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2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 3 參數(shù)方程和普通方程的互化講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc

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2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 一 曲線的參數(shù)方程 3 參數(shù)方程和普通方程的互化講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc

3參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程和普通方程的互化(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識別曲線類型,曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地,可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程(2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致 把曲線的普通方程化為參數(shù)方程例1根據(jù)所給條件,把曲線的普通方程化為參數(shù)方程(1)1,xcos 1,(為參數(shù));(2)x2yx10,xt1,(t為參數(shù))解(1)將xcos 1代入1,得y2sin .(為參數(shù))這就是所求的參數(shù)方程(2)將xt1代入x2yx10,得yx2x1(t1)2t11t23t1,(t為參數(shù))這就是所求的參數(shù)方程普通方程化為參數(shù)方程時的注意點(1)選取參數(shù)后,要特別注意參數(shù)的取值范圍,它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價(2)參數(shù)的選取不同,得到的參數(shù)方程是不同的如本例(2),若令xtan (為參數(shù)),則參數(shù)方程為(為參數(shù))1.如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),則圓x2y2x0的參數(shù)方程為_解析:由題意得圓的方程為2y2,圓心在x軸上,半徑為,則該圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),注意為圓心角,為圓弧所對的圓周角,則有2,故即(為參數(shù))答案:(為參數(shù))將參數(shù)方程化為普通方程例2將下列參數(shù)方程化為普通方程:(1)(t為參數(shù));(2)(為參數(shù))思路點撥(1)可采用代入法,由x1解出,代入y的表達式;(2)采用三角恒等變換求解解(1)由x1得 1x,將其代入y12得y32x.因為0,所以x11,所以參數(shù)方程化為普通方程為y32x(x1)方程表示的是以(1,1)為端點的一條射線(包括端點)(2)由得,22得1(5x5,5y3)將參數(shù)方程化為普通方程的三種方法(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù);(2)利用三角恒等式消去參數(shù);(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,選用一些靈活的方法從整體上消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程時,要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍2參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為()Ax2y21Bx2y21去掉(0,1)點Cx2y21去掉(1,0)點Dx2y21去掉(1,0)點解析:選D結(jié)合題意,x2y2221,x11,故選D.3已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),則曲線的普通方程為()Ay21xBy21xCy21x(y) D以上都不對解析:選C因為ycos sin cos,所以y, ,由y212sin cos 1sin 2,得y21x,y, ,故選C.一、選擇題1將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為()Ayx2Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)解析:選C方程可化為yx2,x2,3,y0,1,故選C.2參數(shù)方程(為參數(shù))表示的曲線是()A直線 B圓C線段 D射線解析:選Cxcos20,1,ysin20,1,xy1(x0,1)為線段3曲線(為參數(shù))的對稱中心()A在直線y2x上B在直線y2x上C在直線yx1上D在直線yx1上解析:選B將(為參數(shù))化為普通方程為(x1)2(y2)21,其表示以(1,2)為圓心,1為半徑的圓,其對稱中心即圓心,顯然(1,2)在直線y2x上,故選B.4已知曲線C:(t為參數(shù)),A(1,0),B(1,0),若曲線C上存在點P滿足APBP0,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B1,1C, D2,2解析:選C設(shè)P(x,y),A(1,0),B(1,0),點P滿足APBP0,P的軌跡方程是x2y21,表示圓心為(0,0),半徑為1的圓曲線C:(t為參數(shù))化成普通方程為xya0,由題意知,圓心(0,0)到直線xya0的距離d1,a.二、填空題5x2y22x4y10化為參數(shù)方程為_解析:x2y22x4y10化成標準方程是(x1)2(y2)24,表示圓心為(1,2),半徑為2的圓,故參數(shù)方程為(為參數(shù))答案:(為參數(shù))6直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)為_解析:(t為參數(shù))化為普通方程為xy1,(為參數(shù))化為普通方程為x2y29,表示以(0,0)為圓心,3為半徑的圓圓心(0,0)到直線的距離為,小于半徑3,所以直線與圓相交因此,交點的個數(shù)為2.答案:27已知曲線C的極坐標方程為2cos .以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系,則曲線C的參數(shù)方程為_解析:曲線C的直角坐標方程是(x1)2y21,其參數(shù)方程為(為參數(shù))答案:(為參數(shù))三、解答題8把下列參數(shù)方程化為普通方程,并說明它們各表示什么曲線(1)(t為參數(shù),t0);(2)(t2)解:(1)由得ty1,又t0,所以y1.所以x4(y1)2(y1),即(y1)2x(y1)方程表示的是頂點為(0,1),對稱軸平行于x軸,開口向左的拋物線的一部分(2)由得1.t2,2x2,3y0.所求方程為1(3y0),它表示半個橢圓.9如圖所示,經(jīng)過圓x2y24上任一點P作x軸的垂線,垂足為Q,求線段PQ中點軌跡的普通方程解:圓x2y24的參數(shù)方程為(為參數(shù))在此圓上任取一點P(2cos ,2sin ),則PQ的中點為M(2cos ,sin ),所以PQ中點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)),化成普通方程y21.10已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為2cos 6sin .(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程,將曲線C2的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)曲線C1,C2是否相交?若相交,請求出公共弦的長;若不相交,請說明理由解:(1)由(為參數(shù))得(x2)2y210,曲線C1的普通方程為(x2)2y210.2cos 6sin ,22cos 6sin ,x2y22x6y,即(x1)2(y3)210.曲線C2的直角坐標方程為(x1)2(y3)210.(2)圓C1的圓心為(2,0),圓C2的圓心為(1,3),|C1C2|32,兩圓相交設(shè)相交弦長為d,兩圓半徑相等,公共弦平分線段C1C2,22()2,解得d,公共弦長為.

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