2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 幾何概型 3.3.1 幾何概型優(yōu)化練習(xí) 新人教A版必修3.doc

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3.3.1 幾何概型 [課時(shí)作業(yè)] [A組　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．如圖，A是圓O上固定的一點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，它是一條弦，它的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：如圖，當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，∠AOA′＝，由圓的對(duì)稱(chēng)性及幾何概型得P＝＝.故選C. 答案：C 2．如圖所示，以邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的一邊AB為直徑在其內(nèi)部作一半圓．若在正方形中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自半圓部分的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：所求概率P＝＝.故選D. 答案：D 3．已知地鐵列車(chē)每10 min一班，在車(chē)站停1 min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：總的時(shí)間段長(zhǎng)為10 min，在車(chē)站停1 min， ∴P＝. 答案：A 4．已知點(diǎn)P，Q為圓C：x2＋y2＝25上的任意兩點(diǎn)，且|PQ|＜6，若PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域M如圖陰影部分所示，那么在C內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為＝，故選B. 答案：B 5．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1 (x＋)≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：由－1≤ (x＋)≤1得，≤log(x＋)≤，≤x＋≤2,0≤x≤，所以由幾何概型概率的計(jì)算公式得，P＝＝，故選A. 答案：A 6．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧 的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_______． 解析：如圖可設(shè)與的長(zhǎng)度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是. 答案： 7．廣告法對(duì)插播廣告時(shí)間有規(guī)定，某人對(duì)某臺(tái)的電視節(jié)目作了長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)后得出結(jié)論，他任意時(shí)間打開(kāi)電視機(jī)看該臺(tái)節(jié)目，看不到廣告的概率約為，那么該臺(tái)每小時(shí)約有________分鐘廣告． 解析：這是一個(gè)與時(shí)間長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，這人看不到廣告的概率為，則看到廣告的概率約為，故60＝6. 答案：6 8．已知線段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作為長(zhǎng)方體的高，再將線段BC任意分成兩段作為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，則長(zhǎng)方體的體積超過(guò)128 cm3的概率為_(kāi)_______． 解析：依題意，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為x cm，則相應(yīng)的寬為(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x2－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于＝. 答案： 9．一個(gè)路口的紅燈亮的時(shí)間為30秒，黃燈亮的時(shí)間為5秒，綠燈亮的時(shí)間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見(jiàn)下列三種情況的概率各是多少？ (1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮． 解析：在75秒內(nèi)，每一時(shí)刻到達(dá)路口亮燈的時(shí)間是等可能的，屬于幾何概型． (1)P＝＝＝； (2)P＝＝＝； (3)P＝＝ ＝＝. 10．在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，求使MABCD的體積小于的概率． 解析：設(shè)點(diǎn)M到面ABCD的距離為h， 則VMABCD＝S底ABCDh＝，即h＝. 所以只要點(diǎn)M到面ABCD的距離小于時(shí)，即滿足條件． 所有滿足點(diǎn)M到面ABCD的距離小于的點(diǎn)組成以面ABCD為底，高為的長(zhǎng)方體，其體積為. 又因?yàn)檎襟w體積為1， 所以使四棱錐MABCD的體積小于的概率為P＝＝. [B組　應(yīng)考能力提升] 1．如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a，b(a>b>0)的矩形內(nèi)畫(huà)一個(gè)梯形，梯形上、下底長(zhǎng)分別為與，高為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：兩“幾何度量”即為兩面積，直接套用幾何概型的概率公式．S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)b＝ab，所以所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為＝＝. 答案：C 2．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)．且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得B(1,0)，C(1,2)，D(－2,2)，F(xiàn)(0,1)，則矩形ABCD的面積為32＝6，陰影部分的面積為31＝，故該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于＝. 答案：B 3.如圖，在圓心角為90的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30的概率是________． 解析：將圓心角為90的扇形等分成三部分： 當(dāng)射線OC位于中間一部分時(shí)，使得∠AOC和∠BOC都不小于30， ∴使得∠AOC和∠BOC都不小于30的概率為： P＝中間部分的圓心角大小整個(gè)扇形的圓心角的大小＝3090＝，故使得∠AOC和∠BOC都不小于30的概率為. 答案： 4．如圖所示，墻上掛著一塊邊長(zhǎng)為16 cm 的正方形木板，上面畫(huà)了大、中、小三個(gè)同心圓，半徑分別為6 cm，4 cm，2 cm.某人站在3 m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒(méi)有擊中木板時(shí)都不算，可重投，問(wèn)： (1)投中大圓內(nèi)的概率是多少？ (2)投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？ (3)投中大圓之外的概率是多少？ 解析：整個(gè)正方形木板的面積，即基本事件所占的區(qū)域總面積D＝1616＝256(cm2)． 設(shè)“投中大圓內(nèi)”為事件A，“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”為事件B，“投中大圓之外”為事件C，則 事件A所占區(qū)域面積為dA＝π62＝36π(cm2)； 事件B所占區(qū)域面積為 dB＝π42－π22＝16π－4π＝12π(cm2)； 事件C所占區(qū)域面積為 dC＝D－dA＝(256－36π)(cm2)． 由幾何概型的概率公式，得 (1)P(A)＝＝＝π， 即投中大圓內(nèi)的概率為π. (2)P(B)＝＝＝π， 即投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率為π. (3)P(C)＝＝＝1－π， 即投中大圓之外的概率為1－π. 5.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． 解析：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，此方程有實(shí)根的條件是(2a)2－4b2≥0，即a≥b. (1)基本事件共有12個(gè)，分別是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括號(hào)內(nèi)第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值． 事件A中包含9個(gè)基本事件，故事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，而構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，即如圖所示的陰影部分，所以P(A)＝＝.