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第2講 一元二次不等式的解法
本專題在初中學習方程、不等和函數(shù)的基礎上，根據(jù)高中學習的需要，共同學習簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法。
【知識梳理】
一元二次不等式的解：
函數(shù)、方程與不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的圖象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有兩相異實根
x1,x2(x1＜x2)
有兩相等實根
x1＝x2＝
－
無實根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
x
x2
x≠－
一切實數(shù)
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
x1＜x＜x2
無解
無解
今后，我們在解一元二次不等式時，如果二次項系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以－1，將不等式變成二次項系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式．
【高效演練】
1.下列哪個不等式是一元二次不等式（ ?。?
A．x2+x＜﹣1 B．x2++1＜0
C．x2++1＜0 D．x+1＜0
【解析】只有是一元二次不等式，而+1＜0含有根式，沒有定義次數(shù)，
0是分式不等式，不定義次數(shù)，
x+1＜0是一元一次不等式．故選：A．
【答案】A
2．不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【解析】由，可得；，
所以原不等式的解集為。
【答案】C
3.一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為R，則必有（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由題意，結(jié)合圖象與二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案．
4.一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍是（ ?。?
A． B．
C． D．
【分析】由二次項系數(shù)小于0，對應的判別式小于0聯(lián)立求解．
【解答】解：由一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0對一切實數(shù)x都成立，
則，解得﹣3＜k＜0．
綜上，滿足一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是
【答案】A
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了“三個二次”的結(jié)合解題。
5.已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＜0的解集為 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點，再寫出x軸下方部分的x的取值范圍即可．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式，主要利用了二次函數(shù)的對稱性以及數(shù)形結(jié)合的思想，難點在于先求出函數(shù)圖象與x軸的另一個交點坐標．
6.解下列不等式：
(1)x2－7x＋12＞0；
(2)x2－2x＋1＜0；
(3)－x2－2x＋3≥0；
(4)x2－2x＋2＞0.
【解析】(1)方程x2－7x＋12＝0的解為x1＝3，x2＝4.
而y＝x2－7x＋12的圖象開口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是x＜3或x＞4.
(2)方程x2－2x＋1＝0有兩個相同的解x1＝x2＝1.
而y＝x2－2x＋1的圖象開口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集為無解
(3)不等式兩邊同乘以－1，原不等式可化為x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解為x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的圖象開口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是－3≤x≤1．
(4)因為Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0無實數(shù)解，而y＝x2－2x＋2的圖象開口向上，
可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集為一切實數(shù)。
7.已知一元二次不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是1＜x＜3；
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）解不等式 ．
【分析】（1）由題意可得1和3是x2﹣ax﹣b=0的實數(shù)根，利用韋達定理求得 a和b的值．
（2）不等式即＞1，即＞0，即（x﹣3）?（x+7）＞0，解一元二次不等式，求得x的范圍．
【解答】解：（1）因為不等式 一元二次不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是1＜x＜3；
∴1和3是x2﹣ax﹣b=0的實數(shù)根，
∴1+3=a，13=﹣b，即 a=4，b=﹣3．
（2）不等式＞1，即為＞1，即＞0，
即（x﹣3）?（x+7）＞0，
∴x＞3，或 x＜﹣7，
故原不等式的解集為x＞3或 x＜﹣7．
【點評】本題主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．
8．不等式x2－ax－b<0的解集為20的解集為.
【解析】由題意知2,3是方程x2－ax－b＝0的解，
∴∴
∴不等式bx2－ax－1>0為－6x2－5x－1>0,6x2＋5x＋1<0，
∴ 解集為
9.解關于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0
【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或；
若a＞0，原不等式，
其解的情況應由與1的大小關系決定，故
（1）當a=1時，原不等式無解；
（2）當a＞1時，原不等式；
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