件．記生產(chǎn)的零件的尺寸為（cm)，相關行業(yè)質(zhì)檢部門規(guī)定：若，則該零件為優(yōu)等品；若，則該零件為中等品；其余零件為次品．現(xiàn)分別從甲、乙機床生產(chǎn)的零件中各隨機抽取50件，經(jīng)質(zhì)量檢測得到下表數(shù)據(jù)： 尺寸 甲零件頻數(shù) 2 3 20 20 4 1 乙零件頻數(shù) 3 5 17 13 8 4 （Ⅰ）設生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元.若將頻率視為概率，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估算甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望； （Ⅱ）對于這兩臺機床生產(chǎn)的零件，在排除其它因素影響的情況下，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”，并說明理由. 參考公式：. 參考數(shù)據(jù)： 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0.010 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6.635 【答案】（1)（2)約有的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”. 【解析】 試題分析：解：（Ⅰ）設甲機床生產(chǎn)一件零件獲得的利潤為元，它的分布列為 3 1 0.8 0.14 0.06 則有=30.8+10.14+（-1）0.06=2.48（元）. 所以，甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望為2.48元. （Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知：甲機床優(yōu)等品40個，非優(yōu)等品10個；乙機床優(yōu)等品30個，非優(yōu)等品20個. 制作22列聯(lián)表如下: 甲機床 乙機床 合計 優(yōu)等品 40 30 70 非優(yōu)等品 10 20 30 合計 50 50 100 計算=. 考察參考數(shù)據(jù)并注意到，可知：對于這兩臺機床生產(chǎn)的零件，在排除其它因素影響的情況下，根據(jù)樣本估計總體的思想，約有95%的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”． 考點：列聯(lián)表，直方圖，期望，分布列 點評：本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎知識和獨立性檢驗、頻率估計概率、樣本估計總體等統(tǒng)計思想方法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想． 20.在平面直角坐標系中，點，點在軸上，點在軸非負半軸上，點滿足： （1）當點在軸上移動時，求動點的軌跡C的方程； （2）設為曲線C上一點，直線過點且與曲線C在點處的切線垂直，與C的另一個交點為，若以線段為直徑的圓經(jīng)過原點，求直線的方程． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 試題分析：（1）由點在軸上，點在軸非負半軸上且為動點，可設出設A（a，0），B（0，b），M（x，y）,由關系,將向量坐標代入可得動點的軌跡C的方程. (2)設Q（m，2m2）, 直線過點且與曲線C在點處的切線垂直,可求出直線l的方程為y﹣2m2=（x﹣m）,設,聯(lián)立與C的方程，并由韋達定理可得,, （2m2）yR，2m2yR，又由線段為直徑的圓經(jīng)過原點，所以，即mxR+（2m2）yR=0，整理后可求出直線的方程． 試題解析： 解：（Ⅰ）設A（a，0），M（x，y），B（0，b），則=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1） ∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b ∵，∴有a（x﹣a）+y=0 ∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0 即C的方程是y=2x2； （Ⅱ）設Q（m，2m2），直線l的斜率為k，則y′=4x，∴k= ∴直線l的方程為y﹣2m2=（x﹣m） 與y=2x2聯(lián)立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，該方程必有兩根m與xR，且mxR=﹣m2﹣ ∴（2m2）yR=4（﹣m2﹣）2 ∵，∴mxR+（2m2）yR=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m= ∴直線l的方程為． 21.已知為實常數(shù)，函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ） 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)； （Ⅱ） 的取值范圍是 【解析】 試題分析： （1）求出函數(shù)的定義域后對函數(shù)進行求導，通過討論導函數(shù)的符號，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.（2）在（1）的基礎上知，函數(shù)有兩個不同的零點的必要條件是a＞0且（）=ln＞0，解得0＜a＜1.為求充分條件，通過分析后取x=（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，由函數(shù)零點存在定理知在（，）存在一個零點. 再取x=，通過分析后（）＜0，易知存在x∈（，），使得（x）=0，所以可知0＜a＜1時函數(shù)有兩個不同的零點. 試題解析： 解：（Ⅰ）（x） =lnx+1﹣ax， 函數(shù)（x）的定義域為（0，+∞），其導數(shù)′（x）=． ①當a≤0時，′（x）＞0，函數(shù)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)； ②當a＞0時，′（x）＞0?0＜x＜；′（x）＜0?x＞． 所以函數(shù)（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，當a≤0時，函數(shù)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個零點； 當a＞0時，函數(shù)（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)， 此時（）為函數(shù)g（x）的最大值， 若（）≤0，則函數(shù)（x）最多有一個零點，不合題意， 所以（）=ln＞0，解得0＜a＜1． 因為，＜1＜＜，?。ǎ?﹣1﹣+1=﹣＜0， 則x1∈（，），使得（x1）=0； ?。ǎ?2﹣2lna﹣（0＜a＜1）， 令F（a）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），則F′（a）=﹣+=＞0，（0＜a＜1）， 所以F（a）在（0，1）上單調(diào)遞增． 所以F（a）＜F（1）=2﹣e＜0，即（）＜0，則x2∈（，），使得（x2）=0， 故函數(shù)（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1＜x2），且x1，x2∈（，）． 綜上a的取值范圍是（0，1）． 點睛：討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時，求導后需對參數(shù)進行分類討論；討論函數(shù)的零點問題很多時候需將函數(shù)零點存在定理與單調(diào)性結(jié)合起來，通過不斷嘗試后，在合適區(qū)間上討論. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 22.[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線． （1）說明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標方程； （2）已知與的交于，兩點，且過極點，求線段的長． 【答案】（Ⅰ） 為以為圓心，以 為半徑的圓； （Ⅱ） 【解析】 試題分析： （1）為知是哪種曲線，需將的參數(shù)方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標方程.(2)先將與方程化為普通方程，易知AB為與的公共弦長，在求出弦AB的方程后，由點到直線的距離公式求出C2（0，1）到公共弦的距離為，由勾股定理即可求出 試題解析： 解：（1）∵曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）． ∴C1的普通方程為， ∴C1為以C1（，0）為圓心，以a為半徑的圓， 由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C1的極坐標方程為． （2）解法一：∵曲線． ∴, 二者相減得公共弦方程為, ∵AB過極點，∴公共弦方程過原點， ∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程為， 則C2（0，1）到公共弦的距離為． ∴. 解法二：∵AB：θ=θ0， ∴與ρ2=2ρsinθ+6為ρ的同解方程， ∴或θ=． ∴． 23.[選修4—5：不等式選講] 已知函數(shù)． （1）當時，求不等式的解集； （2）若不等式的解集包含，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ） ，或 （Ⅱ）或 【解析】 試題分析： （1）主要考查了含絕對值不等式的解法.當時，這里可采用零點分段法即可解出不等式的解集.（2）不等式的解集包含，易知當x∈[1，3]時，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，適當變形為|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1，即得|x﹣a|≥1在x∈[1，3]恒成立. 試題解析： 解：（1）當a=3時，求不等式f（x）≥3，即|x﹣3|+|x﹣5|≥3， ∴①，或 ②，或③． 解①求得x≤；解②求得x∈；解③求得x≥． 綜上可得，不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤，或 x≥}． （2）若不等式f（x）≥|x﹣6|的解集包含[1，3]， 等價于當x∈[1，3]時，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立， 即|x﹣a|+|x﹣5|≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1恒成立，即|x﹣a|≥1 恒成立， ∴x﹣a≥1，或 x﹣a≤﹣1恒成立，即a≤x﹣1，或a≥x+1 恒成立，∴a≤0，或a≥4． 綜上可得，a≤0，或a≥4．