(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十一 直線與圓講義 理(重點生含解析).doc
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專題十一 直線與圓 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 ___________ ____________ 直線方程、圓的方程、點到直線的距離T6 2017 圓的性質(zhì)、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)T15 圓的弦長問題、雙曲線的幾何性質(zhì)T9 平面向量基本定理、直線與圓位置關(guān)系T12 直線與圓的方程、直線與拋物線位置關(guān)系T20 2016 拋物線、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程T10 圓的方程、點到直線的距離T4 點到直線的距離、弦長問題T16 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年2考,涉及圓的性質(zhì)、點到直線的距離、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì).預(yù)計2019年會以選擇題的形式考查圓方程的求法及應(yīng)用 卷Ⅱ3年2考,涉及圓的方程、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì),題型為選擇題,難度適中.預(yù)計2019年會以選擇題的形式考查直線與圓的綜合問題 卷Ⅲ3年4考,涉及直線方程、圓的方程、點到直線的距離、弦長問題、直線與拋物線的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)等,既有選擇、填空題,也有解答題,難度適中.預(yù)計2019年會以選擇題或填空題的形式考查直線與圓的位置關(guān)系,同時要注意圓與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題 橫向把握重點 1.圓的方程近幾年成為高考全國卷命題的熱點,需重點關(guān)注.此類試題難度中等偏下,多以選擇題或填空題形式考查. 2.直線與圓的方程偶爾單獨命題,單獨命題時有一定的深度,有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置,難度較大,對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上. 直線的方程 [題組全練] 1.已知p:直線x-y-1=0與直線x-my+2=0平行,q:m=1,則p是q的( ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由于兩直線平行的充要條件是=≠,即m=1.故選A. 2.已知直線x+y-1=0與直線2x+my+3=0平行,則它們之間的距離是( ) A.1 B. C.3 D.4 解析:選B 由題意可知=≠,解得m=2,所以兩平行線之間的距離d==. 3.已知點M是直線x+y=2上的一個動點,且點P(,-1),則|PM|的最小值為( ) A. B.1 C.2 D.3 解析:選B |PM|的最小值即點P(,-1)到直線x+y=2的距離,又=1.故|PM|的最小值為1. 4.設(shè)A,B是x軸上的兩點,點M的橫坐標(biāo)為3,且|MA|=|MB|,若直線MA的方程為x-y+1=0,則直線MB的方程是( ) A.x+y-7=0 B.x-y+7=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0 解析:選A 法一:由|MA|=|MB|知,點M在A,B的垂直平分線上.由點M的橫坐標(biāo)為3,且直線MA的方程為x-y+1=0,得M(3,4).由題意知,直線MA,MB關(guān)于直線x=3對稱,故直線MA上的點(0,1)關(guān)于直線x=3的對稱點(6,1)在直線MB上,∴直線MB的方程為x+y-7=0. 法二:由點M的橫坐標(biāo)為3,且直線MA的方程為x-y+1=0,得M(3,4),代入四個選項可知只有A項滿足題意,選A. 5.如圖所示,射線OA,OB與x軸正半軸的夾角分別為45和30,過點P(1,0)作直線分別交OA,OB于A,B兩點,當(dāng)AB的中點C恰好落在直線x-2y=0上時,直線AB的方程為____________. 解析:由題意可得kOA=tan 45=1,kOB=tan 150=-,所以直線lOA:y=x,lOB:y=-x,設(shè)A(m,m),B(-n,n)(m≠0,n≠0),則AB的中點C,當(dāng)m=1時,n=-,A(1,1),B,C,故點C不在直線x-2y=0上,不滿足題意,當(dāng)m≠1時,n≠-,由點C在直線x-2y=0上,且A,P,B三點共線得解得m=,所以A(,),又P(1,0),所以kAB=kAP==,所以lAB:y=(x-1),即直線AB的方程為(3+)x-2y-3-=0. 答案:(3+)x-2y-3-=0 [系統(tǒng)方法] 解決直線方程問題的2個注意點 (1)求解兩條直線平行的問題時,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗,排除兩條直線重合的可能性. (2)要注意幾種直線方程的局限性.點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直.而截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線. 圓的方程 [題組全練] 1.圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于A(0,-4),B(0,-2)兩點,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.(x+2)2+(y+3)2=5 B.(x-2)2+(y-3)2=5 C.(x+2)2+(y-3)2=5 D.(x-2)2+(y+3)2=5 解析:選D 法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 故解得 半徑r==, 故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+3)2=5. 