高等數(shù)學上同濟大學第六版.ppt

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考試說明 本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結(jié)合的方式 考核成績由形成性考核作業(yè)成績和期末考試成績兩部分組成 考核成績滿分為100分 60分為及格 其中形成性考核作業(yè)成績占考核成績的20 期末考試成績占考核成績的80 期末考試采用閉卷筆試形式 卷面滿分為100分 考核內(nèi)容和考核要求 考核內(nèi)容一元函數(shù)微分學 一元函數(shù)積分學 無窮級數(shù)和常微分方程四個部分 包括函數(shù) 極限與連續(xù) 導數(shù)與微分 導數(shù)的應用 不定積分 定積分及其應用 無窮級數(shù) 常微分方程等方面的知識 高等數(shù)學期末考試 考試題型 單選題5個 約15 填空題5個 約15 計算題6個 應用題1個 考試時間 90分鐘命題原則不超過期末復習指導的要求 試題主要分布在第二 三 四 五 六 八章 占80 以上 理解占10 掌握占90 題型有 填空題單項選擇題計算題 約70 出題單位中央廣播電視大學考試形式閉卷 高等數(shù)學期末復習 第一章函數(shù) 理解函數(shù)概念 掌握函數(shù)的兩要素 定義域和對應關(guān)系 會判斷兩函數(shù)是否相同 掌握求函數(shù)定義域的方法 會求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值 了解函數(shù)的主要性質(zhì) 單調(diào)性 奇偶性 周期性和有界性 知道它們的幾何特點 熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達式 定義域 主要性質(zhì)和圖形 了解復合函數(shù)概念 會對復合函數(shù)進行分解 了解初等函數(shù)的概念 了解分段函數(shù)概念 掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法 會列簡單應用問題的函數(shù)關(guān)系式 高等數(shù)學期末復習 第二章極限與連續(xù) 了解極限的概念 數(shù)列極限 函數(shù)極限 左右極限 知道數(shù)列極限的 定義和函數(shù)極限的描述性定義 會求左右極限 了解無窮小量的概念 了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系 掌握極限的四則運算法則 掌握兩個重要極限 掌握求簡單極限的常用方法 了解函數(shù)連續(xù)性的定義 了解函數(shù)在某點連續(xù)的概念 知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念 會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性 了解函數(shù)間斷點的概念 會求函數(shù)的間斷點 會判別函數(shù)間斷點的類型 了解 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 的結(jié)論 知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì) 高等數(shù)學期末復習 第三章導數(shù)與微分 理解導數(shù)與微分概念 微分用定義 了解導數(shù)的幾何意義 會求曲線的切線和法線方程 知道可導與連續(xù)的關(guān)系 熟記導數(shù)與微分的基本公式 熟練掌握導數(shù)與微分的四則運算法則 熟練掌握復合函數(shù)的求導法則 掌握隱函數(shù)的微分法 取對數(shù)求導數(shù)的方法 知道一階微分形式的不變性 了解高階導數(shù)概念 掌握求顯函數(shù)的二階導數(shù)的方法 高等數(shù)學期末復習 第四章導數(shù)的應用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論 會用拉格朗日定理證明簡單的不等式 掌握洛比塔法則 能用它求 型不定式極限 掌握用一階導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 極值與極值點 包括判別 的方法 了解可導函數(shù)極值存在的必要條件 知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系 掌握用二階導數(shù)求曲線凹凸 包括判別 的方法 會求曲線的拐點 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線 掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法 以幾何問題為主 高等數(shù)學期末復習 第五章不定積分 理解原函數(shù)與不定積分概念 了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導數(shù) 微分 的關(guān)系 熟練掌握積分基本公式和直接積分法 熟練掌握第一換元積分法和分部積分法 掌握第二換元積分法 高等數(shù)學期末復習 第六章積分及其應用 了解定積分概念 定義 幾何意義 和定積分的性質(zhì) 了解原函數(shù)存在定理 知道變上限的定積分 會求變上限定積分的導數(shù) 熟練掌握牛頓 萊布尼茲公式 掌握定積分的換元積分法和分部積分法 了解無窮積分收斂性概念 會判斷無窮積分的收斂性或計算無窮積分 會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積 直角坐標系 和繞坐標軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積 高等數(shù)學期末復習 第七章無窮級數(shù) 了解級數(shù)收斂與發(fā)散概念及其主要性質(zhì) 了解級數(shù)收斂的必要條件 掌握正項級數(shù)收斂性的比值判別法 知道幾何級數(shù)和級數(shù)收斂的條件 理解冪級數(shù)收斂半徑概念 熟練掌握求收斂半徑的方法 會求收斂區(qū)間 高等數(shù)學期末復習 第八章常微分方程 了解微分方程 階 解 特解 通解 線性 初值問題等概念 掌握變量可分離微分方程的解法 熟練掌握一階線性方程的解法 了解特征方程和特征根概念 熟練掌握求二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解的特征根法 掌握二階線性常系數(shù)非齊次方程 特殊自由項 的特解待定系數(shù)法 能求此類方程的通解 高等數(shù)學期復習 第一章 函數(shù) 理解函數(shù)的概念 掌握函數(shù) 中符號f 的含義 了解函數(shù)的兩要素 會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值 會判斷兩個函數(shù)是否相等 兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應關(guān)系相同 了解函數(shù)的主要性質(zhì) 即單調(diào)性 奇偶性 有界性和周期性 若對任意x 有 則稱為偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱 若對任意x 有 則稱為奇函數(shù) 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱 熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達式 定義域 主要性質(zhì)和圖形 基本初等函數(shù)指以下幾種類型 常數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù) 了解復合函數(shù) 初等函數(shù)的概念 會把一個復合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù) 如函數(shù) 可以分解 分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù) 而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積 會列簡單的應用問題的函數(shù)關(guān)系式 高等數(shù)學1 綜合練習 一 填空題 設 則 解 設 則 得 故 函數(shù) 的定義域是 解 對函數(shù)的第一項 要求 且 即 且 對函數(shù)的第二項 要求 即 取公共部分 得函數(shù)定義域為 高等數(shù)學1 設 的定義域為 則函數(shù) 的圖形關(guān)于對稱 解 設 則對任意 有 即 是偶函數(shù) 故圖形關(guān)于 軸對稱 高等數(shù)學1 二 單項選擇題 下列各對函數(shù)中 是相同的 A B C D 解 A B D三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不同 而選項C中的函數(shù)定義域相等 且對應關(guān)系相同 故選項C正確 設函數(shù) 的定義域為 則函數(shù) 對稱 的圖形關(guān) 于 A B 軸 C 軸 D 坐標原點 解 設 則對任意 有 高等數(shù)學1 即 是奇函數(shù) 