（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級(jí) 重點(diǎn)增分 專題十五 不等式選講講義 理（普通生含解析）（選修4－5）.doc

重點(diǎn)增分專題十五 不等式選講全國(guó)卷3年考情分析年份全國(guó)卷全國(guó)卷全國(guó)卷2018含絕對(duì)值不等式的解法及絕對(duì)值不等式恒成立問題含絕對(duì)值不等式的解法及絕對(duì)值不等式恒成立問題含絕對(duì)值函數(shù)的圖象與絕對(duì)值不等式恒成立問題2017含絕對(duì)值不等式的解法、求參數(shù)的取值范圍基本不等式的應(yīng)用、一些常用的變形及證明不等式的方法含絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)最值的求解2016含絕對(duì)值不等式的解法、分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用含絕對(duì)值不等式的解法、比較法證明不等式及應(yīng)用含絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(1)不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是不等式的證明、絕對(duì)值不等式的解法等，命題的熱點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的求解，以及絕對(duì)值不等式與函數(shù)的綜合問題的求解(2)此部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考本部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用 含絕對(duì)值不等式的解法 保分考點(diǎn)練后講評(píng)1.解不等式|x3|<|2x1|.解：由已知，可得|x3|<|2x1|，即|x3|2<|2x1|2，3x210x8>0，解得x<或x>4.故所求不等式的解集為(4，)2.(2018全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)當(dāng)x<1時(shí)，由2x40，解得2x<1；當(dāng)1x2時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)x>2時(shí)，由2x60，解得2<x3，故f(x)0的解集為x|2x3(2)f(x)1等價(jià)于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立故f(x)1等價(jià)于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，)解題方略絕對(duì)值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對(duì)aR，|x|<aa<x<a，|x|>ax<a或x>a.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)(3)零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解. 保分考點(diǎn)練后講評(píng)1.已知f(x)|x1|x|，且>1，>1，f()f()2，求證：.證明：因?yàn)?gt;1，>1，f()f()21212，所以2.所以()，當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)取等號(hào)2.已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解：(1)由題意，|x1|<|2x1|1，當(dāng)x1時(shí)，不等式可化為x12x2，解得x1；當(dāng)1x時(shí)，不等式可化為x12x2，此時(shí)不等式無解；當(dāng)x時(shí)，不等式可化為x12x，解得x1.綜上，Mx|x1或x1(2)證明：因?yàn)閒(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要證f(ab)f(a)f(b)，只需證|ab1|ab|，即證|ab1|2|ab|2，即證a2b22ab1a22abb2，即證a2b2a2b210，即證(a21)(b21)0.因?yàn)閍，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立3.已知a，bR，且ab1，求證：(a2)2(b2)2.證明：法一：(放縮法)因?yàn)閍b1，所以(a2)2(b2)222(ab)42當(dāng)且僅當(dāng)a2b2，即ab時(shí)，等號(hào)成立法二：(反證法)假設(shè)(a2)2(b2)2<，則a2b24(ab)8<.因?yàn)閍b1，則b1a，所以a2(1a)212<.所以2<0，這與20矛盾，故假設(shè)不成立所以(a2)2(b2)2.解題方略證明不等式的常用方法不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等(1)如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，則考慮用分析法(2)利用放縮法證明不等式，就是舍掉式中的一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或者在分式中放大或縮小分子、分母，還可把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換為較大或較小的數(shù)或式子，從而達(dá)到證明不等式的目的(3)如果待證的是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的問題，則考慮用反證法用反證法證明不等式的關(guān)鍵是作出假設(shè)，推出矛盾. 與絕對(duì)值不等式有關(guān)的最值問題 析母題典例已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|，aR.(1)若不等式f(x)|x1|2對(duì)任意的xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a1，求實(shí)數(shù)a的值解(1)f(x)|x1|2可化為|x1|1.|x1|，1，a0或a4，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，04，)(2)當(dāng)a<2時(shí)，易知函數(shù)f(x)|2xa|x1|的零點(diǎn)分別為和1，且<1，f(x)易知f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f(x)minf1a1，解得a，又<2，a.