法二:利用圓心在直線2x-y-7=0上來檢驗,只有D符合,即(x-2)2+(y+3)2=5的圓心為(2,-3),22+3-7=0,其他三個圓心(-2,-3),(2,3),(-2,3)均不符合題意,故選D. 2.已知圓x2+y2-2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax+by-2=0對稱,則ab的取值范圍是( ) A. B. C. D. 解析:選A 將圓的方程配方得(x-1)2+(y-2)2=4,若圓關(guān)于已知直線對稱,即圓心(1,2)在直線2ax+by-2=0上,代入整理得a+b=1,故ab=a(1-a)=-2+≤. 3.(2019屆高三豫南十校聯(lián)考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為____________. 解析:設(shè)C(a,0)(a>0),由題意知=,解得a=2,所以r==3,故圓C的方程為(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________. 解析:由題意得,半徑等于= = ≤ ≤,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時取等號,所以半徑最大為,所求圓為(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 [系統(tǒng)方法] 求圓的方程的2種方法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法: ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值; ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進而求出D,E,F(xiàn)的值. 直線(圓)與圓的位置關(guān)系 [多維例析] 角度一 直線(圓)與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程. (2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. [解] (1)因為圓心在直線l:y=2x-4上,也在直線y=x-1上,所以解方程組得圓心C(3,2),又因為圓的半徑為1,所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=1. 又因為點A(0,3),顯然過點A,圓C的切線的斜率存在,設(shè)所求的切線方程為y=kx+3,即kx-y+3=0, 所以=1,解得k=0或k=-, 所以所求切線方程為y=3或y=-x+3, 即y-3=0或3x+4y-12=0. (2)因為圓C的圓心在直線l:y=2x-4上,所以設(shè)圓心C(a,2a-4),又因為圓C的半徑為1,則圓C的方程為(x-a)2+(y-2a+4)2=1, 設(shè)M(x,y),又因為|MA|=2|MO|, 則有=2, 整理得x2+(y+1)2=4,設(shè)為圓D,圓心D(0,-1). 所以點M既在圓C上,又在圓D上,即圓C與圓D有交點, 所以2-1≤ ≤2+1, 解得0≤a≤. 故圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是. 角度二 已知直線(圓)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值(范圍) (1)設(shè)直線x-y-a=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若△AOB為等邊三角形,則實數(shù)a的值為( ) A. B. C.3 D.9 (2)已知點M(-2,0),N(2,0),若圓x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在點P(不同于點M,N),使得PM⊥PN,則實數(shù)r的取值范圍是( ) A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3] D.[1,3] [解析] (1)由題意知,圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,則△AOB的邊長為2,所以△AOB的高為,即圓心到直線x-y-a=0的距離為,所以=,解得a=. (2)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-3)2+y2=r2(r>0),若要使圓上一點P滿足PM⊥PN,則需圓經(jīng)過M,N兩點之間,即r∈[1,5].當(dāng)r=1時,(x-3)2+y2=1經(jīng)過點N(2,0),圓(x-3)2+y2=r2(r>0)上不存在點P,使得PM⊥PN;當(dāng)r=5時,(x-3)2+y2=25經(jīng)過點M(-2,0),同理圓(x-3)2+y2=r2(r>0)上不存在點P,使得PM⊥PN.故選A. [答案] (1)B (2)A [系統(tǒng)方法] 1.直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn),兩圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較. (2)求過圓外一定點的切線方程的基本思路: 首先將直線方程設(shè)為點斜式,然后利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率,最后若求得的斜率只有一個,則存在一條過切點與x軸垂直的切線. 2.弦長的求解方法 幾何法 根據(jù)半徑,弦心距,弦長構(gòu)成的直角三角形,構(gòu)成三者間的關(guān)系r2=d2+(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式:l=|x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦長,x1,x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo),k為直線的斜率) 距離法 求出交點坐標(biāo),用兩點間距離公式求解 [綜合訓(xùn)練] 1.在圓(x-1)2+(y-1)2=9上總有四個點到直線l:3x+4y+t=0的距離為1,則實數(shù)t的取值范圍是( ) A.(-17,1) B.(-15,3) C.(-17,3) D.