計利明 泰勒公式及其應(yīng)用

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1、 Hefei University 本科畢業(yè)論文 BACHELOR DISSERTATION 論文題目：泰勒公式及其應(yīng)用 學(xué)位類別：理學(xué)學(xué)士 學(xué)科專業(yè)：信息與計算科學(xué)專業(yè) 作者姓名：計利明 導(dǎo)師姓名：張霞 完成時間：2012-4-20 泰勒公式及其應(yīng)用 中文摘要 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中重要的公式，在解題中有著重要的作用它的理論方法已成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面的不可或缺的工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，它是微積分中值定理的推廣，亦是應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 它的用途很廣泛。本文介紹了泰勒公式及其余

2、項定義，歸納總結(jié)了泰勒公式在近似計算中的應(yīng)用，利用泰勒公式判斷斂散性及求極限，利用泰勒公式求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，泰勒公式在無窮小中的應(yīng)用，泰勒公式在不等式證明中的應(yīng)用等等。 關(guān)鍵詞： 泰勒公式；極限；不等式；斂散性；根的唯一存在性；極值;展開式;近似計算;行列式. Taylor Formula And Its Application Abstract Taylor's formula is a formula in the

3、mathematical analysis plays an important role in solving problems，it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also

4、 of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This article introduces the Taylor formula and the remaining items defined, summarized Taylor formula for the approximate calculation to determine the convergence Divergence and the limit, using Taylor formula s

5、eeking function of the high-end guide number with the Taylor formula, Taylor's formula in infinitesimal Taylor formula in the proof of Inequality and so on. Keywords: Taylor Formula；expansion；inequality；the unique existence of the root；limit appropriating；determinant；concergence and divergence；l

6、imit. Hefei University 1 第一章 前言 4 1.1研究現(xiàn)狀 5 1.2研究意義 5 1.3本論文所作的工作 5 1.4研究目標(biāo) 5 1.5本論文解決的關(guān)鍵問題 6 1.6本論文的研究方法 6 第二章 基礎(chǔ)知識 7 2.1一元函數(shù)泰勒公式的定義及常見函數(shù)的泰勒展開 7 2.1.1帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式 7 2.1.2帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式 7 2.2二元函數(shù)的泰勒公式 8 2.3泰勒公式的證明 10 第三章 泰勒公

7、式的應(yīng)用 12 3.1 利用泰勒公式求極限 12 3.2 利用泰勒公式證明不等式 13 3.3 利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性 13 3.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性 14 3.5 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值 15 3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 16 3.7 利用泰勒公式進(jìn)行近似計算 16 3.8 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值 18 3.9 利用泰勒公式求行列式的值 18 3.10求曲線的漸近線方程 20 3.11泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點判斷中的應(yīng)用 21 3.12 泰勒公式關(guān)于界的估計 22 3.13 利用泰勒公式解經(jīng)

8、濟(jì)學(xué)問題 23 第四章 結(jié)論 24 參考文獻(xiàn) 25 致 謝 25 第一章 前言 近代微積分的蓬勃發(fā)展，促使幾乎所有的數(shù)學(xué)大師都致力于相關(guān)問題的研究，特別是泰勒，笛卡爾，費馬，巴羅，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒，在微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來的.泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)從而得到泰勒公式，對于一般函數(shù)，設(shè)它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個次多項式

9、稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式，若函數(shù)在點存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有即 稱為泰勒公式. 眾所周知，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題化為線性問題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個方面都有重要的應(yīng)用. 泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題中有著重要作用,它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值、近似計算、不等式證明等方面. 1.1研究現(xiàn)狀 關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用，已有許多專家學(xué)者對它產(chǎn)生了濃厚的興趣，它們對某些具體的題目作出了具

10、體的解法，如求極限，判斷函數(shù)凹凸性和收斂性，求漸近線，界的估計和近似值的計算等等.雖然泰勒公式應(yīng)用到各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域很多，但也還有很多方面學(xué)者還很少提及，因此在這泰勒公式及其應(yīng)用方面我們有研究的必要，并且有很大的空間. 1.2研究意義 泰勒公式不僅在極限和不等式證明中能解決許多問題，同時也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具.其原理是很多函數(shù)都能用泰勒公式表示.因此泰勒公式在數(shù)學(xué)實際應(yīng)用中是一種重要的應(yīng)用工具，我們必須掌握它，用泰勒公式這一知識解決更多的數(shù)學(xué)實際問題. 1.3本論文所作的工作 泰勒公式的應(yīng)用一直以來都屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域里重要的研究內(nèi)容.本文將簡略介紹一些基本的泰勒公式的應(yīng)用實際方法，