故圖形關(guān)于原點對稱 選項D正確 3 設函數(shù) 的定義域是全體實數(shù) 則函數(shù) 是 A 單調(diào)減函數(shù) B 有界函數(shù) C 偶函數(shù) D 周期函數(shù) 解 A B D三個選項都不一定滿足 設 則對任意 有 即 是偶函數(shù) 故選項C正確 高等數(shù)學1 三 計算題 求下列函數(shù)的定義域 解 對 要求 即 對 要求 且 即 且 取公共部分 得函數(shù)定義域為 對 要求 即 得函數(shù)定義域為 對 要求 即 得函數(shù)定義域為 已知 求 解 方法一 設 則 得 即 由此得 方法二 將 看作新的變量 得 同理 高等數(shù)學1 高等數(shù)學1 判斷下列函數(shù)的奇偶性 解 對任意 有 可知 是奇函數(shù) 解 對任意 有 可知 是奇函數(shù) 解 對任意 有 可知 是偶函數(shù) 高等數(shù)學1 本章重點 函數(shù)概念及其性質(zhì) 理解函數(shù)的概念 了解決定函數(shù)的要素是定義域和對應關(guān)系 能根據(jù)這兩個要素 判別兩個函數(shù)是否相等 能熟練地求出函數(shù)的定義域和函數(shù)值 了解函數(shù)的周期性 奇偶性 單調(diào)性 和有界性 特別是要會判斷函數(shù)的奇偶性 例1 求下列函數(shù)的定義域 1 解 函數(shù)的定義域是 解得 即函數(shù)的定義域是 且 高等數(shù)學1 2 解 分段函數(shù)的定義域是所有定義區(qū)間的并集 此分段函數(shù)的定義域是 或 但 的定義域是 故綜合起來可知所求函數(shù)的定義域是 例2 若函數(shù) 求 解 已知 即 根據(jù)函數(shù)概念可知 即下劃線的部分替換成x 即下劃線的部分替換成 即下劃線的部分替換成0 高等數(shù)學1 規(guī)范以上的做法就是 設 則 將 代入 中 即有 令 則有 令 則有 令 則有 例3 1 下列函數(shù)對中 哪一對函數(shù)表示的是同一個函數(shù) A B C D 解 A B D中兩個函數(shù)的定義域都不相同 故它們不是同一函數(shù) 高等數(shù)學1 C中函數(shù) 的定義域是 對應關(guān)系可化為 故這兩個函數(shù)是相同的函數(shù) 2 下列函數(shù)中 哪個函數(shù)是奇函數(shù) A B C D 解 由奇函數(shù)的定義驗證A C可知它們都不滿足 D滿足 即它為偶函數(shù) 驗證B 故此函數(shù)是奇函數(shù) 高等數(shù)學1 2 基本初等函數(shù) 了解復合函數(shù) 初等函數(shù)的概念 會分析復合函數(shù)的復合過程 能把一個復合函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù) 這在學習第三章導數(shù)與微分內(nèi)容時要用到 如將函數(shù) 分解成 高等數(shù)學1 第2章極限與連續(xù) 本章重點 極限的計算 了解極限的概念 知道左右極限的概念 知道函數(shù)在點 處存在極限的充分必要 條件是 在 處的左右極限存在且相等 關(guān)于極限的計算 要熟練掌握以下幾種常用方法 1 極限的四則運算法則 運用時要注意法則的條件是各個部分的極限都存在 且分母不為0 當所求極限不滿足條件時 常根據(jù)函數(shù)的具體情況進行分解因式 以消去 零因子 或無理式的有理化 或三角函數(shù)變換 或分子分母同時除以 分子分母同 趨于無窮大時 等變形手段 以使函數(shù)滿足四則運算法則的條件 2 兩個重要極限 熟記 要注意這兩個公式自變量的 變化趨勢以及相應的函數(shù)表達 同時要熟悉它們的變形形式 高等數(shù)學1 3 利用無窮小的性質(zhì)計算 無窮小量是指極限為0的量 有限個無窮小量之和 積都是無窮小量 有界變量與無窮小量之和還是無窮小量 4 利用函數(shù)的連續(xù)性計算 連續(xù)函數(shù)在一點的極限值等于函數(shù)在該點的函數(shù)值 5 利用洛必塔法則計算 參看第四章的有關(guān)內(nèi)容 例1 求下列極限 解 1 分子 分母同除以 則 高等數(shù)學1 2 解 首先將分母有理化 然后在利用重要極限計算 3 解 由于 時 有 因此 還是無窮小量 故 高等數(shù)學1 4 解 5 解 6 解 高等數(shù)學1 2 函數(shù)連續(xù) 理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念 它包括三層含義 在 的一個鄰域內(nèi)有定義 在 處存在極限 極限值等于 在 處的函數(shù)值 這三點缺一不可 若函數(shù) 在 至少有一條不滿足上述三條 則函數(shù)在該點是間斷的 