2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

第三章 統(tǒng)計案例1本章知識大串燒一、獨立性檢驗的基本思想通過分析數(shù)據(jù)與圖形，得出的估計是粗略的，因為我們說的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是說得到的結(jié)論是直觀上的印象，其實與是否有關(guān)還是有較大的差距的下面從理論上說明兩個變量是否有關(guān)，請同學(xué)們從中體會其思想方法1基本思想與圖形的聯(lián)系假設(shè)兩個變量是無關(guān)的，可知如下的比應(yīng)差不多，即：|adbc|0.構(gòu)造統(tǒng)計量2(其中nabcd)(此公式如何記憶，其特點是什么？結(jié)合22列聯(lián)表理解)，顯然所構(gòu)造的統(tǒng)計量與|adbc|的大小具有一致性2獨立性檢驗的思想方法如果2的值較大，說明其發(fā)生(無關(guān)系)的概率很小，此時不接受假設(shè)，也就是兩個變量是有關(guān)系的(稱小概率事件發(fā)生)；如果2的值較小，此時接受假設(shè)，說明兩分類變量是無關(guān)系的其思想方法類似于數(shù)學(xué)上的反證法3得到2的值常與以下幾個臨界值加以比較：如果2>2.706，就有90%的把握認為和有關(guān)系；如果2>3.841，就有95%的把握認為和有關(guān)系；如果2>6.635，就有99%的把握認為和有關(guān)系；如果2>10.828，就有99.9%的把握認為和有關(guān)系；如果22.706，就認為沒有充分的證據(jù)顯示和有關(guān)系像這種利用統(tǒng)計量2來確定在多大程度上可以認為“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為兩個變量的獨立性檢驗二、回歸分析1線性回歸方程 x ，其中： ， .(注： 主要方便計算，其中(xi，yi)為樣本數(shù)據(jù)，(，)為樣本點的中心)公式作用：通過刻畫線性相關(guān)的兩變量之間的關(guān)系，估計和分析數(shù)據(jù)的情況，解釋一些實際問題，以及數(shù)據(jù)的變化趨勢2樣本相關(guān)系數(shù)的具體計算公式r公式作用：反映兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱當(dāng)r的絕對值接近1時，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強；當(dāng)r的絕對值接近0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系規(guī)定當(dāng)|r|>r0.05時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)關(guān)系公式聯(lián)系：(1)由于分子與回歸方程中的斜率 的分子一樣(這也給出了公式的內(nèi)在聯(lián)系以及公式的記法)，因此，當(dāng)r>0時，兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，兩個變量負相關(guān)(2)常配合散點圖判斷兩個隨機變量是否線性相關(guān)散點圖是從形上進行粗略地分析判斷，這個判斷是可行的、可靠的，也是進行線性回歸分析的基礎(chǔ)，否則回歸方程失效；它形象直觀地反映了數(shù)據(jù)點的分布情況相關(guān)系數(shù)r是從數(shù)上反映了兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，以及線性相關(guān)關(guān)系的強弱，它較精確地反映了數(shù)據(jù)點的分布情況，準確可靠.2回歸分析題目擊破1基本概念函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系，回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法例1下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是_(填序號)正方形的邊長與面積之間的關(guān)系；水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；降雪量與交通事故發(fā)生率之間的關(guān)系分析兩變量之間的關(guān)系有兩種：函數(shù)關(guān)系和帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系解析是函數(shù)關(guān)系；不是嚴格的函數(shù)關(guān)系，但是具有相關(guān)性，因而是相關(guān)關(guān)系；既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了，因而它們不具有相關(guān)關(guān)系；降雪量與交通事故發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系答案點評該例主要考查對變量相關(guān)關(guān)系概念的掌握2線性回歸方程設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相應(yīng)于n個觀測值的n個點大致分布在一條直線的附近，這條直線就叫做線性回歸直線例2假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)線性回歸方程 x；(2)估計使用年限10年時，維修費用是多少？分析因為y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，所以可以用線性相關(guān)的方法解決問題解(1)制表i12345合計xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x49162536904，5，x90，xiyi112.3于是有 1.23， 51.2340.08.線性回歸方程為 1.23x0.08.