2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2.2 第一課時 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第一課時 組合與組合數(shù)公式 [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P21~24,思考以下問題 1.組合的概念是什么? 2.什么是組合數(shù)?組合數(shù)公式是怎樣的? 3.組合數(shù)有怎樣的性質(zhì)? [要點梳理] 1.組合的定義 從n個不同元素中取出m(n≥m)個元素合成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合. 2.組合數(shù)的概念、公式、性質(zhì) [自我診斷] 判斷(正確的打“√”,錯誤的打“”) 1.從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是C.( ) 2.從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得C個積.( ) 3.1,2,3與3,2,1是同一個組合.( ) 4.C=543=60.( ) [答案] 1. 2.√ 3.√ 4. 思考:區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵是什么? 提示:關(guān)鍵是看它有無順序,有順序的是排列問題,無順序的是組合問題. (1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題: ①設(shè)集合A={a,b,c,d,e},則集合A的子集中含有3個元素的有多少個? ②某鐵路線上有5個車站,則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票?多少種票價? ③3人去干5種不同的工作,每人干一種,有多少種分工方法? ④把3本相同的書分給5個學(xué)生,每人最多得1本,有幾種分配方法? (2)從5個不同元素a,b,c,d,e中任取2個,寫出所有不同的組合. [思路導(dǎo)引] 對于(1)關(guān)鍵是看有無順序,有順序的是排列問題,無順序的即為組合問題;對于(2)每次取出兩個元素即可,無順序,但注意不重不漏. [解] (1)①因為本問題與元素順序無關(guān),故是組合問題. ②因為甲站到乙站,與乙站到甲站車票是不同的,故是排列問題,但票價與順序無關(guān),甲站到乙站,與乙站到甲站是同一種票價,故是組合問題. ③因為分工方法是從5種不同的工作中取出3種,按一定次序分給3個人去干,故是排列問題. ④因為3本書是相同的,無論把3本書分給哪三人,都不需考慮他們的順序,故是組合問題. (2)要寫出所有的組合,首先要把元素按一定順序排好,然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個標(biāo)出.如圖所示: 因此可得所有組合為ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. 區(qū)分排列與組合的方法 區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么,區(qū)分的標(biāo)志是有無順序,而區(qū)分有無順序的方法是:把問題的一個選擇結(jié)果寫出來,然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置,看是否會產(chǎn)生新的變化,若有新變化,即說明有順序,是排列問題;若無新變化,即說明無順序,是組合問題. 【溫馨提示】 排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別 聯(lián)系:二者都是從n個不同的元素中取m(n≥m)個元素. 區(qū)別:排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān),只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的排列.只要兩個組合的元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的組合. [跟蹤訓(xùn)練] 判斷下列問題是組合問題還是排列問題. (1)從a,b,c,d四名學(xué)生中選兩名學(xué)生完成一件工作,有多少種不同的選法? (2)從a,b,c,d四名學(xué)生中選兩名學(xué)生完成兩件不同的工作,有多少種不同的選法? (3)a,b,c,d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽,共需比賽多少場? (4)a,b,c,d四支足球隊爭奪冠、亞軍,有多少種不同的結(jié)果? (5)某人射擊8槍,命中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,不同的結(jié)果有多少種? (6)某人射擊8槍,命中4槍,且命中的4槍中恰有3槍連中,不同的結(jié)果有多少種? [解] (1)兩名學(xué)生完成的是同一件工作,沒有順序,是組合問題. (2)兩名學(xué)生完成兩件不同的工作,有順序,是排列問題. (3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽,沒有順序,是組合問題. (4)冠、亞軍是有順序的,是排列問題. (5)命中的4槍均為2槍連中,為相同的元素,沒有順序,是組合問題. (6)命中的4槍中恰有3槍連中,即連中3槍和單中1槍,有順序,是排列問題. 題型二 組合數(shù)的計算與證明 思考:我們知道,“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,那么,“組合”與“組合數(shù)”是同一個概念嗎?為什么? 