2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題04 函數(shù)的定義域、值域的求法.doc
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專題04 函數(shù)的定義域、值域的求法 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 函數(shù)的定義域作為函數(shù)的要素之一,是研究函數(shù)的基礎(chǔ),也是高考的熱點(diǎn).函數(shù)的值域也是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn),并且值域問題通常會(huì)滲透在各類題目之中,成為解題過程的一部分.所以在掌握定義域求法的基礎(chǔ)上,掌握一些求值域的基本方法,當(dāng)需要求函數(shù)的取值范圍時(shí)便可抓住解析式的特點(diǎn),尋找對(duì)應(yīng)的方法從容解決. (一)函數(shù)的定義域 1.求函數(shù)定義域的主要依據(jù)是:①分式的分母不能為零;②偶次方根的被開方式其值非負(fù);③對(duì)數(shù)式中真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1. 2.①若的定義域?yàn)?,則不等式的解集即為函數(shù)的定義域; ②若的定義域?yàn)?,則函數(shù)在上的的值域即為函數(shù)的定義域. 3.對(duì)于分段函數(shù)知道自變量求函數(shù)值或者知道函數(shù)值求自變量的問題,應(yīng)依據(jù)已知條件準(zhǔn)確找出利用哪一段求解. 4.與定義域有關(guān)的幾類問題 第一類是給出函數(shù)的解析式,這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍; 第二類是實(shí)際問題或幾何問題,此時(shí)除要考慮解析式有意義外,還應(yīng)考慮使實(shí)際問題或幾何問題有意義; 第三類是不給出函數(shù)的解析式,而由的定義域確定函數(shù)的定義域或由的定義域確定函數(shù)的定義域. 第四類是已知函數(shù)的定義域,求參數(shù)范圍問題,常轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決. (二)函數(shù)的值域 1.利用函數(shù)的單調(diào)性:若是上的單調(diào)增(減)函數(shù),則,分別是在區(qū)間上取得最小(大)值,最大(小)值. 2.利用配方法:形如型,用此種方法,注意自變量x的范圍. 3.利用三角函數(shù)的有界性,如. 4.利用“分離常數(shù)”法:形如y= 或 (至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法. 一般地, ① :換元→分離常數(shù)→反比例函數(shù)模型 ② :換元→分離常數(shù)→模型 ③ :同時(shí)除以分子:→②的模型 ④ :分離常數(shù)→③的模型 共同點(diǎn):讓分式的分子變?yōu)槌?shù) 5.利用換元法: 在高中階段,與指對(duì)數(shù),三角函數(shù)相關(guān)的常見的復(fù)合函數(shù)分為兩種: ① :此類問題通常以指對(duì),三角作為主要結(jié)構(gòu),在求值域時(shí)可先確定的范圍,再求出函數(shù)的范圍. ② :此類函數(shù)的解析式會(huì)充斥的大量括號(hào)里的項(xiàng),所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式,然后求值域即可. ③形如型,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法: 7.導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復(fù)雜函數(shù)的極值和最值,然后求出值域 8.分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí),應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解,有時(shí)每段交替使用求值.若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗(yàn)所求自變量值域范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.?dāng)?shù)形結(jié)合法也可很方便的計(jì)算值域. 9.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí),若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí),應(yīng)綜合函數(shù)的定義域,將擴(kuò)大的部 分剔除. 10.數(shù)形結(jié)合法:即作出函數(shù)的圖象,通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域,以下函數(shù)常會(huì)考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合. (1)的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值,此時(shí)需將多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中,然后確定靠下(或靠上)的部分為該 函數(shù)的圖象,從而利用圖象求得函數(shù)的值域. (2)函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義,需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合求得值域,如:分式→直線的斜率;被開方數(shù)為平方和的根式→兩點(diǎn)間距離公式. (三)常見函數(shù)的值域:在處理常見函數(shù)的值域時(shí),通??梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)合,利用函數(shù)圖像將值域解出,熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進(jìn)行化歸. (1)一次函數(shù)():一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù),圖像為一條直線,所以可利用邊界點(diǎn)來確定值域. (2)二次函數(shù)(),給定區(qū)間.