(2)當(dāng)x10時， 1.23100.0812.38(萬元)，即估計使用10年時維修費用約是12.38萬元點評已知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進行相關(guān)性檢驗，否則，應(yīng)首先進行相關(guān)性檢驗3非線性回歸問題分析非線性回歸問題的具體做法(1)若問題中已給出經(jīng)驗公式，這時可以將解釋變量進行變換(換元)，將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問題化為線性回歸分析問題來解決(2)若問題中沒有給出經(jīng)驗公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，通過與各種函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象作比較，選擇一種與這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決下面舉例說明非線性回歸分析問題的解法例3某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調(diào)查，表中是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本x(單位：萬元)與人均產(chǎn)值y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)：人均資本x/萬元345.56.578910.511.514人均產(chǎn)值y/萬元4.124.678.6811.0113.0414.4317.5025.4626.6645.20(1)設(shè)y與x之間具有近似關(guān)系yaxb (a，b為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計a和b的值；(2)估計企業(yè)人均資本為16萬元時的人均產(chǎn)值(精確到0.01)解(1)在yaxb的兩邊取常用對數(shù)，可得lg ylg ablg x，設(shè)lg yz，lg aA，lg xX，則zAbX.相關(guān)數(shù)據(jù)計算如下表所示.人均資本x/萬元345.56.57人均產(chǎn)出y/萬元4.124.678.6811.0113.04Xlg x0.477 120.602 060.740 360.812 910.845 1zlg y0.614 90.669 320.938 521.041 791.115 28人均資本x/萬元8910.511.514人均產(chǎn)出y/萬元14.4317.5025.4626.6645.20Xlg x0.903 090.954 241.021 191.060 71.146 13zlg y1.159 271.243 041.405 861.425 861.655 14由公式(1)可得由lg 0.215 5，得 0.608 8，即a，b的估計值分別為0.608 8和1.567 7.(2)由(1)知 0.608 8x1.567 7.樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖所示當(dāng)x16時， 0.608 8161.567 747.01(萬元)，故當(dāng)企業(yè)人均資本為16萬元時，人均產(chǎn)值約為47.01萬元.3獨立性檢驗思想的應(yīng)用在日常生活中，經(jīng)常會面臨一些需要推斷的問題在對這些問題作出推斷時，我們不能僅憑主觀臆斷作出結(jié)論，需要通過試驗來收集數(shù)據(jù)，并依據(jù)獨立性檢驗思想做出合理的推斷所謂獨立性檢驗，就是根據(jù)采集樣本的數(shù)據(jù)，利用公式計算2的值，比較與臨界值的大小關(guān)系來判定事件X與Y是否有關(guān)的問題其基本步驟如下：(1)考察需抽樣調(diào)查的背景問題，確定所涉及的變量；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制作列聯(lián)表；(3)計算統(tǒng)計量2，并查表分析當(dāng)2很大時，就認為兩個變量有關(guān)系；否則就認為沒有充分的證據(jù)顯示兩個變量有關(guān)系下面舉例說明獨立性檢驗思想在解決實際問題中的應(yīng)用例1水果富含各種維生素，不但有益于人體健康，還可起到養(yǎng)顏護膚的功效下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：適量吃水果與皮膚好有關(guān)系嗎？有多大的把握認為你的結(jié)論成立？皮膚好皮膚不好合計適量吃水果30224254不吃水果241 3551 379合計541 5791 633解假設(shè)“適量吃水果與皮膚好沒有關(guān)系”，由題意可知，a30，b224，c24，d1 355，ab254，cd1 379，ac54，bd1 579，n1 633，代入得到268.033>10.828.我們有99.9%的把握認為吃水果與皮膚好有關(guān)系點評該例中我們有較大的把握認為結(jié)論成立，但我們所說的“吃水果與皮膚好有關(guān)系”指的都是統(tǒng)計上的關(guān)系，不要誤認為里面存在因果關(guān)系，具體到某一個適量吃水果的人，并不能說明他一定有好的皮膚例2某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機抽取了189名員工進行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：積極支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革合計工作積極544094工作一般326395合計86103189對于人力資源部的研究項目，根據(jù)上述數(shù)據(jù)能得出什么結(jié)論？分析首先由已知條件確定a、b、c、d、n的數(shù)值，再利用公式求出2的值，最后根據(jù)2的值分析結(jié)果解由題目中表的數(shù)據(jù)可知，210.759.