會求函數(shù)的間斷 點 了解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念 由函數(shù)在一點連續(xù)的定義 會討論分段函數(shù)的連續(xù)性 知道連續(xù)函數(shù)的和 差 積 商 分母不為0 仍是連續(xù)函數(shù) 兩個連續(xù)函數(shù)的復合仍為 連續(xù)函數(shù) 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù) 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大最 小值存在定理 零點定理 介值定理 例2 討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性 高等數(shù)學1 解 的定義域為 由于 在 點處的左右極限不相等 故極限不存在 因此函數(shù) 在 點間斷 第三章 導數(shù)與微分 高等數(shù)學1 理解導數(shù)的概念 了解導數(shù)的幾何意義 會求曲線的切線和法線 會用定義計算簡單函數(shù)的導數(shù) 知道可導與連續(xù)的關(guān)系 高等數(shù)學1 在點 處可導是指極限 存在 且該點處的導數(shù)就是這個極限 導數(shù)極限還可寫成 在點 處的導數(shù) 的幾何意義是曲線 上點 處的切線斜率 曲線 在點 處的切線方程為 高等數(shù)學1 函數(shù) 在 點可導 則在 點連續(xù) 反之函數(shù) 在 點連續(xù) 在 點不一定可導 了解微分的概念 知道一階微分形式不變性 熟記導數(shù)與微分的基本公式 熟練掌握導數(shù)與微分的四則運算法則 微分四則運算法則與導數(shù)四則運算法則類似 熟練掌握復合函數(shù)的求導法則 高等數(shù)學1 掌握隱函數(shù)求導法 取對數(shù)求導法 參數(shù)表示的函數(shù)的求導法 一般當函數(shù)表達式中有乘除關(guān)系或根式時 求導時采用取對數(shù)求導法 如 求 直接求導比較麻煩 采用取對數(shù)求導法 將上式兩端取對數(shù)得 兩端求導得 整理后便可得 高等數(shù)學1 若函數(shù)由參數(shù)方程 的形式給出 則有導數(shù)公式 了解高階導數(shù)的概念 會求函數(shù)的二階導數(shù) 高等數(shù)學1 綜合練習 一 填空題 設 則 解 故 曲線 在 處的切線方程是 解 又有 故切線方程為 或 高等數(shù)學1 設 則 解 故 二 單項選擇題 曲線 在點 處的切線斜率等于0 A B C D 解 令 得 而 故選項C正確 高等數(shù)學1 則 A B C D 解 故選項C正確 3 下列等式中正確的是 A B C D 解 按微分法則進行運算得 高等數(shù)學1 故選項A正確 高等數(shù)學1 三 計算題 計算下列函數(shù)的導數(shù)或微分 設 求 解 由導數(shù)四則運算法則和復合函數(shù)求導法則 由此得 高等數(shù)學1 設函數(shù) 由方程 確定 求 解 等式兩端對 求導得 整理得 方法二 由一階微分形式不變性和微分法則 原式兩端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 高等數(shù)學1 設函數(shù) 由參數(shù)方程 確定 求 解 由參數(shù)求導法 求下列函數(shù)的二階導數(shù) 3 解 解 高等數(shù)學1 第4章 導數(shù)的應用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論 會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式 掌握洛必塔法則 會用它求 型不定式的極限 以及簡單的 型不定式的極限 掌握用一階導數(shù)判別函數(shù)增減性的方法 會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上單調(diào)增加 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上單調(diào)減少 高等數(shù)學1 了解極值和極值點的概念 熟練掌握求極值的方法 了解可導函數(shù)極值存在的必要條件 知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系 在點 滿足 那么 若 在點 的左右由正變負 或 則點 是 的極大值點 若 是 在點 的左右由負變正 或 則點 的極小值點 極值點如果可導則一定是駐點 駐點的兩邊導數(shù)如果變號則一定是極值點 了解曲線凹凸的概念 