11、然后把泰勒公式應(yīng)用到求極限等方面中去. 1.4研究目標(biāo) 探索泰勒公式及其應(yīng)用的新方法，借助泰勒公式的廣泛應(yīng)用，將泰勒公式的知識應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題的各個方面和領(lǐng)域中去，得出泰勒公式在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用和解求方法的簡便性. 1.5本論文解決的關(guān)鍵問題 了解泰勒公式及其各類型余項的泰勒公式展開式，熟練掌握帶有佩亞諾余項和帶有拉格朗日余項的泰勒公式應(yīng)用. 1.6本論文的研究方法 將帶有佩亞諾余項和帶有拉格朗日余項的泰勒公式應(yīng)用到求極限等的解題應(yīng)用上，得出最佳的解題方法. 第二章 基礎(chǔ)知識

12、 2.1一元函數(shù)泰勒公式的定義及常見函數(shù)的泰勒展開 2.1.1帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1） 這里為佩亞諾型余項,稱(1)f在點的泰勒公式. 當(dāng)=0時,（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林公式. 2.1.2帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則?, （2）這里為拉格朗日余項,其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式. 當(dāng)=0時,（2）式變成 稱此式為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式. 常見函數(shù)的展開式： . . . . . 2.2

13、二元函數(shù)的泰勒公式 討論二元函數(shù)泰勒公式的方法是：作一個輔助函數(shù)，將二元函數(shù)化為一元函數(shù).應(yīng)用已知的一元函數(shù)的泰勒公式和復(fù)合函數(shù)的微分法得到二元函數(shù)的泰勒公式. 為了將二元函數(shù)在點的函數(shù)值在點展成泰勒公式，作輔助函數(shù) 即 顯然，于是，函數(shù)在點展成的泰勒公式就是一元函數(shù)在點0的泰勒公式（即麥克勞林公式）在的值. 定理2. 若函數(shù)在點的鄰域G存在n+1階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則 ，有 （4） 其中符號表示偏導(dǎo)數(shù)在的值， . （4）式稱為二元函數(shù)在的泰勒公式. 在泰勒公式（4）中，令，就得到二元函數(shù)的麥克勞林公式（將與分別用與表示）：

14、 （5） 在泰勒公式（4）中，當(dāng)時，有 ， 或. （6） （6）式二元函數(shù)中值定理的另一種形式，這里只有一個. 在泰勒公式（4）中，當(dāng)時，有 2.3泰勒公式的證明 兩種余項的泰勒公式所表達(dá)的根本思想都是怎樣用多項式來逼近函數(shù)，帶有佩亞諾余項的泰勒公式是反映了極限性質(zhì)的漸進(jìn)等式，所以這個公式在求極限時很有用，對余項可以提供充分小的估計值.帶有拉格朗日余項的泰勒公式有確切的表達(dá)式，當(dāng)然也有像中值這樣不確定的因素，但是并不妨礙定理的使用，為近似計算的誤差估計提供了理論依據(jù). 定理1：（帶有佩亞諾型余項的泰勒公式）若函數(shù)在點存在直

15、至階導(dǎo)數(shù)，則有，即 證明：設(shè) ，， 現(xiàn)在只要證 由可知， ， 并易知 因為存在，所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng)且時，允許接連使用洛必達(dá)（L'Hospital）法則次，得到 所以定理1成立. 定理2：若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得證明：作輔助函數(shù)， 所以要證明的（1）式即為 不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 又因，所以由柯西中值定理證得 其中 所以定理2成立. 第三章 泰勒公式的應(yīng)用 3.1 利用泰勒公式求極限 對于待定型的極限問題，一

16、般可以采用洛比達(dá)法則來求，但是，對于一些求導(dǎo)比較繁瑣，特別是要多次使用洛比達(dá)法則的情況，泰勒公式往往是比洛比達(dá)法則更為有效的求極限工具.利用泰勒公式求極限，一般用麥克勞林公式形式，并采用佩亞諾型余項.當(dāng)極限式為分式時，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，通過比較求出極限. 例3.1 求極限. 分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時可將和 別用泰勒展開式代替,則可簡化此比式. 解 由,得 , 于是 . 3.2 利用泰勒公式證明不等式 當(dāng)所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷. 例3.2

17、當(dāng)時,證明. 證明 取,,則 帶入泰勒公式,其中=3,得 ，其中. 故 當(dāng)時,. 3.3 利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性 當(dāng)級數(shù)的通項表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時,往往利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則. 例3.3 討論級數(shù)的斂散性. 分析：直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正向級數(shù)還是非正向級數(shù)比較困難,因而也就無法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會使判斂容易進(jìn)行. 解 因為 , 所以 , 所以 故該級數(shù)是正向級數(shù). 又因為 , 所以 . 因為收斂,所以由正向級數(shù)比較判別