因為10.759>7.879，所以有99.5%的把握說員工“工作積極”與“積極支持企業(yè)改革”有關(guān)，可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性是有關(guān)的點評在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及有關(guān)值的確定，避免混亂；把計算出的2的值與臨界值作比較，確定出“與有關(guān)系”的把握程度例3為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，統(tǒng)計結(jié)果為：患慢性氣管炎共有56人，患慢性氣管炎且吸煙的有43人，未患慢性氣管炎但吸煙的有162人根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，分析患慢性氣管炎與吸煙在多大程度上有關(guān)系？解根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)得到如下22列聯(lián)表：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計吸煙43162205不吸煙13121134總計56283339由列聯(lián)表可以粗略估計出：在吸煙者中，有20.98%的患慢性氣管炎；在不吸煙者中，有9.70%的患慢性氣管炎兩個比例的值相差較大，所以結(jié)論“患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)”成立的可能性較大根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到27.469>6.635.所以有99%的把握認為“患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)”點評對列聯(lián)表的比例進行分析，可粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系通過計算統(tǒng)計量2，可以比較精確地給出這種判斷的可靠程度先收集數(shù)據(jù)，然后通過一些統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行科學(xué)的分析，這是我們用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本策略.4巧解非線性回歸問題如果題目所給樣本點的分布不呈帶狀分布，即兩個變量不呈線性關(guān)系，那么，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量之間的關(guān)系，這時我們可以把散點圖和已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點擬合最好的函數(shù)，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的問題來解決，這是解決此類問題的通法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想1案例分析例一個昆蟲的某項指標和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表：溫度x/2345678某項指標y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801試建立某項指標y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果分析根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，再由圖設(shè)出相應(yīng)的回歸模型解畫出散點圖如圖所示，樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線yBx2A的周圍令Xx2，則變換后的樣本點應(yīng)該分布在ybXa(bB，aA)的周圍由已知數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表：X491625364964某項指標y5.7906.8108.19910.00112.19014.79017.801計算得到線性回歸方程為 0.199 94X4.999 03.用x2替換X，得某項指標y關(guān)于溫度x的回歸方程 0.199 94x24.999 03.計算得r0.999 999，幾乎為1，說明回歸模型的擬合效果非常好點評本題是非線性回歸分析問題，解決這類問題應(yīng)該先畫出散點圖，把它與我們所學(xué)過的函數(shù)圖象相對照，選擇一種跟這些樣本點擬合的最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題，使之得以解決2知識拓展常見的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：(1)冪型函數(shù)yaxm(a為正數(shù)，x，y取正值)解決方案：對yaxm兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g ylg amlg x，令ulg y，vlg x，則原式可變?yōu)閡mvlg a，其中m，lg a為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)(2)指數(shù)型函數(shù)ycax(a，c>0，且a1)解決方案：對ycax兩邊取常用對數(shù)，則有l(wèi)g ylg cxlg a，令ulg y，則原式可變?yōu)閡xlg alg c，其中l(wèi)g a和lg c為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)與冪函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對數(shù)lg y代替了y.(3)反比例函數(shù)y(k>0)解決方案：令u，則yku，該式表示y，u的線性函數(shù)(4)二次函數(shù)yax2c解決方案：令ux2，則原函數(shù)可變?yōu)閥auc，該式表示y，u的線性函數(shù)(5)對數(shù)型函數(shù)yclogax解決方案：令xau，則原函數(shù)可變?yōu)閥cu，該式表示y，u的線性函數(shù)