掌握用二階導數(shù)判別曲線凹凸的方法 會求曲線的拐點 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上是凹函數(shù) 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上是凸函數(shù) 高等數(shù)學1 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線 若 則 是曲線 的水平漸進線 若 則 是曲線 的垂直漸進線 熟練掌握求解一些簡單的實際應用問題中最大值和最小值的方法 以幾何問題為主 求 在區(qū)間 上的最大值的方法是 找出 的所有駐點 找出 的所有不可導點 將所有這些點的函數(shù)值與兩個端點的函數(shù)值 一起比較大小 最大者為最大值 相應的點為最大值點 求最小值的方法類似 高等數(shù)學1 綜合練習 一 填空題 函數(shù) 的單調(diào)增加區(qū)間是 解 當 時 故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 曲線 的凸區(qū)間是 解 當 時 故函數(shù)的凸區(qū)間是 高等數(shù)學1 二 單項選擇題 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)滿足 A 單調(diào)上升 B 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 C 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D 單調(diào)下降 解 令 得 在 點的左右有負變正 即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升 故選項B正確 曲線 的垂直漸近線是 A B C D 解 當 時 垂直漸進線是 故選項D正確 高等數(shù)學1 3 下列等式中正確的是 A B C D 解 按微分法則進行運算得 故選項A正確 高等數(shù)學1 三 計算題 計算下列函數(shù)的導數(shù)或微分 設 求 解 由導數(shù)四則運算法則和復合函數(shù)求導法則 由此得 設函數(shù) 由方程 確定 求 解 方法一 等式兩端對 求導得 高等數(shù)學1 整理得 方法二 由一階微分形式不變性和微分法則 原式兩端求微分得 左端 右端 由此得 整理得 高等數(shù)學1 設函數(shù) 由參數(shù)方程 確定 求 解 由參數(shù)求導法 高等數(shù)學1 求下列函數(shù)的二階導數(shù) 解 解 高等數(shù)學1 第4章 導數(shù)的應用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論 會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式 掌握洛必塔法則 會用它求 型不定式的極限 以及簡單的 型不定式的極限 掌握用一階導數(shù)判別函數(shù)增減性的方法 會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上單調(diào)增加 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上單調(diào)減少 了解極值和極值點的概念 熟練掌握求極值的方法 了解可導函數(shù)極值 存在的必要條件 知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系 高等數(shù)學1 在點 滿足 那么 若 在點 的左右由正變負 或 則點 是 的極大值點 若 在點 的左右由負變正 或 則點 是 的極小值點 極值點如果可導則一定是駐點 駐點的兩邊導數(shù)如果變號則一定是極值點 了解曲線凹凸的概念 掌握用二階導數(shù)判別曲線凹凸的方法 會求曲線的拐點 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上是凹函數(shù) 若在區(qū)間 上有 則 在區(qū)間 上是凸函數(shù) 高等數(shù)學1 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線 若 則 是曲線 的水平漸進線 若 則 是曲線 的垂直漸進線 熟練掌握求解一些簡單的實際應用問題中最大值和最小值的方法 求 在區(qū)間 上的最大值的方法是 找出 的所有駐點 找出 的所有不可導點 將所有這些點的函數(shù)值與兩個端點的函數(shù)值 一起比較大小 最大者為最大值 相應的點為最大值點 求最小值的方法類似 高等數(shù)學1 綜合練習 一 填空題 