(-15,1) 解析:選C 由圓上總有四個點到直線l:3x+4y+t=0的距離為1,得圓心(1,1)到直線l的距離d=<r-1=2,解得-17<t<3,即實數(shù)t的取值范圍是(-17,3). 2.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:x2+y2-4x-6y+12=0交于M,N兩點.若=12,其中O為坐標(biāo)原點,則|MN|=( ) A.2 B.4 C. D.2 解析:選A 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),圓C的方程可化為(x-2)2+(y-3)2=1,其圓心為(2,3),將y=kx+1代入方程x2+y2-4x-6y+12=0,整理得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,所以Δ=16(k2+2k+1)-28(1+k2)=-12k2+32k-12>0,x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8,由題設(shè)可得+8=12,得k=1,滿足Δ>0,所以直線l的方程為y=x+1.故圓心(2,3)恰在直線l上,所以|MN|=2. 3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4.若直線l過點A(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,則直線l的方程為______________________. 解析:由于直線x=4與圓C1不相交,所以直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),圓C1的圓心(-3,1)到直線l的距離為d,因為圓C1被直線l截得的弦長為2,所以d==1.由點到直線的距離公式得d=,化簡得k(24k+7)=0, 即k=0或k=-, 所以直線l的方程為y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0. 答案:y=0或7x+24y-28=0 重難增分 點、直線與圓的綜合問題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1.[與圓有關(guān)的范圍問題](2014全國卷Ⅱ)設(shè)點M(x0,1),若在圓 O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是( ) A.[-1,1] B. C.[-,] D. 解析:選A 法一:常規(guī)思路穩(wěn)解題 由題意可知M在直線y=1上運動,設(shè)直線y=1與圓x2+y2=1相切于點P(0,1).當(dāng)x0=0即點M與點P重合時,顯然圓上存在點N(1,0)符合要求;當(dāng)x0≠0時,過M作圓的切線,切點之一為點P,此時對于圓上任意一點N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45,只需∠OMP≥45.特別地,當(dāng)∠OMP=45時,有x0=1.結(jié)合圖形可知,符合條件的x0的取值范圍為[-1,1]. 法二:特殊思路妙解題 如圖,過O作OP⊥MN于點P, 則|OP|=|OM|sin 45≤1, ∴|OM|≤,即≤, ∴x≤1,即-1≤x0≤1. [啟思維] 本題考查直線與圓的位置關(guān)系(圓的切線問題)、存在性問題,數(shù)形結(jié)合法是解決此類題目的最有效方法. 二、還可能這樣考 2.[與圓有關(guān)的最值問題]已知從圓C:(x+1)2+(y-2)2=2外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有|PM|=|PO|,則當(dāng)|PM|取最小值時點P的坐標(biāo)為____________. 解析:如圖所示,連接CM,CP.由題意知圓心C(-1,2),半徑r=.因為|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x+y+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|的值最小,只需|PO|的值最小即可.當(dāng)PO垂直于直線2x-4y+3=0時,即PO所在直線的方程為2x+y=0時,|PM|的值最小,此時點P為兩直線的交點,由解得故當(dāng)|PM|取最小值時點P的坐標(biāo)為. 答案: [啟思維] 本題考查圓的切線長問題,解決此類問題一般放在由該點與切點的連線、半徑及該點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形中求解. 3.[與圓有關(guān)的定點問題]已知圓O:x2+y2=1,點P為直線+=1上一動點,過點P向圓O引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則直線AB經(jīng)過定點( ) A. B. C. D. 解析:選B 因為點P是直線+=1上的一動點,所以設(shè)P(4-2m,m). 因為PA,PB是圓x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,所以O(shè)A⊥PA,OB⊥PB,所以點A,B在以O(shè)P為直徑的圓C上,即弦AB是圓O和圓C的公共弦. 所以圓C的方程為x(x-4+2m)+y(y-m)=0,?、? 又x2+y2=1,?、? 所以②-①得,(2m-4)x-my+1=0,即公共弦AB所在的直線方程為(2x-y)m+(-4x+1)=0, 令得 所以直線AB過定點. [啟思維] 本題考查圓的切線問題、兩圓公共弦所在直線的求法以及直線過定點問題.解決直線過定點問題時,應(yīng)先將含參的直線方程化為以參數(shù)為主元的形式,再令參數(shù)主元的系數(shù)為0即可求得定點坐標(biāo). 4.[與向量等知識的綜合問題]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點M(1,0)的直線l與圓x2+y2=5交于A,B兩點,其中點A在第一象限,且=2,則直線l的方程為____________. 解析:法一:由題意,設(shè)直線l的方程為x=my+1(m≠0),與x2+y2=5聯(lián)立, 消去x并整理得(m2+1)y2+2my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則=(1-x2,-y2),=(x1-1,y1), y1+y2=-,① y1y2=-.