二次函數(shù)的圖像為拋物線,通??蛇M(jìn)行配方確定函數(shù)的對(duì)稱軸,然后利用圖像進(jìn)行求解.(關(guān)鍵點(diǎn):①拋物線開口方向,②頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)). (3)反比例函數(shù): (1)圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 (2)當(dāng) ,當(dāng). (4)對(duì)勾函數(shù): ① 解析式特點(diǎn):的系數(shù)為1; 注:因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與相關(guān),求的值時(shí)要先保證的系數(shù)為,再去確定的值 例:,并不能直接確定,而是先要變形為,再求得 ② 極值點(diǎn): ③ 極值點(diǎn)坐標(biāo): ④ 定義域: ⑤ 自然定義域下的值域: (5)函數(shù): 注意與對(duì)勾函數(shù)進(jìn)行對(duì)比 ① 解析式特點(diǎn):的系數(shù)為1; ② 函數(shù)的零點(diǎn): ③ 值域: (5)指數(shù)函數(shù)():其函數(shù)圖像分為與兩種情況,可根據(jù)圖像求得值域,在自然定義域下的值域?yàn)? (6)對(duì)數(shù)函數(shù)()其函數(shù)圖像分為與兩種情況,可根據(jù)圖像求得值域,在自然定義域下的值域?yàn)? 【經(jīng)典例題】 例1【2017山東理】設(shè)函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域?yàn)?則( ) (A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1) 【答案】D 【解析】試題分析:由得,由得,故,選D. 例2【2018屆湖南省邵陽市高三上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù) ,則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】的定義域?yàn)?故,所以選B. 例3【2018屆河南省中原名校(即豫南九校)高三第六次質(zhì)量考評(píng)】已知函數(shù)(且),若有最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】有最小值 故選 例4【2018屆廣東省深圳市南山區(qū)高三上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,若滿足條件:存在,使在上的值域?yàn)?,則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. (﹣∞,ln2﹣1) B. (﹣∞,ln2﹣1] C. (1﹣ln2,+∞) D. [1﹣ln2,+∞) 【答案】C 令g′(x)>0,解得:x>2, 令g′(x)<0,解得:0<x<2, 故g(x)在(0,2)遞減,在(2,+∞)遞增, 故g(x)≥g(2)=1﹣ln2,故t>1﹣ln2, 故選C:. 【名師點(diǎn)睛】由于函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根,所以在研究方程的有關(guān)問題時(shí),如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等,都可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決 例5.已知函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t滿足題意的有序?qū)崝?shù)對(duì)在坐標(biāo)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1,∴可畫出圖象如圖1所示. ; 故選:C. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題,值域是確定的,而定義域是變動(dòng)的,解題關(guān)鍵是分辨清楚最大值是在左端點(diǎn)取到還是在右端點(diǎn)取到,問題就迎刃而解了. 例6.(1)函數(shù)的值域?yàn)椋? ) A. B. C. D. (2)函數(shù)的值域?yàn)椋? ) A. B. C. D. (3)函數(shù)的值域?yàn)開_______ 【答案】(1)D (2)B (3). 【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,含有雙根式,所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題,但的導(dǎo)數(shù)較易分析出單調(diào)性,所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間,從而求得最值 令即解不等式: 【名師點(diǎn)睛】本題還可以利用換元解決,但利用的是三角換元:觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù),所以想到,從而可設(shè),由可知,所以原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域,從而有,由可求得.由此題可知:含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù),則可通過三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題 (2)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑥亩l(fā)現(xiàn),所以函數(shù)的解析式為,觀察可得為增函數(shù),且時(shí),,所以當(dāng)時(shí),的值域?yàn)? 【名師點(diǎn)睛】①本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕営袠O大的促進(jìn)作用.所以在求函數(shù)的值域時(shí),若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊,則先確定其定義域. ② 本題也可用換元法,設(shè)后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域,但不如觀察單調(diào)性求解簡便。 (3)先確定函數(shù)的定義域:,為分式且含有根式,求導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜.觀察分子分母可知:且關(guān)于單減,且關(guān)于單增,即單減,所以為減函數(shù),由可知的值域?yàn)?. 【名師點(diǎn)睛】在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增→增”,那么如果一個(gè)函數(shù)可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘法,例如,則當(dāng)均為增(減)函數(shù),且恒大于0,才能得到為增(減)函數(shù). 例7:(1)函數(shù)的值域?yàn)椋? ) A. B. C. D. (2)函數(shù)的值域?yàn)開________ 【答案】(1)D (2) 解:由可得: 函數(shù)的定義域?yàn)? 的取值只需讓方程有解即可 當(dāng)時(shí),不成立,故舍去 當(dāng)時(shí), 即: 綜上所述:函數(shù)的值域?yàn)? 【名師點(diǎn)睛】① 對(duì)于二次分式,若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t可像本例這樣利用方程思想,將值域問題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)方程有解”,然后利用二次方程根的判定得到關(guān)于的不等式從而求解,這種方法也稱為“判別式法” ② 若函數(shù)的定義域不是,而是一個(gè)限定區(qū)間(例如),那么如果也想按方程的思想處理,那么要解決的問題轉(zhuǎn)化為:“取何值時(shí),方程在有根”,對(duì)于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴},但因?yàn)橹灰匠逃懈托校瑫?huì)按根的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較復(fù)雜的分類討論,所以此類問題通常利用分式的變形與換元進(jìn)行解決(詳見附) (2)本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含或的形式,考慮去分母得:則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯角公式,從而得到,可知方程有解的條件為:,解出的范圍即為值域 解:的定義域?yàn)? 且 ,即,其中 因?yàn)樵摲匠逃薪? 【名師點(diǎn)睛】本題除了用方程思想,也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決,把分式視為連線斜率的問題,從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與單位圓上點(diǎn)連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方程思想處理的局限性在于輔角公式與的取值相關(guān),不過因?yàn)?,所以均能保證只要在中,則必有解。但如果本題對(duì)的范圍有所限制,則用方程的思想不易列出的不等式,所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便 例8.設(shè)且,函數(shù)在的最大值是14,求的值. 【答案】 考點(diǎn):二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),其中解答中涉及到一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題的解得中根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),分類討論是解答的關(guān)鍵,試題有一定的難度,屬于中檔試題. 例9【2018屆山西省太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期9月月考】已知函數(shù) (1)判斷函數(shù)的奇偶性. (2)求的值域. 【答案】(1) 是奇函數(shù)(2) ,,的值域?yàn)? 【名師點(diǎn)睛】本題考查了利用定義證明函數(shù)奇偶性,利用分離常數(shù)求分式型函數(shù)的值域問題,考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),屬于中檔題. 例10【2018屆安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考高三上學(xué)期期中】已知是定義在上的奇函數(shù). (1)若,求的值; (2)若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間的值域. 【答案】(1)a=1,b=2;(2)[-7.5,-3]. 【解析】試題分析:(1)由奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得(b-3)+(b-1)=0,解得b=2,再由可得; (2)由是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),得a=-2,進(jìn)而得函數(shù)單調(diào)性,由單調(diào)性求值域即可. 試題解析: (1) 由 f(x)為奇函數(shù),則(b-3)+(b-1)=0,解得b=2, 【名師點(diǎn)睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好三個(gè)問題: (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式; (3)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱. 【精選精練】 1.【2018屆二輪同步(高考題)】下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lg x的定義域和值域相同的是( ) A. y=x B. y=lg x C. y=2x D. y= 【答案】D 【解析】y=10lgx=x,定義域與值域均為(0,+∞),只有D滿足,故選D. 2.【2019屆高考一輪】已知集合A=,B={y|y=},則A∩(?RB)=( ) A. [-3,5] B. (-3,1) C. (-3,1] D. (-3,+∞) 【答案】C 【解析】由≤0,解得3- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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