函數(shù) 的單調(diào)增加區(qū)間是 解 當 時 故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 曲線 的凸區(qū)間是 解 當 時 故函數(shù)的凸區(qū)間是 二 單項選擇題 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)滿足 A 單調(diào)上升 B 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 C 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D 單調(diào)下降 高等數(shù)學1 解 令 得 在 點的左右有負變正 即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升 故選項B正確 曲線 的垂直漸近線是 解 當 時 垂直漸進線是 故選項D正確 3 下列結(jié)論中 是正確的 A 函數(shù)的極值點一定是駐點 B 函數(shù)的駐點一定是極值點 C 函數(shù)在極值點一定連續(xù) D 函數(shù)的極值點不一定可導 解 函數(shù)的極值點不一定是駐點 函數(shù)的駐點不一定是極值點 函數(shù)在極值點 不一定連續(xù) 在 取極小值但不可導 故選項D正確 高等數(shù)學1 三 計算題 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 凹凸區(qū)間 極值點和拐點 解 令 得 當 或 時 當 時 故題給函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 和 單調(diào)減少區(qū)間是 是極小值點 是極大值點 令 得 當 時 當 時 故題給函數(shù)的凸區(qū)間是 凹區(qū)間是 是拐點 高等數(shù)學1 應用題 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l 問當?shù)装霃脚c高分別為多少時 圓柱體的體積最大 解 如圖所示 圓柱體高 與底半徑 滿足 圓柱體的體積公式為 將 代入得 求導得 令 得 并由此解出 即當?shù)装霃?高 時 圓柱體的體積最大 高等數(shù)學1 求曲線 上的點 使其到點 的距離最短 解 曲線 上的點到點 的距離公式為 與 在同一點取到最大值 為計算方便求 的最大值點 將 代入得 求導得 令 得 并由此解出 即曲線 上的點 和點 到點 的距離最短 高等數(shù)學1 關(guān)于積分概念的理解和積分計算問題分析 一 原函數(shù)與不定積分 已知函數(shù) 在某區(qū)間上有定義 如果存在函數(shù) 使得在該區(qū)間上的任一點處 都有關(guān)系式 成立 則稱函數(shù) 是函數(shù) 在該區(qū)間上的一個原函數(shù) 設函數(shù) 是函數(shù) 的一個原函數(shù) 則 的全體原函數(shù) C為任意常數(shù) 稱為 的不定積分 記為 性質(zhì) 1 2 高等數(shù)學1 二 不定積分的基本公式及運算性質(zhì) 高等數(shù)學1 三 換元積分法 已知 則 湊微分法 高等數(shù)學1 第二換元積分分法 高等數(shù)學1 分部積分法 高等數(shù)學1 四 曲邊梯形的面積與定積分 定積分的性質(zhì) 高等數(shù)學1 高等數(shù)學1 連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理 若 在 a b 上連續(xù) 則函數(shù) 在 a b 上可積 且 即 是 在 a b 上的一個原函數(shù) 微積分基本定理 設 在 a b 上連續(xù) 是 的任一原函數(shù) 則 高等數(shù)學1 高等數(shù)學1 換元積分法和分部積分法 1 換元積分法 設 在 上連續(xù) 且 在 連續(xù)可導 則 應用該方法要注意換積分限的正確性 分被積函數(shù)含 一次根式 二次根式 指數(shù) 對數(shù)的情況講解等 奇偶連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上積分的特征 高等數(shù)學1 高等數(shù)學1 2 分部積分法 設 在區(qū)間 上連續(xù)可導 則 分被積函數(shù)為 多項式 三角函數(shù) 多項式 指數(shù) 多項式 對數(shù) 含絕對值 符號等講解 高等數(shù)學1 第7章 級數(shù) 了解無窮級數(shù)的部分和 收斂和發(fā)散的概念 知道級數(shù)的主要性質(zhì) 特別是級數(shù)收斂的必要條件 級數(shù)的主要性質(zhì) 