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第二章 隨機(jī)變量及其分布
章末復(fù)習(xí)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解離散型隨機(jī)變量及分布列,并掌握兩個(gè)特殊的分布列——二項(xiàng)分布和超幾何分布.3.理解離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,并能應(yīng)用其解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4.了解正態(tài)分布曲線特點(diǎn)及曲線所表示的意義.
1.離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量;所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量,稱為離散型隨機(jī)變量.
(2)若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則稱表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱為X的分布列,具有性質(zhì):
①pi ≥ 0,i=1,2,…,n;
②pi=1.
離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.
2.兩點(diǎn)分布
如果隨機(jī)變量X的分布列為
X
1
0
P
p
q
其中0
0).
在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù),則P(B|A)=.
(2)條件概率具有的性質(zhì):
①0≤P(B|A)≤1;
②如果B和C是兩個(gè)互斥事件,
則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
5.相互獨(dú)立事件
(1)對(duì)于事件A,B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響,則稱A,B是相互獨(dú)立事件.
(2)若A與B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B),
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(3)若A與B相互獨(dú)立,則A與,與B,與也都相互獨(dú)立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),則A與B相互獨(dú)立.
6.二項(xiàng)分布
(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的,各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn),在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即要么發(fā)生,要么不發(fā)生,且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.
(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記為X~B(n,p),并稱p為成功概率.
7.離散型隨機(jī)變量的均值與方差
若離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.
(2)方差
稱D(X)= (xi-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差,它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.
(3)均值與方差的性質(zhì)
①E(aX+b)=aE(X)+b.
②D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù))
(4)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差
①若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).
②若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).
8.正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線:函數(shù)φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中μ和σ為參數(shù)(σ>0,μ∈R).我們稱函數(shù)φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.
(2)正態(tài)曲線的性質(zhì):
①曲線位于x軸上方,與x軸不相交;
②曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;
③曲線在x=μ處達(dá)到峰值;
④曲線與x軸之間的面積為 1 ;
⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著 μ 的變化而沿x軸平移,如圖甲所示;
⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;
σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖乙所示.
(3)正態(tài)分布的定義及表示
如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b (a0.682 6,
P(μ-2σa2+7)成立的一個(gè)必要不充分條件是( )
A.a(chǎn)=1或2 B.a(chǎn)=1或2
C.a(chǎn)=2 D.a(chǎn)=
考點(diǎn) 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念
題點(diǎn) 正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用
答案 B
解析 ∵X~N(3,4),P(X<1-3a)=P(X>a2+7),
∴(1-3a)+(a2+7)=23,∴a=1或2.故選B.
5.(2017福建莆田二十四中高二期中)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題
答案 A
解析 根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得,該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為C0.620.4+C0.63=0.648.
6.命題r:隨機(jī)變量ξ~N(3,σ2),若P(ξ≤2)=0.4,則P(ξ≤4)=0.6.命題q:隨機(jī)變量η~B(n,p),且E(η)=200,D(η)=100,則p=0.5.則( )
A.r正確,q錯(cuò)誤
B.r錯(cuò)誤,q正確
C.r錯(cuò)誤,q也錯(cuò)誤
D.r正確,q也正確
考點(diǎn) 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點(diǎn) 正態(tài)分布的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 因?yàn)殡S機(jī)變量ξ~N(3,σ2),所以正態(tài)曲線關(guān)于x=3對(duì)稱,又P(ξ≤2)=0.4,則P(ξ>4)=P(ξ≤2)=0.4,所以P(ξ≤4)=0.6,所以r是正確的;隨機(jī)變量η~B(n,p),且E(η)=np=200,D(η)=np(1-p)=100,所以200(1-p)=100,解得p=0.5,所以q是正確的.故選D.
7.節(jié)日期間,某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元,銷售價(jià)是每束5元;節(jié)日賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理.根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè),節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
若進(jìn)這種鮮花500束,則利潤(rùn)的均值為( )
A.706元 B.690元
C.754元 D.720元
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的概率與計(jì)算
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算
答案 A
解析 因?yàn)镋(X)=2000.2+3000.35+4000.3+5000.15=340,
所以利潤(rùn)的均值為340(5-2.5)-(500-340)(2.5-1.6)=706元,故選A.
8.某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].從樣本成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,這2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為ξ,則ξ的均值為( )
A. B.
C. D.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值
答案 B
解析 由頻率分布直方圖知,30.00610+0.0110+0.05410+10x=1,解得x=0.018,∴成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.018+0.006)1050=12,成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)為0.0061050=3,
∴ξ的可能取值為0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,∴E(ξ)=0+1+2=.