提示:“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事;“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”,它是一個數(shù). (1)計算: ①C-CA; ②C+2C+C; ③C+C+C+C+C+C. (2)證明:mC=nC. [思路導(dǎo)引] 利用組合數(shù)公式及性質(zhì)求解. [解] (1)①C-CA=C-A=-765=210-210=0. ②原式=(C+C)+(C+C)=C+C=C=C==161700. ③原式=(C+C)+C+C+C+C=(C+C)+C+C+C=…=C+C=C=C==462. (2)證明:左邊=m==n=nC=右邊,∴mC=nC. (1)有關(guān)組合數(shù)的兩個公式的應(yīng)用范疇是有所區(qū)別的,C=常用于n,m為具體自然數(shù)的題目,一般偏向于具體組合數(shù)的計算;公式C=常用于n,m為字母或含有字母的式子的題目,一般偏向于方程的求解或有關(guān)組合數(shù)的恒等式的證明. (2)關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)1(C=C) ①該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性,即從n個不同的元素中取出m個元素的每一個組合,都對應(yīng)著剩下的n-m個元素的一個組合,反過來也一樣,這是一一對應(yīng)的關(guān)系. ②當(dāng)m>時,通常不直接計算C,而改為計算C. (3)關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)2(C=C+C) ①形式特點:公式的左端下標(biāo)為n+1,右端下標(biāo)為n,相差1,上標(biāo)左端與右端的一個相同,右端的另一個比它們少1; ②作用:常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明.應(yīng)用時要注意公式的正用、逆用和變形用.正用是將一個組合數(shù)拆成兩個,逆用則是“合二為一”,使用變形C=C-C,為某些項前后抵消提供了方便,在解題中要注意靈活應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練] 1.計算:C+C的值. [解] ∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*,∴n=10. ∴C+C=C+C=C+C=+31=466. 2.求使3C=5A成立的x值. [解] 根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式,原方程可化為 3=5, 即=,即為(x-3)(x-6)=40. ∴x2-9x-22=0,解得x=11或x=-2. 經(jīng)檢驗知x=11時原式成立. 3.證明下列各等式. (1)C=C; (2)C+C+C…+C=C. [證明] (1)右邊= = ==C=左邊,∴原式成立. (2)左邊=(C+C)+C+C+…+C=(C+C)+C+…+C=(C+C)+…+C=(C+C)+…+C=…=C+C=C=右邊,∴原式成立. 現(xiàn)有10名教師,其中男教師6名,女教師4名. (1)從中選2名去參加會議,有多少種不同的選法? (2)從中選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí),有多少種不同的選法? (3)從中選出男、女教師各2名去參加會議,有多少種不同的選法? [思路導(dǎo)引] 利用組合數(shù)C求解時,確定好m、n的值,結(jié)合兩個計數(shù)原理解題. [解] (1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù),就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù),即有C==45種不同的選法. (2)可把問題分兩類:第1類,選出2名男教師,有C種方法;第2類,選出2名女教師,有C種方法,即共有C+C=21種不同的選法. (3)從6名男教師中選2名的選法有C種,從4名女教師中選2名的選法有C種,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有CC==90種不同的選法. 解答簡單的組合問題的思路 (1)弄清楚做的這件事是什么;(2)分析這件事是否需分類或分步完成;(3)結(jié)合兩計數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果. [跟蹤訓(xùn)練] 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球. (1)從口袋內(nèi)取出3個球,共有多少種取法? (2)從口袋內(nèi)取出3個球,使其中含有1個黑球,有多少種取法? (3)從口袋內(nèi)取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法? [解] (1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球,取法種數(shù)是C==56. (2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球,于是還要從7個白球中再取出2個,取法種數(shù)是C==21. (3)由于所取出的3個球中不含黑球,也就是要從7個白球中取出3個球,取法種數(shù)是C==35. 1.本節(jié)課的重點是組合的概念、組合數(shù)公式及其性質(zhì)、簡單的組合應(yīng)用問題,難點是組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 2.本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)組合概念的理解,見典例1; (2)組合數(shù)的計算與證明,見典例2; (3)會解決簡單的組合應(yīng)用題,見典例3. 3.本節(jié)課的易錯點是利用組合數(shù)性質(zhì)C=C解題時,易誤認(rèn)為一定有x=y(tǒng),從而導(dǎo)致解題錯誤.事實上,C=C?- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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