若 和 收斂 則 收斂 且 若 收斂 為常數(shù) 則 收斂 且 級數(shù)收斂的必要條件 若 收斂 則 掌握正項級數(shù)收斂的比值判別法和判別交錯級數(shù)收斂的萊布尼茨判別法 熟悉幾何級數(shù)和p 級數(shù)的收斂性 高等數(shù)學1 幾何級數(shù) 當 時收斂 當 時發(fā)散 p 級數(shù) 當 時收斂 當 時發(fā)散 了解冪級數(shù)的收斂點 發(fā)散點 收斂區(qū)間和收斂域的概念 能熟練地求冪級數(shù) 的收斂半徑 會求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂域 知道函數(shù)的泰勒級數(shù)和馬克勞林級數(shù) 記住 和 的馬克勞林級數(shù) 另外還應熟悉正項級數(shù)的比較判別法 即設兩個正項級數(shù) 和 滿足 那么有 若 收斂 則 收斂 若 發(fā)散 則 發(fā)散 高等數(shù)學1 綜合練習 一 填空題 當 時 幾何級數(shù) 收斂 解 由幾何級數(shù)的性質(zhì)可知 當 時 收斂 級數(shù) 是級數(shù) 解 級數(shù) 收斂 級數(shù) 發(fā)散 由級數(shù)的性質(zhì)可知 是發(fā)散級數(shù) 高等數(shù)學1 二 單項選擇題 下列級數(shù)中 收斂 A B C D 解 由 級數(shù)的收斂性可知 A B選項中的級數(shù)發(fā)散 C選項中的級數(shù)一般項 不趨于0 由收斂的必要條件知其發(fā)散 滿足萊布尼茨判別法的條件 所以收 斂 故選項D 級數(shù) 的和是 A B 2 C D 1 高等數(shù)學1 解 由級數(shù)的性質(zhì)可得 故選項A正確 3 若 則 A B C D 解 由此得 即 故選項A正確 三 計算題 高等數(shù)學1 判斷下列級數(shù)的收斂性 解 因為 由 級數(shù)的收斂性可知 收斂 題給級數(shù)是萊布尼茨型級數(shù) 單調(diào)下降且 由萊布尼茨判別法可知 收斂 高等數(shù)學1 求冪級數(shù) 的收斂半徑 解 設 原級數(shù)寫為 由此可知冪級數(shù) 的收斂半徑為4 所以題給冪級數(shù)的收斂半徑為2 高等數(shù)學1 2 求冪級數(shù) 的收斂域 解 由 由此可知題給冪級數(shù)的收斂半徑為3 收斂區(qū)間為 當 時 級數(shù) 收斂 當 時 級數(shù) 發(fā)散 故題給冪級數(shù)的收斂域為 高等數(shù)學1 第8章 常微分方程 了解微分方程及其階 解的概念 知道什么是線性微分方程 熟練掌握可分離變量的微分方程的解法 掌握齊次型方程的解法 知道線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 熟練掌握一階線性微分方程的解法 一階線性微分方程 的解法 先求齊次方程 的通解 再用常數(shù)變易法求非齊次方程的通解 也可直接利用公式求解 熟練掌握二階線性常系數(shù)微分方程的解法 高等數(shù)學1 二階線性常系數(shù)微分方程 的解法 先用特征根法求齊次方程 的通解 再用待定系數(shù)法求非齊次方程的一個特解 兩者相加便得到非齊次方程的通解 高等數(shù)學1 綜合練習 一 填空題 微分方程 的階數(shù)是 解 微分方程的階數(shù)就是最高階導數(shù)的階數(shù) 故此方程的階數(shù)是4 4 微分方程 的通解是 解 的解是 故微分方程的通解為 高等數(shù)學1 二 單項選擇題 微分方程 滿足 的特解是 A B C D 解 所有選項中的函數(shù)都滿足初始條件 但A C D選項中的函數(shù)不滿足微分 方程 B選項中的函數(shù)滿足微分方程 故選項B正確 B 下列微分方程中 是線性微分方程 A B C D 解 A B D三個選項中的微分方程都不是線性微分方程 故選項C正確 C 高等數(shù)學1 三 計算題 求解下列微分方程 求微分方程 的通解 解 方程為可分離變量微分方程 上式兩端積分得 即 其中 為任意常數(shù) 高等數(shù)學1 求微分方程 滿足 的特解 解 方程為齊次一階線性微分方程 可分離變量 上式兩端積分得 即 其中 為任意常數(shù) 將 代入上式 得 滿足初始條件的特解為 高等數(shù)學1 求解下列微分方程 求微分方程 解 的通解 方程的特征方程為 解出 齊次微分方程的通解為 其中 為任意常數(shù) 因為是二重根 故設題給方程的一個特解為 得 代入題給方程得 即 得 由此得題給方程的通解為 高等數(shù)學1 求微分方程 的通解 解 方程的特征方程為 解出 齊次微分方程的通解為 其中 為任意常數(shù) 設方程的一個特解為 得 代入題給方程得 得 解出 即特解為 由此得題給方程的通解為