練子題1在本例條件下，若f(x)|2x1|的解集包含，求a的取值范圍解：由題意可知f(x)|2x1|在上恒成立，當(dāng)x時(shí)，f(x)|2xa|x1|2xa|x1|x1|x1，|2xa|2，即2x2a2x2，(2x2)max4，(2x2)min5，因此a的取值范圍為4,52函數(shù)f(x)不變，若存在實(shí)數(shù)x，使不等式f(x)3|x1|2能成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：f(x)3|x1|2xa|2|x1|2xa|2x2|a2|.|a2|2.a0或a4.實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，04，)解題方略解決不等式恒成立、能成立、恰成立問題的策略不等式恒成立問題不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min>A.不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max<B不等式能成立問題在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A.在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min<B不等式恰成立問題不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，等價(jià)于不等式f(x)>A的解集為D.不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立，等價(jià)于不等式f(x)<B的解集為D多練強(qiáng)化已知函數(shù)f(x)|x|x1|.(1)若任意xR，恒有f(x)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若存在mR，使得m22mf(t)0成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)由f(x)|x|x1|x(x1)|1知，f(x)min1，欲使任意xR，恒有f(x)成立，則需滿足f(x)min，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為(，1(2)由題意得f(t)|t|t1|存在mR，使得m22mf(t)0成立，即有44f(t)0，所以f(t)1，又f(t)1可等價(jià)轉(zhuǎn)化為或或所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為1,0 1(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)<|x|1；(2)若對(duì)x，yR，有|xy1|，|2y1|，求證：f(x)<1.解：(1)f(x)<|x|1，|2x1|<|x|1，即或或得x2或0x或無解故不等式f(x)<|x|1的解集為x|0<x<2(2)證明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|2<1.2(2018全國(guó)卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)>1的解集為.(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)|x1|ax1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x(0,1)時(shí)|ax1|<1成立若a0，則當(dāng)x(0,1)時(shí)，|ax1|1；若a>0，則|ax1|<1的解集為，所以1，故0<a2.綜上，a的取值范圍為(0,23設(shè)不等式0<|x2|1x|<2的解集為M，a，bM.(1)證明：<.(2)比較|4ab1|與2|ba|的大小，并說明理由解：(1)證明：記f(x)|x2|1x|所以由0<2x1<2，解得<x<，所以M，所以|a|b|<.(2)由(1)可得a2<，b2<，所以(4ab1)24(ba)2(4a21)(4b21)>0，所以|4ab1|>2|ba|.4已知a，b(0，)，且2a4b2.(1)求的最小值(2)若存在a，b(0，)，使得不等式|x1|2x3|成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解：(1)由2a4b2可知a2b1，又因?yàn)?a2b)4，由a，b(0，)可知4248，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.(2)由(1)及題意知不等式等價(jià)于|x1|2x3|8，所以x.無解，所以x4.綜上，實(shí)數(shù)x的取值范圍為4，)5(2018全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時(shí)，f(x)axb，求ab的最小值解：(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時(shí)，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值為5.6已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，所以ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)7(2018鄭州二檢)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.當(dāng)x<時(shí)，即3x2x1<4，解得<x<；當(dāng)x1時(shí)，即3x2x1<4，解得x<；當(dāng)x>1時(shí)，即3x2x1<4，無解綜上所述，x.(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|所以x時(shí)，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0<a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.8已知函數(shù)f(x)|xa|2|xb|(a>0，b>0)的最小值為1.(1)求ab的值；(2)若m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值解：(1)f(x)則f(x)在區(qū)間(，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，)上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(b)ab，所以ab1.(2)因?yàn)閍>0，b>0，且ab1，所以(ab)3，又33232，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)a1，b2時(shí)，有最小值32.所以m32，所以實(shí)數(shù)m的最大值為32.