② 因為=2,所以-y2=2y1,③ 聯(lián)立①②③,可得m2=1, 又點A在第一象限,所以y1>0,則m=1,所以直線l的方程為x-y-1=0. 法二:由題意,設(shè)直線l的方程為x=my+1(m≠0),即x-my-1=0,所以圓心O到直線l的距離d=. 又=2,且|OM|=1,圓x2+y2=5的半徑r=, 所以+=2(-),即3=, 所以9=5-,解得m2=1, 又點A在第一象限,所以m=1, 故直線l的方程為x-y-1=0. 答案:x-y-1=0 [啟思維] 本題將直線與圓的位置關(guān)系、共線向量問題相綜合,考查直線方程的求法.直線與圓的綜合問題常利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化),把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過代數(shù)的計算,使問題得到解決. [增分集訓(xùn)] 1.(2018全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3] 解析:選A 設(shè)圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點P到直線x+y+2=0的距離為d, 則圓心C(2,0),r=, 所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為=2, 可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=. 由已知條件可得|AB|=2, 所以△ABP面積的最大值為|AB|dmax=6, △ABP面積的最小值為|AB|dmin=2. 綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6]. 2.(2017江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________. 解析:設(shè)P(x,y),則=(-12-x,-y)(-x,6-y)=x(x+12)+y(y-6)≤20. 又x2+y2=50,所以2x-y+5≤0, 所以點P在直線2x-y+5=0的上方(包括直線上). 又點P在圓x2+y2=50上, 由 解得x=-5或x=1, 結(jié)合圖象,可得-5≤x≤1, 故點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-5,1]. 答案:[-5,1] 3.已知直線l1:x-2y=0的傾斜角為α,傾斜角為2α的直線l2與圓M:x2+y2+2x-2y+F=0交于A,C兩點,其中A(-1,0),B,D在圓M上,且位于直線l2的兩側(cè),則四邊形ABCD的面積的最大值是________. 解析:因為直線l1:x-2y=0的傾斜角為α,所以tan α=,所以直線l2的斜率k=tan 2α===,所以直線l2的方程為y-0=(x+1),即4x-3y+4=0. 又A(-1,0)在圓M上,所以(-1)2-2+F=0,解得F=1,所以圓M的方程為x2+y2+2x-2y+1=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=1,所以圓心M(-1,1),半徑r=1. 所以圓心M到直線l2的距離d==,所以|AC|= =, 即|AC|=2=. 因為B,D兩點在圓上,且位于直線l2的兩側(cè),則四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和,如圖所示,當(dāng)BD垂直平分AC(即BD為直徑)時,兩三角形的面積之和最大,即四邊形ABCD的面積最大,此時AC,BD相交于點E,則四邊形ABCD的最大面積S=|AC||BE|+|AC||DE|=|AC||BD|=2=. 答案: [專題跟蹤檢測](對應(yīng)配套卷P191) 一、全練保分考法——保大分 1.過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為( ) A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0 解析:選B ∵過點(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條, ∴點(3,1)在圓(x-1)2+y2=r2上, ∵圓心與切點連線的斜率k==, ∴切線的斜率為-2, 則圓的切線方程為y-1=-2(x-3), 即2x+y-7=0. 2.圓心在直線x+2y=0上的圓C與y軸的負(fù)半軸相切,圓C截x軸所得的弦長為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.(x-2)2+(y+)2=8 B.(x-)2+(y+2)2=8 C.(x-2)2+(y+)2=8 D.(x-)2+(y+2)2=8 解析:選A 法一:設(shè)圓心為(r>0),半徑為r.由勾股定理()2+2=r2,解得r=2,∴圓心為(2,-),∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+)2=8. 法二:四個圓的圓心分別為(2,-),(,-2),(2,-),(,-2),將它們逐一代入x+2y=0,只有A選項滿足. 3.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( ) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 解析:選B 由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因為圓M截直線x+y=0所得線段的長度為2,所以圓心M到直線x+y=0的距離d==(a>0),解得a=2,即圓M的圓心為(0,2),又知圓N的圓心為(1,1),半徑r=1,所以|MN|=,則R-r<- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 通用版2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十一 直線與圓講義 理重點生,含解析 通用版 2019 高考 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 第一 部分 專題 十一 直線 講義 重點 解析
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