2018高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點(diǎn)、直線、面的位置關(guān)系12 面面垂直的性質(zhì)習(xí)題 蘇教版必修2.doc

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面面垂直的性質(zhì) （答題時(shí)間：40分鐘） *1. 空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是________。 **2. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，AD⊥BC，D為垂足，以AD為折痕，將△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，如圖所示，有下列結(jié)論： ①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等邊三角形。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為________個(gè)。 *3. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是________。 ①AB∥m?、贏C⊥m?、跘B∥β?、蹵C⊥β **4. 如圖所示，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個(gè)結(jié)論： ①AC⊥BD； ②△ACD是等邊三角形； ③AB與平面BCD成60的角； ④AB與CD所成的角是60； 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是________個(gè)。 *5. 設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題： ①若m?β，α⊥β，則m⊥α；②若m∥α，m⊥β，則α⊥β； ③若α⊥β，α⊥γ，則β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β； 上面命題中，真命題的序號(hào)是________。 *6. 設(shè)α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么，下列結(jié)論正確的是________。 ①a與b可能垂直，但不可能平行；②a與b可能垂直，也可能平行； ③a與b不可能垂直，但可能平行；④a與b不可能垂直，也不可能平行。 **7. 已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足。 （1）求證：PA⊥平面ABC； （2）當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，求證：△ABC是直角三角形。 **8. 如圖，A，B，C，D為空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 （1）當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD的長； （2）當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論。 ***9. 已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點(diǎn)A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30，∠ACO＝45，求二面角A－BC－O的大小。  1. 直角三角形 解析：如圖所示，連接BD，作AE⊥BD于點(diǎn)E，因平面ABD⊥平面BCD，易知AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以BC⊥AE； 又因AD⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以BC⊥AD，AE∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD，AB?平面ABD，則BC⊥AB，所以△ABC為直角三角形。 2. 4 解析：①正確，因∠BDC為二面角B－AD－C的平面角，由題意知∠BDC＝90，所以BD⊥CD；②正確，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；③正確，因折疊后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；④正確，因AD＝BD＝DC，且以D為頂點(diǎn)的三個(gè)角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC為等邊三角形。 3. ④ 解析：如圖所示，AB∥l∥m，故①成立； AC⊥l，m∥l?AC⊥m，故②成立；AB∥l?AB∥β，故③成立，故選④。 4. 3 解析：設(shè)BD的中點(diǎn)為E，連接AE，CE，易證BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，所以AC⊥BD，故①正確；由于AE＝CE＝ED，易知AC＝AD＝CD，故②正確； 由AE⊥平面BCD，∠ABE為AB與平面BCD所成的角，所以∠ABE＝45，故③錯(cuò)誤；如圖所示，設(shè)AC，AD的中點(diǎn)分別為G，F(xiàn)，連接EF，EG，GF， 因EF∥AB，GF∥CD，則∠EFG為AB與CD所成的角，設(shè)AB＝1， 在Rt△AEC中，EG＝AC，AC＝＝＝1， 所以EG＝＝EF＝FG，所以△EFG為等邊三角形，故④正確。 5. ② 解析：逐一將假命題排除即可得出正確答案。①錯(cuò)，當(dāng)m?α?xí)r，則m⊥α為假命題；②對(duì)，當(dāng)m∥α，m⊥β，則有m∥n，n?α且n⊥β，所以α⊥β；③錯(cuò)，由α⊥β，α⊥γ，β與γ垂直沒有傳遞性，則β⊥γ為假命題；④錯(cuò)，由α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n得α∥β或者α與β相交；所以真命題的序號(hào)是②。 6. ③ 解析：由題意，當(dāng)a∥l，l∥b時(shí)，a∥b；故①，④錯(cuò)； 若a⊥b，∵b與l不垂直，在b上取點(diǎn)A，過A作AB⊥l， 由面面垂直的性質(zhì)定理得AB⊥α， ∵a?α，∴AB⊥a，又a⊥b，AB∩b＝A， ∴a⊥β?a⊥l，這和a與l不垂直相矛盾， ∴不可能a⊥b，故②錯(cuò)，③正確。 7. 證明：（1）在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥AB于點(diǎn)G. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC， ∴DF⊥平面PAC， ∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA， 同理可證，DG⊥PA， ∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC； （2）連接BE并延長交PC于點(diǎn)H， ∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH， 又∵AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE。 ∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE， ∴PC⊥AB， 又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB， ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形。 8. 解：（1）取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE， ∵△ADB是等邊三角形，∴DE⊥AB， 當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)， ∵平面ADB∩平面ABC＝AB， ∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE， 由已知可得DE＝，EC＝1， 在Rt△DEC中，CD＝＝2； （2）當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 總有AB⊥CD，證明如下： ①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，∵AC＝BC，AD＝BD， ∴C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD。 ②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由（1）知AB⊥DE， 又∵AC＝BC，∴AB⊥CE， 又DE，CE為相交直線，∴AB⊥平面CDE， 由CD?平面CDE，得AB⊥CD， 綜上所述，總有AB⊥CD。 9. 解：如圖所示，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD， ∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC， 又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD， 而AD?平面AOD，∴AD⊥BC， ∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角， 由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC， 又∠ABO＝30，∠ACO＝45， ∴設(shè)AO＝a，則AC＝，AB＝2a， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90， ∴BC＝， ∴AD＝＝＝， 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝， ∴∠ADO＝60，即二面角A－BC－O的大小是60。