18、法知原級數(shù)收斂. 3.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性 例3.4設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo),且,對, 證明： 在內(nèi)存在唯一實根. 分析：這里f(x)是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將f(x)在a點展開一階泰勒公式,然后設(shè)法應(yīng)用戒指定理證明. 證明 因為,所以單調(diào)減少,又,因此x>a時,,故f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在a點展開一階泰勒公式有 由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因為,在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由f(x)的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實根. 3.5 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值 例3.5 (極值的第

19、二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,. (i)若,則在取得極大值. (ii) 若,則在取得極小值. 證明 由條件，可得f在處的二階泰勒公式 . 由于,因此 .(*) 又因,故存在正數(shù),當(dāng)時,與同號.所以,當(dāng)時,(*)式取負(fù)值,從而對任意有 , 即在取得極大值.同樣對,可得在取得極小值. 3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,通過加減乘等運算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 例3.6 求的冪級數(shù)展開式. 解 利用泰勒公式 3.7 利用泰勒公式進(jìn)行近似計算 利用泰勒公式可以得到函數(shù)

20、的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為 , 其誤差是余項. 例3.7 計算Ln1.2的值,使誤差不超過0.0001 解 先寫出f(x)=Ln(1+x)帶拉格朗日型余項的麥克勞林展開式： , 其中（在0與x之間）. 令,要使 則取即可. 因此 當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時,即只能求出其近似值,這時泰勒公式是解決這種問題的最好方法. 例3.8 求的近似值,精確到. 解 因為中的被積函數(shù)是不可積的（即不能用初級函數(shù)表達(dá)）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值. 在的展開式中以代替 x得 逐項積分,得 上式右端為一個收斂的

21、交錯級數(shù),由其余項的估計式知 3.8 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值 如果f(x)泰勒公式已知,其通項中的加項的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo). 例3.9 求函數(shù)在x=1處的高階導(dǎo)數(shù). 解 設(shè)x=u+1,則 ,, 在u=0的泰勒公式為 , 從而 , 而g(u)中的泰勒展開式中含的項應(yīng)為,從g(u)的展開式知的項為,因此 , . 3.9 利用泰勒公式求行列式的值 若一個行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項式）,記作f(x),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值. 例 3.10 求n階行列式

22、 D= （1） 解 記,按泰勒公式在z處展開： , （2） 易知 （3） 由（3）得,. 根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有 于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為 , , … … … … 把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有 若,有, 若,有. 3.10求曲線的漸近線方程 若曲線上的點到直線的距離在或時趨于零，則稱直線是曲線的一條漸近線.當(dāng)時稱為水平漸近線，否則稱為斜漸近線.顯然，直線是曲線的漸近線的充分必要條件為 或 如果

23、是曲線的漸近線，則 （或）. 因此首先有 （或）. 其次，再由（或）可得 （或） 反之，如果由以上兩式確定了和，那么是曲線的一條漸近線. 中至少有一個成立，則稱直線是曲線的一條漸近線，當(dāng)時，稱為水平漸近線，否則稱為斜漸近線.而如果在趨于某個定值時趨于或，即成立 則稱直線是的一條垂直漸近線. 注意，如果上面的極限對于成立，則說明直線關(guān)于曲線在和兩個方向上都是漸近線. 除上述情況外，如果當(dāng)或時，趨于或，即 或 ， 則稱直線是曲線的一條垂直漸近線. 例11 求 的漸近線方程. 解： 設(shè) 的漸近線方程為，則由定義

24、 = 由此為曲線的漸近線方程。 3.11泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點判斷中的應(yīng)用 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，在各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，不少書中利用它來判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值，由于泰勒公式的廣泛應(yīng)用，所以嘗試?yán)锰├展絹硌芯亢瘮?shù)的凹凸性何拐點. 定理 設(shè)在上連續(xù)，在上具有一階和二階導(dǎo)數(shù).若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的. 證明： 設(shè)為內(nèi)任意兩點，且足夠小.為中的任意點記由定理條件的泰勒公式 由此， 因為余項為的高階無窮小，又為足夠小，所以泰勒公式的符號與相同.又因，所以 ，可得： 即，得. 由得