二、填空題
9.盒中有10支螺絲釘,其中3支是壞的,現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩支,那么在第一支抽取為好的條件下,第二支是壞的概率為 .
考點(diǎn) 條件概率的定義及計(jì)算公式
題點(diǎn) 直接利用公式求條件概率
答案
解析 記事件A為“第一支抽取為好的”,事件B為“第二支是壞的”,則
P(A)=,
P(AB)==,
∴P(B|A)==.
10.甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽,規(guī)定:若甲贏一局,比賽結(jié)束,甲勝出;若乙贏兩局,比賽結(jié)束,乙勝出.已知每一局甲、乙二人獲勝的概率分別為,,則甲勝出的概率為 .
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題
答案
解析 方法一 甲勝的情況為:①舉行一局比賽,甲勝出,比賽結(jié)束,②舉行兩局比賽,第一局乙勝,第二局甲勝,其概率分別為,,且這兩個(gè)事件是互斥的,所以甲勝出的概率為+=.
方法二 因?yàn)楸荣惤Y(jié)果只有甲勝出和乙勝出兩個(gè)結(jié)果,而乙勝出的情況只有一種,舉行兩局比賽都是乙勝出,其概率為=,所以甲勝出的概率為1-=.
11.一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品,如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元,生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元,生產(chǎn)一件次品,要賠20元,已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利 元.
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算
答案 37
解析 設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的取值可以是-20,30,50.依題意,X的分布列為
X
-20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
故E(X)=-200.1+300.3+500.6=37(元).
12.一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8,每穴只要有一粒發(fā)芽,就不需補(bǔ)種,否則需要補(bǔ)種.則每穴至少種 粒,才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(lg 2=0.301 0)
考點(diǎn) 互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題
題點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題
答案 3
解析 記事件A為“種一粒種子,發(fā)芽”,
則P(A)=0.8,P()=1-0.8=0.2.
因?yàn)槊垦ǚNn粒相當(dāng)于做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),記事件B為“每穴至少有一粒種子發(fā)芽”,
則P()=C0.80(1-0.8)n=0.2n,
所以P(B)=1-P()=1-0.2n.
根據(jù)題意,得P(B)>98%,即0.2n<0.02.
兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù),得
nlg 0.2=≈2.43.
因?yàn)閚∈N*,
所以n的最小正整數(shù)值為3.
三、解答題
13.一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片,其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;
(2)用X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù),求X的分布列與均值.
(注:若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足a≤b≤c,則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值
解 (1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率P==.
(2)X的所有可能取值為1,2,3,
則P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故X的分布列為
X
1
2
3
P
從而E(X)=1+2+3=.
四、探究與拓展
14.某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇.
方案甲:?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.第一次抽獎(jiǎng),若未中獎(jiǎng),則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng),則通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎(jiǎng)金,不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng);若正面朝上,員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)且在第二次抽獎(jiǎng)中,若中獎(jiǎng),則獲得獎(jiǎng)金1 000元;若未中獎(jiǎng),則所獲得的獎(jiǎng)金為0元.
方案乙:?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為,每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元.
(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列;
(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng).哪個(gè)方案更劃算?
考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用
解 (1)由題意得,X的所有可能取值為0,500,1 000,則P(X=0)=+=,
P(X=500)==,
P(X=1 000)==,
所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為
X
0
500
1 000
P
(2)由(1)可知,選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的均值E(X)=500+1 000=520,
若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng),中獎(jiǎng)次數(shù)ξ~B,
則E(ξ)=3=,抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金Y的均值E(Y)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,故選擇方案甲較劃算.
15.某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
①若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列、均值及方差;
②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn) 均值、方差的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用
解 (1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí),利潤(rùn)y=80.
當(dāng)日需求量n<16時(shí),利潤(rùn)y=10n-80.
所以當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為
y=(n∈N)
(2)①X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
故X的分布列為
X
60
70
80
P
0.1
0.2
0.7
E(X)=600.1+700.2+800.7=76,
D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.
②方法一:花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花.
理由如下:
若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4,
D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.
由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,D(X)
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2018-2019版高中數(shù)學(xué)
第二章
隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)案
新人教A版選修2-3
2018
2019
高中數(shù)學(xué)
第二
隨機(jī)變量
及其
分布
復(fù)習(xí)
新人
選修
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