2018版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.1 第2課時 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用學案 蘇教版選修2-3.doc

第2課時分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用學習目標鞏固分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并能靈活應用這兩個計數(shù)原理解決實際問題知識點一兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種類不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整知識點二兩個計數(shù)原理的綜合應用解決較為復雜的計數(shù)問題，一般要將兩個計數(shù)原理綜合應用使用時要做到目的明確，層次分明，先后有序，還需特別注意以下兩點：(1)合理分類，準確分步：處理計數(shù)問題，應扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準分類時需要滿足兩個條件：類與類之間要互斥(保證不重復)；總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個合理的分類標準分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性(2)特殊優(yōu)先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想類型一排數(shù)問題例1用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？引申探究由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？反思與感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位跟蹤訓練1用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答)類型二抽取(分配)問題例2如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為_反思與感悟解決抽取(分配)問題的方法(1)當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法(2)當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：直接使用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若是按對象特征抽取的，則按分類進行；間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可跟蹤訓練2有四位同學參加三項不同的競賽(1)每位學生必須參加且只能參加一項競賽，有多少種不同結果？(2)每項競賽只許一位學生參加，有多少種不同的結果？類型三涂色與種植問題引申探究若本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？例3將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？1234反思與感悟涂色問題的四個解答策略涂色問題是考查計數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問題的關鍵是要找準分類標準，求解涂色問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用的方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，并用分步計數(shù)原理計算(2)以顏色為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類計數(shù)原理計算(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標準跟蹤訓練3如圖所示，將四棱錐SABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)例4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有_種反思與感悟按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生過程分步是計數(shù)問題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關鍵，是驗證所提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都能完成這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進了一步跟蹤訓練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法1用0,1,2,3組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)有_個2在2,3,5,7,11這五個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字組成分數(shù)，其中假分數(shù)的個數(shù)為_3有5名同學被安排在周一至周五值日，每人值日一天已知同學甲只能在周三值日，那么這5名同學值日順序的安排方案共有_種4如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有_種5如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有_種ABCD1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是兩個最基本、也是最重要的原理，是解答后面將要學習的排列、組合問題，尤其是較復雜的排列、組合問題的基礎2應用分類計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應用分步計數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨立的步驟3一般是先分類再分步，分類時要設計好標準，設計好分類方案，防止重復和遺漏4若正面分類的種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些答案精析題型探究例1解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有55553125(種)(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(種)(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4312(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有23318(種)排法因而有121830(種)排法即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)引申探究解完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個還有三個，可任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法由分步計數(shù)原理知共有233236(個)跟蹤訓練114解析因為四位數(shù)的每個數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數(shù)有24214(個)例218解析從E點到F點的最短路徑有6條，從F點到G點的最短路徑有3條，所以從E點到G點的最短路徑條數(shù)為6318.跟蹤訓練2解(1)學生可以選擇競賽項目，而競賽項目對于學生無條件限制，所以每位學生均有3個不同的機會，要完成這件事必須是每位學生參加的競賽全部確定下來才行，因此需分四步而每位學生均有3個不同選擇，所以用分步計數(shù)原理可得33333481(種)不同結果(2)競賽項目可挑選學生，而學生無選擇項目的機會，每一個項目可挑選4位不同學生中的一位要完成這件事必須是每項競賽所參加的學生全部確定下來才行，因此需分三步，用分步計算原理可得4444364(種)不同結果例3解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法(1)當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4312(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知有5123180(種)不同的涂法(2)當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知有54480(種)不同的涂法由分類計數(shù)原理可得共有18080260(種)不同的涂法引申探究解依題意，可分兩類情況：不同色；同色第一類：不同色，則所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成第一步涂，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂與第四步涂時，分別有3種涂法和2種涂法于是由分步計數(shù)原理可得，不同的涂法為5432120(種)第二類：同色，則不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成第一步涂，有5種涂法；第二步涂，有4種涂法；第三步涂，有3種涂法于是由分步計數(shù)原理得，不同的涂法有54360(種)綜上可知，所求的涂色方法共有12060180(種)跟蹤訓練3解由題意，四棱錐SABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有54360(種)染色方法當S，A，B染色確定時，不妨設其顏色分別為1,2,3.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法由分類計數(shù)原理知，當S，A，B染法確定時，C，D有7種染法由分步計數(shù)原理得，不同的染色方法有607420(種)例442解析分別用a、b、c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有224(種)方法(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法，若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法綜上，共有32(2221)42(種)方法跟蹤訓練4解方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有326(種)不同的種植方法同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有326(種)不同的種植方法故不同的種植方法共有6318(種)方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有43224(種)，其中不種黃瓜有3216(種)，故不同的種植方法共有24618(種)當堂訓練182.103.244.135.108