25、任意性，可得在足夠小的區(qū)間上是凹的.再由得任意性，可得在內(nèi)任意一個足夠小的區(qū)間內(nèi)部都是凹向的. 3.12 泰勒公式關(guān)于界的估計 我們在數(shù)學(xué)分析課文中學(xué)習(xí)知道了有些函數(shù)是有界的，有的有上界，而有 的有下界，再結(jié)合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣泛應(yīng)用，這里我們探討泰勒公式關(guān)于界的估計，這里通過例題來分析界的估計. 例12 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，時，.試證：當(dāng)時，. 證： 所以 3.13 利用泰勒公式解經(jīng)濟(jì)學(xué)問題 我們知道泰勒公式在解定積分中有著廣泛的應(yīng)用，而定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是不可缺的，在這里將以定積分為平臺，利用泰勒公式去解

26、決經(jīng)濟(jì)學(xué)問題， 例3.12 全競爭行業(yè)中某廠商的成本函數(shù)為STC=，假設(shè)產(chǎn)品的價格為66元， 求：（1）由于競爭市場供求發(fā)生變化，由此決定新的價格為30元，在心的價格下，廠商是否會發(fā)生虧損，如果會，最小的虧損額是多少？ 解： （1）由于市場供求發(fā)生變化，新的價格為27元，廠商是否發(fā) 虧損仍需要根據(jù)P=MC所決定的均衡產(chǎn)量計算利潤為正還是為負(fù)，不論利潤最大還是虧損最小，均衡條件都是P=MC， 成本函數(shù)為STC=，令=由泰勒公式我們知道， …… 所以 所以 STC= 又因為 P=MC，即27= 所以 因為 （1）

27、 （2） 所以 4，616 故 是利潤最大或者最小的產(chǎn)量。 利潤 可見， 當(dāng) 價格為27元時，當(dāng)廠商生產(chǎn)量為1時，其最大盈利額為19 當(dāng)廠商生產(chǎn)量為4時，其發(fā)生虧損，最小虧損額為17 第四章 結(jié)論 本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個應(yīng)用,使我們對泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識.,只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點,并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.另外，泰勒公式的另一個推廣就是泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)是

28、一種重要的數(shù)學(xué)工具，在諸多場合有著廣泛的應(yīng)用。尤其是在近似計算、極限計算、級數(shù)與廣義積分的斂散性、說明無窮小的階、不等式的證明及中值定理的證明等方面。 參考文獻(xiàn) 【1】 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》（下）.北京：高等教育出版社，2001. 【2】 陳傳章 . 金福林.《數(shù)學(xué)分析》（下）.北京：高等教育出版社，1986. 【3】 張自蘭 . 崔福蔭：《高等數(shù)學(xué)證明方法》.陜西：陜西科學(xué)出版社，1985. 【4】 王向東.《數(shù)學(xué)分析的概念和方法》.上海：上?？茖W(xué)出版社，1989. 【5】 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等

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30、o5.x中文版應(yīng)用技術(shù)手冊【M】大連：大連理工大學(xué)出版社,1997. 致 謝 本次論文我主要是通過利用工作的閑余時間完成。 首先，感謝張霞導(dǎo)師對我確定論題、建立框架以及論文寫作方面的種種指導(dǎo)，我才可以更順利地完成論文，而且，使我體會到論文寫作對學(xué)習(xí)能力、研究能力及創(chuàng)新能力有很大幫助。張老師誨人不倦的育人精神令人崇敬，令我深感作為一名教師的魅力所在，而且，在指導(dǎo)的過程中，令我明白尊重和傾聽他人意見的重要性，使我及時改正了自己的錯誤。 其次，感謝合肥學(xué)院數(shù)理系悉心教學(xué)的全體老師們，只有在扎實的專業(yè)知識基礎(chǔ)上，我才能迅速有效地吸收更廣泛的營銷理論知識，并運用于論文

31、中。 再次，感謝合肥學(xué)院良好的教育，培養(yǎng)了我主動學(xué)習(xí)的能力。而且，學(xué)校創(chuàng)造了十分優(yōu)越的學(xué)習(xí)環(huán)境，我才可以借閱到很多豐富的參考資料，充實我的論文。 最后，感謝中外所有在相關(guān)領(lǐng)域做出寶貴研究的學(xué)者們，是我學(xué)習(xí)和提升的不竭源泉，還有所有為我論文提出寶貴意見的人們：實踐經(jīng)驗的豐富公司領(lǐng)導(dǎo)們和直言不諱的同學(xué)們。 在此文中，我可能使用了一些過于直接犀利的表達(dá)，或者是提出了一些尚不成熟的想法，如有什么不當(dāng)之處，請各位老師和同學(xué)指正！我致以深深的謝意！ 計利明 2012年6月于合肥學(xué)院